专题02配方法的应用-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

专题02 配方法的应用

类型一  配方法求字母的值

1．如果，求的值．

【答案】

【解析】

【分析】

先将89拆成64+25，然后配成两个完全平方式相加，再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”，解出x、y的值即可求解．

【详解】

解：由已知，

得，

，

．

【点睛】

本题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题关键是掌握两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．

2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，例如：把x2 + 6x﹣16分解因式，我们可以这样进行：

x2 + 6x﹣16

=x2 +2·x·3+32-32﹣16（加上32，再减去32）

=(x+3)2-52（运用完全平方公式）

=(x+3+5)(x+3﹣5) （运用平方差公式）

=(x+8)(x﹣2)（化简）

运用此方法解决下列问题：

（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．

（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多项式4a2 +12ab+9b2的值．

【答案】（1）；（2）81

【解析】

【分析】

（1）按照阅读材料的方法进行因式分解即可；

（2）利用配方法把原式变形得，从而可得，，再由，进行求解即可．

【详解】

解：（1）

；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，，

∴．

【点睛】

本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．

3．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_____．

【答案】2或3

【解析】

【分析】

由a−b＝2，得出a＝b＋2，进一步代入，利用完全平方公式得到，再根据已知条件求出b的值，进一步求得a的值即可．

【详解】

解：∵a−b＝2，

∴a＝b＋2，

∴

＝0，

∴，

∵b≥0，−2≤c＜1，

∴，

∴，

∴，

∴3＜≤12，

∵a是整数，

∴b是整数，

∴b＝0或1，

∴a＝2或3，

故答案为：2或3．

【点睛】

此题考查配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．

4．若a＝x＋19，b＝x＋20，c＝x＋21，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝___________．

【答案】3

【解析】

【分析】

先利用已知条件求解 再把原式化为，再整体代入求值即可.

【详解】

解： a＝x＋19，b＝x＋20，c＝x＋21，

a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝

故答案为：3

【点睛】

本题考查的是利用完全平方式的特点求解代数式的值，因式分解的应用，掌握“完全平方式的特点”是解题的关键.

5．阅读材料：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．

解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0

∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0

∴m+n＝0且n﹣3＝0

∴m＝﹣3，n＝3

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）若x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x、y的值；

（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，且△ABC是等腰三角形，求c的值．

【答案】（1）x=-1，y=1；（2）5或6

【解析】

【分析】

（1）仿照材料的过程进行，凑成两个非负数的和为0，即可求得结果；

（2）仿照材料的过程进行，凑成两个非负数的和为0，即可分别求得a和b的值，再根据等腰三角形的性质可求得c的值．

【详解】

（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0

∴x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0

∴（x+y）2+（y﹣1）2＝0

∴x+y＝0且y﹣1＝0

∴x＝﹣1，y＝1

（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61

∴a2+b2－10a－12b＋61＝0

∴（a－5）2+（b﹣6）2＝0

∴a－5＝0且ｂ﹣6＝0

∴a＝5，b＝6

∵△ABC是等腰三角形

∴c=a=5或c=b=6

即c的值为5或6.

【点睛】

本题是材料问题，考查了配方法的应用，平方非负性的性质，等腰三角形的性质等知识，关键是读懂材料中提供的解题过程和方法．

6．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x，y)的个数为_____．

【答案】9

【解析】

【分析】

由已知不等式变形后，利用完全平方公式化简，根据x与y均为整数，确定出x与y的值，即可得到结果．

【详解】

解：由题设x2+y2≤2x+2y，得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，

因为x，y均为整数，所以有或或或

解得： 或或或或或或或或，

以上共计9对（x，y）．

故答案为：9．

【点睛】

本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

7．阅读下面的材料：

若，求，的值．

解：．

．

．

，．

，．

根据你的观察，探究下列问题：

（1）已知等腰三角形的两边长，，都是正整数，且满足，求的周长；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）的周长为16或17；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题中所给方法把进行配方求解a、b的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；

（2）由可知，然后代入等式可得，进而根据配方即可求解．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵等腰三角形的两边长，，都是正整数，

∴当为腰，则为底，满足三角形三边关系，故的周长为5+5+6=16；

当为腰，则为底，满足三角形三边关系，故的周长为5+6+6=17；

（2）∵，

∴，

∴，

，

，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

类型二  配方法求最值

8．已知（x，y均为实数），则y的最大值是______．

【答案】

【解析】

【分析】

将根据题意，，原式两边同时平方，可得，故，进而即可求得最大值.

【详解】

解：，，，

．

，

．

的最大值为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过y2为媒介求得y的取值范围从而找出最大最小值.

9．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于___________．

【答案】3

【解析】

【分析】

由可得再代入，再利用配方法配方，从而可得答案.

【详解】

解： ，

所以的最小值是

故答案为：3

【点睛】

本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键.

10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．

【详解】

解：∵，p=3，c=2，

∴，

∴a+b=4，

∴a=4−b，

∴

∴当b=2时，S有最大值为．

【点睛】

本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．

二、解答题(共0分)

11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：对于．

(1)用配方法因式分解：；

(2)对于代数式，有最大值还是最小值？并求出的最大值或最小值．

【答案】(1)

(2)代数式有最大值，最大值为

【解析】

【分析】

（1）先用配方法，再用平方差公式分解即可；

（2）先利用配方法变形，根据偶次方的非负性可知最小值，继而即可求得的最大值．

(1)

；

(2)

∵

，

∴当时，即有最小值-8，

∴代数式有最大值，最大值为．

【点睛】

本题考查配方法在因式分解中的应用及代数式求值，解题的关键是熟练掌握配方法．

12．阅读下面的解答过程，求y2＋4y＋5的最小值．

解：y2＋4y＋5＝y2＋4y＋4＋1＝（y＋2）2＋1

∵（y＋2）2≥0，即（y＋2）2的最小值为0

∴y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1

∴y2＋4y＋5的最小值为1

仿照上面的解答过程，求：

（1）m2﹣2m＋2的最小值；

（2）3﹣x2＋2x的最大值．

【答案】（1）1；（2）4

【解析】

【分析】

（1）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．

（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．

【详解】

解：（1）m2﹣2m＋2

=m2-2m+1+1

=（m-1）2+1，

∵（m-1）2≥0，

∴（m-1）2+1≥1，即m2﹣2m＋2的最小值为1；

（2）3-x2+2x

=-x2+2x+3

=-（x2-2x+1）+4

=-（x-1）2+4，

∵（x-1）2≥0，

∴-（x-1）2≤0，

∴-（x-1）2+4≤4，即3-x2+2x的最大值为4．

【点睛】

本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．

13．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．

解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．

(1)当x＝　 　时，代数式2（x﹣1）2+3有最 　 　（填写大或小）值为 　 　．

(2)当x＝　 　时，代数式﹣x2+4x+3有最 　 　（填写大或小）值为 　 　．

(3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当垂直于墙的一边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】(1)1，小，3

(2)2，大，7

(3)当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32

【解析】

【分析】

（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围，再进行分析计算即可；

（2）先配方，把多项式变成完全平方形式，再进行分析计算；

（3）根据总长为16m，构造方程求解即可．

(1)

解：∵2（x﹣1）2≥0，

∴2（x﹣1）2+3≥3，

∴当x＝1时，代数式有最小值为3．

故答案为：1，小，3．

(2)

解：﹣x2+4x+3

＝﹣（x2﹣4x）+3

＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3

＝﹣（x﹣2）2+7，

∵﹣（x﹣2）2≤0，

∴﹣（x﹣2）2+7≤7，

∴当x＝2时，代数式有最大值为7．

故答案为：2，大，7．

(3)

解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m，

花园的面积为x（16﹣2x）

＝﹣2x2+16x

＝﹣2（x2﹣8x）

＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）

＝﹣2（x﹣4）2+32，

∵﹣2（x﹣4）2≤0，

∴﹣2（x﹣4）2+32≤32，

∴当x＝4时，代数式有最大值为32，

即当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32．

【点睛】

本题主要考查配方法的实际运用，解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．

类型三  配方法在几何图形中的应用

14．如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为 ________________．

【答案】##

【解析】

【分析】

过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，设AB＝x，利用勾股定理表示出BC，利用解直角三角形表示出MD，BD，再利用勾股定理求得CM的长，根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．

【详解】

如图，过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，

设AB＝x，则，

∵△ABM是等边三角形，

∴BM＝AB＝x，∠ABM＝60°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠MBD＝30°，

∵MD⊥BC，

，

，

在Rt△MDC中，

，

，

，

，

，

∴当x2＝18时，CM有最大值，

，

∴CM的最大值为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查勾股定理以及配方法，掌握配方法求出最值是解题的关键．

15．已知点P的坐标为（2，3），A、B分别是x轴、y轴上的动点，且，C为AB的中点，当OC最小时则点B的坐标为____．

【答案】

【解析】

【分析】

利用中点坐标公式将C点坐标表示出来后，运用勾股定理得到与的关系式，再将OC的长度用含有y的式子表示出来，利用配方法即可求出当OC最小时点B的坐标．

【详解】

解：设A点坐标为，B点坐标为，则中点C点坐标为；

∵

∴

∴

化简得：

∴

将代入上式得：

变形得：

∴当时，OC最小，此时B点坐标为．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查运用配方法求解动点问题，正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键，属于综合类问题．

16．已知：如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．

（1）求几秒后，的面积等于？

（2）求几秒后，的长度等于？

（3）求几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？

【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4，

【解析】

【分析】

（1）设运动时间为秒，则，，根据三角形面积公式列出方程即可；

（2）设运动时间为秒，则，，根据勾股定理列出方程即可；

（3）设运动时间为秒，则，，根据勾股定理列出的式子，根据配方法即可求得最小值；

【详解】

（1）设运动时间为秒，则，，根据题意得：

解得

答：2秒或6秒后，的面积等于

（2）设运动时间为秒，则，，

在中，

解得

答：1秒或7秒后，的长度等于

（3）设运动时间为秒，则，，

在中，

当时，取得最小值为．

即4秒后，取得最小值，最小值为．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

17．配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1

（1）求代数式的最小值．

（2）有最大还最小值，求出其最值．

（3）求的最小值．

（4）的最小值．

（5）三角和三角形的面积分别为4和9，求四边形的面积最小值．

【答案】（1）-4；（2）有最大值，且为7；（3）2；（4）2；（5）25

【解析】

【分析】

（1）（2）（3）（4）利用配方法变形，可得最值；

（5）设S△BEC=x，由等高三角形可知：S△BEC：S△CED=S△AEB：S△AED，从而可得S△AED=，再将四边形ABCD的面积变形得到，可得结果．

【详解】

解：（1），

∴在x=2时，有最小值-4；

（2）

=

=

=

∴当x=-1时，有最大值，且为7；

（3）=，

∴当x=1时，的最小值为2；

（4）

=

=

当a=-2，b=4时，代数式有最小值2；

（5）设S△BEC=x，已知S△AEB=4，S△CED=9，

则由等高三角形可知：S△BEC：S△CED=S△AEB：S△AED，

∴x：9=4：S△AED，

∴S△AED=，

∴四边形ABCD面积=4+9+x+=，

∴当x=36时，四边形ABCD面积的最小值为25．

【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．