专题17平面直角坐标系中的旋转变换-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

专题17 平面直角坐标系中的旋转变换

1．如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，

点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：

（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；

（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．

（3）求图中的面积．

【解答】解：（1）与；与；与．

对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；

（2）由（1）可得，．解得，；

（3）三角形的面积．

2．与△在平面直角坐标系中的位置如图．

（1）分别写出△各点的坐标：　　；　　　　；

（2）若点是△内部一点，则其图形变换后的对应点的坐标为 　　；

（3）说明△是由经过怎样的图形变换得到的？　　；

（4）的面积　　．

【解答】解：（1）观察图象可知，，，

故答案为，，．

（2）点向左平移4个单位向下平移2个单位得到，

．

故答案为．

（3）向左平移4个单位向下平移2个单位得到△，

故答案为：向左平移4个单位向下平移2个单位得到△．

（4）．

故答案为2．

3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到．

（1）沿轴向右平移可得到，则平移的距离是　2　个单位长度；与关于某直线对称，则对称轴是　 　；

绕原点顺时针旋转可得到，则旋转角至少是　 　．

（2）连接，交于点，求的度数．

【解答】解：（1）点的坐标为，

沿轴向右平移2个单位得到；

与关于轴对称；

为等边三角形，

，

，

绕原点顺时针旋转得到．

（2）如图，等边绕原点顺时针旋转得到，

，

，

，

即为等腰的顶角的平分线，

垂直平分，

．

故答案为；2；轴；120．

4．如图，三角形是三角形经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：

（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；

（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．

【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，对应点的横、纵坐标分别互为相反数；

（2）由（1）得，，

解得，，

答：，．

5．如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到．

（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是　2　个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是　 　；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是　 　度．

（2）连接，交于点，求的度数．

【解答】解：（1）沿数轴向右平移得到，则平移的距离是2个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是轴；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度至少是度，

故答案为：2；轴；120；

（2）和是能够重合的等边三角形，

，，

，

．

6．如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、．

（1）若、，，直接写出点的坐标；

（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、．请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段且等于线段，若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，在直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线、分别绕点，点以1度秒和3度秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间．

【解答】解：（1）设，

将线段平移至线段，、，，

，，

，，

；

（2）存在，理由：

，

，，，，

点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形是平行四边形，

即，，

解得：，或，，

点的坐标为，，的坐标为，或点的坐标为，，的坐标为，，

当，，，时，、、、四点均在轴上，不能构成平行四边形，舍去；

，，，；

（3）存在．

分三种情况：

，

如图①，与在的两侧时，

，，

，，

要使，则，即，

解得，

此时，

，

②旋转到与都在的右侧时，

，，

，，

要使，则，即，

解得，

此时，

；

③旋转到与都在的左侧时，

，，

，，

要使，则，

即，

解得，

此时，

，

此情况不存在．

综上所述，为5秒或95秒时，与平行．

7．如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：

（1）分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；

（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．

【解答】解：（1）由图象可知，点，点，点，点，点，

点；

对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；

（2）由（1）可知，，，解得，．

8．如图，点为平面直角坐标系的原点，点在轴上，是边长为2的等边三角形．

（1）写出各顶点的坐标；

（2）以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到△，写出，的坐标．

【解答】解：（1）如图1，过作于，

是等边三角形，且，

，

由勾股定理得：，

，，；

（2）如图2，，，

与重合，

，

由旋转得：，，

，

，

，

，，

．

9．如图，在平面直角坐标系中，有，，，点、均在轴上，边与轴交于点，连接，且是的角平分线，若点的坐标为，．

（1）如图1，求点的横坐标；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转一个角度得到△，直线交直线于点，直线交轴于点，是否存在点、，使为等腰三角形？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1中，过点作于．

，，

，

平分，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，．

（2）如图2，连接，

是等腰三角形，，

当时，，

当时，，

当时，，

当点在轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为，此时，

综上所述，满足条件的的值为或或或．

10．在平面直角坐标系中，已知、，直线是绕着的顶点旋转，与轴相交于点，探究解决下列问题：

（1）如图1所示，当直线旋转到与边相交时，试用无刻度的直尺和圆规确定点的位置，使顶点、到直线的距离之和最大（保留作图痕迹）；

（2）当直线旋转到与轴的负半轴相交时，使顶点、到直线的距离之和最大，请直接写出点的坐标是　　．（可在图2中分析）

【解答】解：（1）如图1，过点作直线于点，与轴的交点即为所确定的点位置．

理由如下：如图2所示，过点作于，过点作于．

为定值．

要使点、到直线的距离之和最大，即最大，只要使最小，

过点作直线于点，此时即为最小值（此时，点、、重合）．

与轴的交点即为所确定的点位置；

（2）由（1）的解题过程知，如图2所示，延长到点，使，连接，则，

旋转直线至于点，与轴的交点即为所确定的点，过点作于点，

，，

，

过点作轴于点，

，

，

，

，

又直线于点，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

11．如图①，将边长为2的正方形如图①放置，为原点．

（Ⅰ）若将正方形绕点逆时针旋转时，如图②，求点的坐标；

（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形绕点逆时针旋转时，求点的坐标．

【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，，

旋转角为，

，

，，

，；

（2）连接，过作轴于，

旋转角为，，

，

，，

，

中，，，

，．

12．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　；

（2）另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　 　、　 　．

拓展延伸：

（3）求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．

【解答】解：（1）点的坐标为；

（2）、的坐标分别为，；

（3），，，，，，，；

的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环．

．

的坐标与的坐标相同，为；

在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为，，，，，．

故答案为：；，．

13．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点、旋转后的对应点为、，记旋转角为．

（1）如图1，若，求的长；

（2）如图2，若，求点的坐标．

【解答】解：（1）点，点，

，．

在中，由勾股定理得．

根据题意，△是绕点逆时针旋转得到的，

由旋转是性质可得：，，

．

（2）如图，根据题意，由旋转是性质可得：，

过点作轴，垂足为，

则．

在△中，由，．

．

由勾股定理，

．

点的坐标为，．

14．（1）如图，在方格纸中先通过　向上平移4个单位长　，由图形得到图形，再由图形先　 　（怎样平移），再　 　（怎样旋转）得到图形（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；

（2）如图，如果点、的坐标分别为、，写出点的坐标是　 　；

（3）图形能绕某点顺时针旋转得到图形，则点的坐标是　 　；

（4）图形能绕某点顺时针旋转得到图形，则点的坐标是　 　；

注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．

【解答】解：（1）根据题意可知，向上平移4个单位长度图形得到图形，图形向右平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转得到图形．

故答案为向上平移4个单位长，向右平移4个单位长度，绕点顺时针旋转．

（2）根据题意建立如图坐标系，根据图象可知．

故答案为．

（3）观察图形可知旋转中心．

故答案为．

（4）观察图形可知旋转中心．

故答案为．

15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到．

（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是　3　个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是　 　；绕点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是　 　度．

（2）连接，交于点，求的度数．

【解答】解：（1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是3个单位长度；

与关于直线对称，则对称轴是轴；

绕点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是120度；

故答案为：3，轴，120；

（2）连接，交于点，

由（1）得：，，，

故，

则．

16．在平面直角坐标系中，，，

（1）将绕点顺时针旋转，得△，则点的坐标为　　．

（2）将△向右平移6个单位得△，则点的坐标为　　．

（3）从到△能否看作是绕某一点作旋转变换？若能，则旋转中心坐标为　　在旋转变换中所扫过的面积为　　．

【解答】解：（1）取点，可知，，三点同一直线上，所以为直角三角形，绕点旋转，易知与轴重合，轴，即横坐标的数值等于的长度加上的长度，纵坐标等于的长度，又位于第二象限，故的坐标为．；

（2）由（1）可知，的坐标为，向右平移6个单位得△，的横坐标向右平移6个单位，即的横坐标为，即点的坐标为．；

（3）连接，，易知的斜率为，其中点的坐标为，，所以其中垂线的方程为，的中垂线为，与联立，解得交点坐标为．

扫过的面积．

17．如图，三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形．

①分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．

②根据你发现的特征，解答下列问题：若三角形内有一点经过变换后，在三角形内的对称坐标为，求关于的方程的解．

【解答】解：①；；；

；；；

对应点的连线的垂直平分线为一条直线，那么这两个图形关于某条直线对称；

②由①得；；

解得：；；

代入方程可得：，

解得：．

18．今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．

如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形的顶点为，，，要将它平移旋转到图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．

例如：将图形做如下变换（见图．

第一步：平移，使顶点移至点，得图；

第二步：绕着点旋转，得图；

第三步：平移，使点移至点，得图．

（1）写出，两点的坐标；

（2）从，，三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．

【解答】解：（1）根据的坐标变化可得到点的坐标变化规律为：，，关于点中心对称平移后的坐标．根据此规律或结合坐标系可求得：，；

（2）平移，使顶点移至点绕着点旋转得到点．