2022-2023学年广东省梅州市丰顺县龙山中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县龙山中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列不等式组为一元一次不等式组的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，已知是等边三角形，为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若一个三角形的最小内角为，则下列判断中正确的有(    )
   这个三角形是锐角三角形；这个三角形是等腰三角形；这个三角形是等边三角形；形状不能确定；不存在这样的三角形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点已知，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若点在第三象限，则点的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 空集

8. 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，以点为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为的小正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，现已知、、、都是格点，则下列结论中正确的是(    )

A. 、都是等腰三角形
B. 、都不是等腰三角形
C. 是等腰三角形，不是等腰三角形
D. 不是等腰三角形，是等腰三角形
二、填空题（本题共7小题，共28分）

11. 计算：______．
12. 如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，交于点，若平行四边形的面积是，则的面积是______．
13. 在平行四边形中，，则 ______ ．
14. 化简：______．
15. 在四边形中，如果且，，那么______．
16. 因式分解：______．
17. 如图，，和的角平分线，交于点，过点作于，交于若，则点到的距离是______，______

三、解答题（本题共8小题，共62分）

18. 如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．

19. 解下列不等式：
    ；
    ．
20. 如图所示，在中，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点，，求的度数．
    
     

21. 解分式方程：．
22. 先化简，再求值：，其中．
23. 已知：．
    求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上．

24. 在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示．
    如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？
    如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？

25. 王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处张老师交账说：“我买了两种书，共本，单价分别为元和元，买奖品前我领了元，现在还余元”。张老师算了一下，说：“你肯定搞错了”
    张老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
    王老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于元的整数，笔记本的单价可能为多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
，
．
．
．
故选：．
根据平方差公式以及积的乘方与幂的乘方解决此题．
本题主要考查平方差公式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握平方差公式、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B.是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C.是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D.是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
 

3.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
经旋转后到达的位置，
等于旋转角，即旋转角等于．
故选：．
由经旋转后到达的位置，而，根据旋转的性质得到等于旋转角，即旋转角等于．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为最小角为度，则该三角形的最大角不能大于度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为度，即是一个等边三角形；
其最大角不大于度，所以是锐角三角形；
等边三角形是特殊的等腰三角形．
所以前三项正确，即正确有三个．
故选：．
因为最小角为度，则该三角形的最大角不能大于度，否则最小的角将不是，则可以得到其三个角均为度，即是一个等边三角形．
此题主要考查学生对等边三角形的判定的理解及运用．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
根据因式分解的定义得出即可．
【解答】
解：、等式的左边不是多项式，变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C、从左到右的变形是多项式乘以多项式不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
由是的垂直平分线，可得，继而求得，然后由在中，，即可求得的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故选：．
根据第三象限点的符号特点列出不等式组，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．
利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
根据旋转的性质，，，
，
，
，
；
故选：．
由，，可知，根据旋转的性质，，，，，于是．
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转前后的图形对应边相等、旋转角相等是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，，，
、都是等腰三角形，
故选：．
依据勾股定理，即可得到，，进而得出、都是等腰三角形．
本题主要考查了等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
按同分母分式的加减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
：：：，
，
∽，
，
平行四边形的面积是，
，
的面积，
故答案为：．
根据四边形是平行四边形，求证∽，然后利用其对应边成比例即可求得：：，再根据两三角形相似面积比等于相似比的平方即可求出问题答案．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难度不大，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
解得：，
，
故答案为．
由平行四边形的性质得出，再由已知条件，即可得出的度数，进而可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

15.【答案】 

【解析】解：且，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：．
先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

17.【答案】； 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，解题关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于，根据角平分线的性质得到，，得到；证明≌，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】
解：作于，

，，
，
是的平分线，，，
，
同理，，
，
则点到的距离为，
在和中，
，
≌
，
同理，，
，
故答案为；．  

18.【答案】解：如图，延长与相交于点，
平分，，
，，，
≌，
，，
，，
，
为中点，
是的中位线，
． 

【解析】延长与相交于点，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后求解即可．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以为中位线的三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把未知数系数化为得：；
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把未知数系数化为得：． 

【解析】根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
 

20.【答案】 

【解析】【解析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据角平分线的定义求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：平分
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
．
故答案为．
 

21.【答案】解：方程两边同乘以得：
，
解：，
经检验是原方程的根． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示：即为所求．
 

【解析】作出的平分线和线段的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心，再以为半径画出，得出答案．
此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线和垂直平分线的作法是解题关键．
 

24.【答案】解：图形如图所示，原来图案向右平移  个单位得到新图案；
图形如图所示，原来图案向下平移  个单位得到新图案．
 

【解析】根据要求作出图形即可；
根据要求作出图形即可．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：设元的书买了本，则元的书买了本，由题意，得

解得：
的值为整数，故的值不符合题意，
张老师搞错了．
设元的书买了本，则元的书买了本，笔记本的单价为元，由题意，得
，
解得，
因为、都是整数，
所以能被整除，
所以为偶数，
又因为为小于的整数，
所以可能为、、、，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意．
所以或．
所以笔记本的价格可能为元或元． 

【解析】设元的书买了本，根据两种书本和总共的费用为元，建立方程求出其解即可；
设元的书买了本，则元的书买了本，笔记本的单价为元，根据总消费元建立方程，求出其解即可。
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解答时求不定方程的解是关键。