2022-2023学年广东省梅州市丰顺县丰良中学九年级（上）开学数学试卷-（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县丰良中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，可添加的条件不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 按图中计算程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在中，，，将绕点逆时针转，得到，则的长(    )

A.
B.
C.
D.

6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，为坐标轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在▱中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，，则以下四个结论一定正确的是(    )
   ≌；；是等边三角形；．

A. 只有 B. 只有 C. 只有 D.

8. 如图，是绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 若，其中，，，(    )

A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，

10. 如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共7小题，共28分）

11. 计算： ______ ．
12. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于______度．
13. 如图，在四边形中，，与的平分线相交于边上的点．有下列结论：；为的中点；；；到的距离等于的一半．其中正确的结论有______．

14. 不等式的解集是______．
15. 若，，则的值为______．
16. 已知，，，点在直线上，，点在线段上，，连接、，则的度数为______ ．
17. 如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到设中点为，中点为，，连接，当______时，长度最大，最大值为______．

三、解答题（本题共8小题，共62分）

18. 计算：
    解方程：
19. 如图，的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长均为个单位长度．
    在网格中画出绕点逆时针旋转后的的图形；
    求旋转过程中边扫过的面积结果保留

20. 本学期开学前夕，苏州某文具店用元购进若干书包，很快售完，接着又用元购进第二批书包，已知第二批所购进书包的只数是第一批所购进书包的只数的倍，且每只书包的进价比第一批的进价少元，求第一批书包每只的进价是多少？
21. 如图，、是平行四边形对角线上两点，，求证：．

22. 如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点，，的周长为
    求中边的长度；
    若，求的度数．

23. 已知多项式能分解因式，且含有因式．
    当时，求多项式的值；
    求的值．
24. 在中，，，为的中线，点是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点．
    如图，当点与点重合时，求证：；
    如图，当点在线段上，且与点，不重合时，
    依题意，补全图形；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
    当点在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段，，之间的数量关系．
    
     

25. 如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
    
    依题意补全图；
    判断与的数量关系与位置关系并加以证明；
    若，，与相交于点，求点到直线的距离的最大值．请写出求解的思路可以不写出计算结果．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，故A正确；
，，
四边形是平行四边形，故C正确；
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故B正确；
故选：．
根据平行四边形的判定解答即可．
此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
若开始输入的值为，则最后输出的结果是．
故选：．
首先用开始输入的值加上，求出和是多少，然后把所得的和与比较大小，所得的和大于，则输出；所得的和不大于，则再和相加，直到所得的和大于为止．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．
先根据函数和的图象相交于点，求出的值，从而得出点的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式的解集．
【解答】
解：函数和的图象相交于点，
，
，
点的坐标是，
不等式的解集为；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：连接，交于，如图，
，，
，
绕点逆时针转，得到，
，，
为等边三角形，
，
而，
垂直平分，
，，
．
故选：．
连接，交于，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，直接证垂直平分，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出和，从而得到的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形性质，等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．
分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可．
【解答】
解：如图，满足条件的点的个数为．

分别为：，，，，，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：、是等边三角形
，
，
，
，

≌，故正确；
，
，
，故正确；
同理可得：，
，，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
如果，则是的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误．
故选：．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，灵活运用全等三角形的性质来分析、判断、推理或解答．证明，；根据等腰三角形的性质求出；求出；运用外角性质求出即可解决问题．
【解答】
解：由题意得：≌，
，，
，，
；
，
；
，
，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：，其中，，，
，
，
，
当时，，故选项A错误，
当时，，故选项B正确，
当时，，故选项C错误，
当时，，故选项D错误，
故选：．
根据，其中，，，可以求得的通式，从而可以判断各个小题中的结论是否陈立．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，点在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图：
点为坐标平面内一点，
点在上，且半径为
取，连接

，
是的中位线

当最大时，即最大，而当，，三点共线时，在的延长线上时，最大
，

，即的最大值为
故选：  

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据分式的约分，即可解答．
本题考查了分式的约分，解决本题的关键是约去分子、分母的公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个，故顶角是，故填．
根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．
本题充分运用等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质解题．
 

13.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
和分别为与的平分线，
而，，，
，．
在和中，
，
≌，
，
同理可得≌，
，
，
即，所以正确；
，
，所以正确；
≌，≌，
，，
，所以正确；
≌，≌，
，，
，所以正确．
故答案为：．
作于，如图，根据角平分线的性质得，，则根据“”可证明≌，≌，则，，再利用平角的定义可得，则可对进行判断；同时利用可对进行判断；根据全等三角形的性质，利用≌，≌得到，，则可对进行判断；根据全等三角形性质得，，所以，则可对进行判断．
本题考查了梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握角平分线的性质作出是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
根据“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的应用，属于基础题，熟练掌握平方差公式分解因式即可解答．对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【解答】
解：，，

．
故答案是：．  

16.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在的延长线上时，

设，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
如图，当点在线段上时，
同理可得，，
．

故答案为：或．
分两种情况：当点在的延长线上时，当点在线段上时，由直角三角形的性质及勾股定理可求出答案．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：如图，连接，当旋转到、、三点共线时，最长，
此时，
，，
，
中点为，中点为，
，，
．
故答案为：；．
连接，当、、三点共线时，最长，根据图形求出此时的旋转角及的长．
此题考查了旋转的性质，特殊三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题．
 

18.【答案】解：原式，
，
；
，
，
，
，
，． 

【解析】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；
利用配方法解方程．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

，
所以旋转过程中边扫过的面积 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、即可得到；
由于旋转过程中边扫过的部分为以为圆心，为半径，圆心角为度的扇形，于是利用扇形面积公式可求解．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

20.【答案】解：设第一批书包每只是元，
依题意得：，
解得．
经检验是原方程的解，且符合题意．
答：第一批书包每只的进价是元． 

【解析】设第一批书包每只是元，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量可得方程．
本题考查了分式方程的应用．关键是根据等量关系：第二批进的数量第一批进的数量列方程．
 

21.【答案】证明：平行四边形中，，，
．
又，
，
≌，
． 

【解析】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．
先证，再证出≌，从而得出．
 

22.【答案】解：垂直平分，垂线平分，
，，
的周长，
，
；
，，
，，
，
，
． 

【解析】依据垂直平分，垂线平分，即可得出，，进而得到的周长，据此可得边的长度；
依据，，即可得到，，再根据，即可得到，进而得出的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

23.【答案】解：因为 是  的一个因式，可设另一个因式为 ，
所以 ，
当  时，，
故此时多项式  的值是．
当  时，，把  代入 ，得：
，
解得 ． 

【解析】因为多项式因式分解有一个因式为，代入，其中的因式等于，因此多项式的值为；
把代入多项式的值为，求得的数值即可．
此题考查分解因式的实际运用，掌握分解因式的意义以及代数式求值的方法是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：，为的中线，
，，，
．
，
，，，
．
在直角三角形中，，
．
，，

，
．
．
．
解：补全图形如图；

．
证明：在上截取，连接．
，，为中线，
．
是等边三角形，．
，．
．
．
，
．
在和中，
，
≌．
．
，
．
当时，；当时，． 

【解析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造全等三角形和直角三角形是解本题的关键．
由等腰三角形的性质得出，证出则可得出结论；
由题意画出图形即可；
在上截取，连接证明≌由全等三角形的性质得出则可得出结论；
分情况讨论即可．
【解答】
解：见答案；
如图，当时，；
．
证明：在上截取，连接．
由知是等边三角形，．
，．
．
．
，即，
．
在和中，
，
≌．
．
，

当时，．
如图，

证明：在上截取，交的延长线于点，连接．
由知是等边三角形，
，，即．
，即，
．
，即，
．
在和中，

≌．
．
，

当，如图，射线过点，点与点重合，此时；当时，射线与射线无交点，不符合题意．

综上所述，当时，；当时，．
 

25.【答案】解：补全图形，如图所示．

与的数量关系：，
与的位置关系：．
证明：，
．
即．
，，
≌．
．
．
，
．
，，
．
即．
如图，

过点作于．
由线段的运动可知，当时的长度最大．
，
，
，
．
由可知，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
． 

【解析】由题意补全图形，如图所示，
先判断出≌，再判断出，从而得到，即得到结论；
先判断出当时的长度最大，然后计算出，再在表示出，用建立方程求解即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，判断线垂直的方法，锐角三角函数，判断，是解本题的关键．