2022-2023学年广东省梅州市丰顺县华侨中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县华侨中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点，增加下列条件，不一定能得出的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 将点先向左平移个单位，再向下平移个单位得点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 正五边形 C. 圆 D. 等边三角形

4. 如图，，平分，且若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个以上

5. 如图，在中，，，若点在边上不与点或点重合，则线段的长可能等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使≌，则添加的条件不能是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

8. 如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接则下列结论中：
   ；；≌；平分．
   正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的角平分线，点是边上一点，，，交于点．
    以下结论：；是等腰三角形；平分；垂直平分；．
    其中结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的______．
12. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点若，，则的面积是______．
13. 已知“的倍大于，且的一半与的差不大于”，则的取值范围是________．
14. 如图，等边三角形纸片的边长为，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是______．

15. 如图，，等腰直角三角形的腰在上，，将三角形绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在上，则的值为______．

16. 如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则长的最大值是______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点，是轴上的一个动点，以为直角边作等腰直角，其中，连结当为最小值时，此时的面积是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
19. 本小题分
    解下列不等式，并将解集表示在数轴上．
    ．
    ．
20. 本小题分
    如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要修建一个市场，使市场到两条公路、的距离相等，且到两个小区、的距离相等．
    市场应修建在什么位置？请用文字加以说明
    在图中标出点的位置要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论．

21. 本小题分
    如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
    若，则的度数是______．
    连接，若，的周长是．
    求的长；
    在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并证明；若不存在，说明理由．

22. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
23. 本小题分
    如图，已知中，，，平分，为的中点，为延长线上一点，且．
    求的长；
    求证：是等腰三角形．

24. 本小题分
    甲乙两人各加工个零件，甲比乙少用小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成个零件的时间比甲完成个零件所用的时间少小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中， ， ，动点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向原点运动，同时动点从点出发沿折线向终点运动，点在轴上的速度是每秒个单位长度，在轴上的速度是每秒个单位长度，过点作轴的垂线交于点，连结、设点运动的时间为秒，的面积为平方单位．
    当为何值时，点、相遇？
    求的面积平方单位与时间秒的函数关系式；
    当为何值时，是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
A、，
，
四边形是平行四边形，
，故本选项能判定；
B、，
四边形有可能是等腰梯形，
本选项不一定能判定；
C、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，故本选项能判定；
D、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，故本选项能判定．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，然后由，，均可判定四边形是平行四边形，则可证得，利用排除法即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：将点先向左平移个单位，再向下平移个单位，即坐标变为，即点的坐标为故选B．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查点坐标的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图在、上截取，作．

平分，
，
，
，是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌．
，，
是等边三角形，
只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：．
如图在、上截取，作，只要证明≌即可推出是等边三角形，由此即可得结论．
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于点．

，，
，
，
点在边上不与点或点重合，
，
即，
故选：．
过点作于点由，，推出，所以，点在边上不与点或点重合，得出答案．
本题考查了含度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：、当无法得出≌，故此选项符合题意；
B、当，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，故此选项错误；
C、当，
，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，故此选项错误；
D、当，
平行四边形中，
，，
在和中
，
≌，故此选项错误；
故选：．
利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在边上，
，，
若顺时针旋转，则点在轴上，，
点坐标为，
若逆时针旋转，则点到轴的距离为，到轴的距离为，
点坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
故选C．
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
本题考查旋转中的坐标变化．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
≌，
，所以正确；
，
而，
，所以正确；
，
，
，，
，
与不可能全等，所以错误；
作于，于，如图，

≌，
，
平分，所以正确．
故选：．
根据“”判断≌得到，则可对进行判断；根据全等三角形的性质得到，则根据三角形内角和得到，于是可对进行判断；利用得到，则根据三角形外角性质得到推出，所以与不可能全等，于是可对进行判断；作于，于，如图，根据三角形全等的性质得到，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，

在中，
，，
，，
在中，，
，
点为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
延长，过点作于点，
可得，
在中，，
当直线时，最大值为，
综上所述，的最大值为．
故选：．
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的角平分线，
，
在和中，
，
≌，

故正确；

≌，
，
是等腰三角形；
故正确；

，
，
，
，
，
平分，
故正确；
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
故正确；
由于无法判断和的大小，，
故不正确；
故选：．
根据三角形全等和等腰三角形的判定、垂直平分线的判定进行依次判定即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】结论和条件  逆命题 

【解析】解：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题，
故答案为：结论和条件；逆命题．
根据互逆命题的定义直接解答即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握互逆命题的定义是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

由作图知平分，，
，
，
的面积，
故答案为：．
作，由作图知平分，，据此得，再根据三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查作图基本作图及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意列出不等式组，再求解集即可得到的取值范围．
主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
【解答】
解：依题意有，
解得．
故的取值范围是．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：等边三角形纸片的边长为，，是边上的三等分点，
，
，，
是等边三角形，
剪下的的周长是．
故答案为：．
根据三等分点的定义可求的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是证明是等边三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：将三角形绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在上，
，
，
，
，
，
，
设，则，
等腰直角三角形旋转到，
也是等腰直角三角形，
设，则由勾股定理得：，
，
即，
，
故答案为：．
根据旋转得出，求出，设，则，根据也是等腰直角三角形设，由勾股定理得出，求出，得出，代入求出即可．
本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．
 

16.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，
当时直径时，最大，如图所示，
，，，
，
，
故答案为：．
根据中位线定理得到的最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，把线段绕点顺时针旋转，得到，连接，
则为定点
在和中

≌
．
当时，最小，最小值为，
此时面积等于．
故答案为．

把线段绕点顺时针旋转，得到，连接，则为定点求出坐标，证明≌，把转化为，当时，最小，即最小，求面积即可．
本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】解：将原不等式可整理得：
 ，
 ，
，
，
，
 ，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
，
在数轴上表示为：
；

，
，
，
，
，
，
在数轴上表示为：
． 

【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
 

20.【答案】解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处；

如图所示：点即为所求． 

【解析】直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；
直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，
，
又垂直平分，
，
故答案为：；
如图：

垂直平分．
，
又的周长是，
，
．
当点与点重合时，的值最小，最小值是．
根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得点与点的关系，可得与的关系．
本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的通分和约分是解题的关键．先化简，再把的值代入，计算即可．
 

23.【答案】解：，平分，
，
；
证明：，平分，
，
为中点，
，
是等腰三角形． 

【解析】由条件可知是的中点，可知；
由条件可知为斜边上的中线，可得，则可证得是等腰三角形．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质及直角三角形的性质，由条件得到为的中点及是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为个、个，
由题意得，，
解得：．
经检验它是原方程的组解，且符合题意．
答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为个、个． 

【解析】设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为个、个，根据各加工个零件甲比乙少用小时完成任务，改进操作方法之后，乙完成个零件的时间比甲完成个零件所用的时间少小时，列方程组求解．
本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解，注意检验．
 

25.【答案】解： ， ，
，，
由题意可得：，
解得：
当时，点、点相遇．
，，
，
∽，
，即，
解得：，
当时，如图所示：
的面积；
即；
当 时，如图所示：
的面积；
即 
当时，如图所示：
的面积；
即；
应分三种情况讨论：
当时，点在上．
如图，过作于，
则，
又，
，
当时，，即，
又，，
，，
即，；
若时，则是等腰三角形．
此时点在的垂直平分线上，
，
则有：，
解得：，
当时，如图所示：
此时点在上，且点在点左侧．

只有当时，是等腰三角形．
此时，
则有：，
解得：；
当时，如图所示：
点在上，且点在点右侧．
同理可得：只有当时，是等腰三角形．
此时，
则有：，
解得：，
综上所述：当为秒或秒或秒时，是等腰三角形． 

【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及分类讨论等知识；利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键．
由题意可列方程可求的值；
分，，三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
分，，三种情况讨论，即可求的解．