2021-2022学年江西省宜春市丰城九中八年级（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

2021-2022学年江西省宜春市丰城九中八年级（下）期末数学试卷（B卷）

一、选择题（本题共6小题，共18分）

1. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A. 且 B.  C. 且 D.

2. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

3. 从，，，，这五个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的方程有实数解，且使关于的分式方程有整数解，那么这个数中所有满足条件的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 当时，与的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

6. 抛物线为常数开口向下且过点，，下列结论：
   ；
   ；
   ；
   若方程有两个不相等的实数根，则；
   则其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

7. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ ．
8. 已知、是一元二次方程的两实根，则代数式 ______ ．
9. 关于的方程有两个实数根，，且，则 ______ ．
10. 某二次函数的图象的顶点坐标，且它的形状、开口方向与抛物线相同，则这个二次函数的解析式为______．
11. 已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为______．
12. 已知函数使成立的的值恰好只有个时，的值为______．

三、解答题（本题共11小题，共84分）

13. 解方程：
    ．
    ．
14. 若关于方程有两个实数根互为相反数，试求：的值．
15. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，求的值是多少？
16. 已知二次函数的图象过点，与轴交于点，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点，求点的坐标．

17. 已知是方程的一个根．求：
    的值；
    代数式的值．
18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
    求的取值范围；
    是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
19. 若、、为的三边，且满足探索的形状，并说明理由．
20. 已知：二次函数的图象过，，这三点．
    求这个二次函数的解析式．
    设该二次函数图象与轴交于和两点，请在轴上方图象上找出点，使面积求点的坐标．
21. 已知实数，满足，，当时，二次函数的最大值是，求的值．
22. 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
    甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到千克，用油的重复利用率仍然为问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
    乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少千克，用油量的重复利用率将增加这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
23. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点．
    求这个二次函数的表达式；
    若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与交于点，连接．
    求线段的最大值；
    当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题．
根据题意，得到且，即可得解．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
，即，
解得：，．
原方程有两个不相等的实数根，
，
，
．
故选：．
根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，找出关于的方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，
，
原方程化为：，
，
此时方程分式方程为：，
满足题意，
；，
当时，
，
，
关于的分式方程有整数解，
是整数，
且
且
，
综上所述，或，
满足题意所有的值之和为，
故选：．
根据根的判别式以及分式方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，，则、同号，
当时，，开口向上，过原点，过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，，开口向下，过原点，过二、三、四象限；
此时，选项符合，
故选：．
根据题意，，则、同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：由可得，，，
观察函数图象可知，当时，函数值．
故选：．
根据函数图象求出与轴的交点坐标，再由图象得出答案．
此类题可用数形结合的思想进行解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，
，
，
抛物线开口向下，，
时，，
，
，正确．
，
，即，
，正确．
抛物线开口向下，
，
，，，
，正确．
若有两个不相等的实数根，
则，有两个不相等的实数根，
抛物线开开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于，
即，
，正确．
故选：．
由抛物线经过可得，由时可推出，，从而判断，由及可判断，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
，
，
故答案为．
先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，再将其代入所求式子即可求解．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两实根，
，，

．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，再利用乘法公式展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，根据根与系数的关系得到，，再将变形得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：关于的方程有两个实数根，，
，，
，即，
，
解得，，
经检验，当时，不合题意，符合题意，
．  

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标，且它的形状、开口方向与抛物线相同，
这个二次函数的解析式为：，
故答案为：．
根据二次函数的性质写出二次函数的解析式．
本题考查的是二次函数的性质、二次函数解析式的确定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，
，当时，，
，
解得，，舍去，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，可以判断的正负，得到关于的方程，从而可以求得的值．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的图象如图：
根据图象知道当时，对应成立的值恰好有三个，
．
故答案：．
首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有个的值．
此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
 

13.【答案】解：，
，


，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】解：设的两实数根为，，
则，
关于方程有两个实数根互为相反数，
，
，
解得，
经检验，时，原方程有两个不等实数根，
． 

【解析】根据根与系数的关系，利用两根之和为得到，然后解出后利用乘方的意义计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得：，，
又方程有两个实数根，
，
当时，
，舍去；
故符合条件的的值为． 

【解析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．
 

16.【答案】解：二次函数的图象过点，
，
；
二次函数的解析式为：，
令，则，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
抛物线，的对称轴为：，
把代入得，
． 

【解析】把点代入二次函数的解析式得到，确定二次函数的解析式为：，求得，得到直线的解析式为：，把对称轴方程，代入直线即可得到结果．
本题考查了二次函数与不等式组，二次函数与轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线的交点即为点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：是方程的一个根，
，
，



；
原式




． 

【解析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解；
可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

18.【答案】解：根据题意得：，
且；

假设存在，根据一元二次方程根与系数的关系，
有，即；
但当时，，方程无实数根
不存在实数，使方程两根互为相反数． 

【解析】根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：，解可得答案；
假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是，可得的值；把的值代入判别式，判断是否大于可得结论．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：，．
 

19.【答案】解：是等边三角形，
理由：，
，
，
的形状是等边三角形． 

【解析】直接利用因式分解法将原式变形，进而得出，，的关系，进而得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
 

20.【答案】解：的图象过，，三点，
，
解得．
该二次函数解析式为：；

由知，该二次函数解析式是，则该抛物线与轴的交点．
的高线长度为．
与的同底三角形，且．
的高为．
设图象上点的坐标为．
则，
解得，，，
点的坐标为：或．
答：点的坐标为或． 

【解析】将点、、的坐标分别代入已知函数解析式，列出关于系数、、的方程组，通过解方程组来求二次函数解析式；
首先，根据抛物线解析式求得点的坐标，即的高线长度为；
然后，由三角形的面积公式、已知条件求得的高为故设图象上点的坐标为；
最后，由二次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和三角形的面积．熟练掌握二次函数图象与轴，轴交点的意义．
 

21.【答案】解：，，
，即．
当时，二次函数的对称轴为直线，最大值是，不合题意；
当时，当时，二次函数的最大值是，
把，代入二次函数，
解得；
综上所述，的值是． 

【解析】首先根据条件，可确定，然后再分情况进行讨论：和两种情况，分别求得两种情况下的函数的最值，计算出的值．
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意，得千克．
答：技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是千克．
设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为千克．
由题意，得：，
整理得，解得：，舍去，
．
答：技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是千克，用油的重复利用率是． 

【解析】根据题意可得，计算即可求解；
设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，由“实际耗油量下降到千克”列方程得，解方程求解即可．
此题考查了列一元二次方程在实际中的应用；同时考查了学生分析问题、解决问题的能力．分析数量关系、探究等量关系是列方程解应用题的关键．
 

23.【答案】解：将，，代入函数解析式得，
，
解得，
这个二次函数的表达式；

设的解析式为，
将，的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
的解析式为，
设，，
，
当时，，
线段的最大值；
解法一：当时，，
解得不符合题意，舍，，
，
．
当时，，
解得不符合题意，舍，，不符合题意，舍，
，

综上所述：或．
解法二：当时，
：，
，
，
，
时，为等腰直角三角形，轴，
设，则，
，
，
解得舍去或，
，
当时，设，
则，
，
，
，
解得，
，
综上所述：或． 

【解析】根据待定系数法，可得答案；
根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、等腰三角形的性质等知识，解的关键是利用待定系数法求函数解析式，解的关键是利用平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解的关键是利用等腰三角形的定义得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏．