2021-2022学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到年月日时，全国接种疫苗累计超过亿剂次．把亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图所示的几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图所示，量角器的圆心在矩形的边上，直径经过点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 为确保新冠肺炎疫情防控期间学生健康、校园安全和教学秩序，学校要求学生每日测量体温某同学连续天的体温情况如表所示，则该同学这天体温数据的众数和中位数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 北京举办冬奥会期间，小华同学计划从喜欢的“滑雪、滑冰、冰球”三个项目中选择两项收看，于是用纸条分别写了这三个项目，然后揉成纸团，从中随机抽取两个，则这两个纸团恰好是“滑雪”和“冰球”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是的直径，是弦，于，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图时点运动时随运动时随变化的关系图象，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 的平方根是______．
12. 因式分解：______．
13. 如图，在矩形中，，，点为的中点，，以为直径的半圆与交于点，则的长为______．

14. 如图，在五边形纸片中，，，将五边形纸片沿折叠，点落在点处，在上取一点，将和分别沿、折叠，点、恰好落在点处．
    ______；
    如图，若四边形是菱形，且、、三点共线时，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

15. 解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    如图，已知和点．
    把绕点顺时针旋转得到，在网格中画出；
    用无刻度的直尺，在边上画出点，使要求保留作图痕迹，不写作法．

17. 本小题分
    观察下面的图案与等式的关系，并填空．
    ．
    ______ ______ ．
    ______ ______ ．
    通过猜想，写出第个图案相对应的等式．
18. 本小题分
    随着第届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成了名副其实的国民顶流．奥林匹克官方旗舰店预售“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，若定购个“冰墩墩”和个“雪容融”小挂件共需支付元，若定购个“冰墩墩”和个“雪容融”小挂件共需支付元．“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？

19. 本小题分
    年月日，合肥古逍遥津公园摩天轮“庐州之眼”正式开放，对外营业．该摩天轮高约米最高点到地面的距离，点是摩天轮的圆心，是其垂直于地面的直径，在地面的处测得摩天轮最高点的仰角为，测得圆心的仰角为，求摩天轮所在圆的半径．结果精确到米，参考数据：，，
     

20. 本小题分
    如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于．
    求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
    设点，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围．

21. 本小题分
    为了进一步落实“双减”，了解学生的作业完成时间情况．某校调查八年级学生平均每天完成作业所用的时间，从全校八年级学生中随机抽取了名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间分钟分成五个时间段进行统计：，，，，，并制成如下两幅不完整的统计图．
    根据上述信息，解答下列问题：
    求的值，并补全条形统计图；
    在扇形统计图中，时间段所占的百分比为______，时间段所对应的圆心角的度数等于______；
    按照“双减”的相关规定，初中阶段学生每天平均完成作业时间不超过分钟．请估计该校名八年级学生，平均每天完成作业时间超过分钟的人数．
     

22. 本小题分
    年月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿抛物线：运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平
    距离为米时，距离水平线的高度恰好为米．
    求抛物线的解析式不要求写自变量的取值范围；
    运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？
    运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？
     

23. 本小题分
    如图，中，，，、分别是直线、边上的点，直线、交于点．
    如图，若，则______；直接写出答案
    如图，若，求的值；
    如图，若，，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的绝对值是．
故选：．
计算绝对值要根据绝对值的定义求解，一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离．
本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是，比较简单．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故原题计算正确；
B、，故原题计算正确；
C、和不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
D、，故原题计算正确；
故选：．
根据单项式乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的计算法则进行分析即可．
此题主要考查了单项式乘以单项式，以及积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法，关键是熟练掌握各计算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形，

故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，明确从上面看得到的图形是俯视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得到，即可根据平行线的性质求解．
此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：出现次数最多的数，
所以这组数据的众数为，
这组数据的中位数是第、个数据的平均数，
所以这组数据的中位数为．
故选：．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解即可．
本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
，
故选：．
根据已知求出的范围，写出一个符合条件的值即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键时掌握一元二次方程根的判别式．
 

8.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两个纸团恰好是“滑雪”和“冰球”的有种结果，
所以两个纸团恰好是“滑雪”和“冰球”的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，设的半径为，则，，

，过圆心，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，，
，
，
故选：．
连接，设的半径为，则，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，得出，求出，再求出，最后根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接，
根据图知：当点与点重合时，，
当与重合时，，
，
，
当点到达点时，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的平方是，
的平方根是．
故答案为：．
直接利用平方根的定义计算即可．
此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，
，为的中点，
，
，，
，
由勾股定理得，，，
，
≌，
，
，
，即，
，
，
，
，
劣弧的长．
故答案为：．
连接，，根据勾股定理分别求出、，证明≌，求出，得到，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：将五边形纸片沿折叠，
，，，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接，交于，

四边形是菱形，
是的垂直平分线，，
，，三点共线，
是的垂直平分线，
，，，
由折叠可知：，，，，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，由周角的性质可得，即可求解；
由菱形的性质可得，，，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程的方法公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
 

16.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点即为所求． 

【解析】利用旋转变换的性质可得答案；
构造相似三角形，使其相似比为：，从而得出点的位置．
本题主要考查了作图旋转变换，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】       

【解析】解：观察图形，可知：；．
故答案为：；；；．
根据各等式的变化，猜测第个图案相对应的等式为．
观察图案，可得出等式的右边为，即；观察图案，可得出等式的右边为，即；
根据各等式的变化，可找出变化规律“”
本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键．
 

18.【答案】解：设“冰墩墩”小挂件的单价为元，“雪容融”小挂件的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：“冰墩墩”小挂件的单价为元，“雪容融”小挂件的单价为元． 

【解析】设“冰墩墩”小挂件的单价为元，“雪容融”小挂件的单价为元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，米，
米，
在中，，
米，
米，
摩天轮所在圆的半径约为米． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：一次函数的图象和反比例函数的图象交于，
，，
，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
如图，当过点且平行于轴的直线在点上方时，即时，
可得，，
当时，，
解得，
，
时，，
如图，当过点且平行于轴的直线在点下方时，即时，
令，，
解得或，
，
时，，
由图可得，当时，． 

【解析】利用待定系数法求得即可；
由题可得，，，三点的纵坐标相同，所以可以用表示出，，三点坐标，，可以在点上方，也可以在点下方，分类讨论，求出时，的值，数形结合，写出当时，的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用条件表示出各特殊点坐标是基本功，同时，要注意分类讨论和数形结合思想．
 

21.【答案】   

【解析】解：；
时间段的人数有：人，
补全统计图如下：


，即；
时间段所对应的圆心角的度数等于：；
故答案为：，；

根据题意得：
人，
答：平均每天完成作业时间超过分钟的人数有人．
根据时间段的人数和所占的百分比，求出，再用总人数乘以所占的百分比，即可补全统计图；
用时间段除以总人数，求出的值，再用乘以时间段所占的百分比，即可得出答案；
用总人数乘以平均每天完成作业时间超过分钟的人数所占的百分比，即可得出答案．
本题考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
故答案为：．
，
当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，此时距离水平线的高度是米．
故答案为：，．
设运动员与小山坡的竖直距离为米，

，
当时，取到最大值，最大值．
故答案为：，． 

【解析】根据题意将点和代入解析式中，求出、的值即可；
将抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；
设在滑行期间距离小山坡的高度是米，根据二次函数的性质分析二次函数的最大值即可得到结论．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：；
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
∽，
；
如图，过点作于，

，，
，，
，
设，，
，
，，
，
又，
∽，
．
通过证明∽，可得，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．