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初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数3 一次函数的图象精品复习练习题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数3 一次函数的图象精品复习练习题，文件包含43一次函数的图象知识点讲解-含答案docx、43一次函数的图象知识点讲解docx、43一次函数的图象练习题-含答案docx、43一次函数的图象练习题docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
专题4.3一次函数的图象
典例体系
一、知识点
1、一次函数y=kx+b中k、b的作用
k---决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k＞0 直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0 直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
b---决定了直线与y轴交点的位置:b＞0直线与y轴的正半轴相交；b＜0直线与y轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。
2、一次函数图像的交点问题
一次函数y=kx+b与x轴的交点------令y=0，则kx+b=0，解出x即为直线与x轴的交点的横坐标。
一次函数y=kx+b与y轴的交点------令x=0，则y=b,即直线与y轴交点坐标为（0，b）
3、一次函数的平移
口诀“上加下减，左加右减”（上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x上加减）
二、考点点拨与训练
考点1：正比例函数的图象和性质
典例：（2020·广西柳州初二期末）关于直线y=4x，下列说法正确的是（ ）
A．直线过原点 B．y随x的增大而减小
C．直线经过点（1，2） D．直线经过二、四象限
【答案】A
【解析】对于正比例函数，
当时，，
当时，，
则直线经过原点，不经过点，选项A正确，选项C错误；
正比例函数中的，
随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限，则选项B、D错误；
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．
巩固练习
1．（2020·东北师大附中明珠学校初二期末）已知正比例函数y=（1﹣m）x的图象过二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1
【答案】B
【解析】∵正比例函数y=（1﹣m）x的图象过二、四象限，
∴1﹣m＜0，
解得：m＞1，
故选：B．
2．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）若一个正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．则下列各点在该正比例函数图象上的是（ ）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣9） D．（2，9）
【答案】A
【解析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．
将（﹣3，6）代入y＝kx，得：6＝﹣3k，
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
当x＝1时，y＝﹣2x＝﹣2，
∴点（1，﹣2）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，点（1，2）不在正比例函数y＝﹣2x的图象上；
当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4，
∴点（2，﹣9），（2，9）均不在正比例函数y＝﹣2x的图象上．
故选：A．
3．（2020·宁夏盐池初二期末）己知正比例函数过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将（5，3）代入y=kx，得
3=5k，
解得：k=，
所以y=x，
将（m，4）代入y=x，得
4=m，
解得：m=，
故选D．
4．（2020·湖北老河口初二期末）若正比例函数y＝(2－3m)x的图象经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞ C．m＜ D．m＜0
【答案】B
【解析】∵图象经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且当x1＜x2时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴，
∴．
故答案选B．
5．（2020·四川利州初二期末）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入，得：，
∴正比例函数的解析式为.
故选B.
6．（2020·广西防城港初二期末）已知正比例函数的图象过点，下面也在这条直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵正比例函数的图象过点，
∴，解得：，
∴y=-x
A、当时，，不合题意；
B、当时，，合题意；
C、当时，，不合题意；
D、当时，，不合题意；
故选B.
7．（2020·湖北曾都初二期末）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．图象经过第一、三象限 B．随的增大而减小
C．图象经过点 D．无论为何值，总有
【答案】B
【解析】解：A、∵k=-2＜0，
∴函数y=-2x的图象经过第二、四象限，选项A不符合题意；
B、∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当x=-1时，y=-2×（-1）=2，
∴函数y=-2x的图象经过点（-1，2），选项C不符合题意；
D、当x=0时，y=-2×0=0，且y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意．
故选：B．
8．（2020·全国初三课时练习）边长为2的正六边形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意A（−2，2），
把A（−2，2）代入y＝kx，
得到2＝−2k，
∴k＝，
故选B．
9．（2020·陕西初三三模）若正比例函数为y=3x，则此正比例函数过（m，6），则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】∵点（m，6）在正比例函数为y=3x的图象上，∴3m=6，解得：m=2．
故选：B．
10．（2020·陕西西安高新一中初三其他）若点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a﹣b＝6 B．a+b＝﹣10 C．a•b＝﹣8 D．＝﹣2
【答案】C
【解析】解：∵点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上，
∴﹣2＝ka，b＝4k，
∴k＝，﹣2＝，
∴ab＝﹣8，
故选：C.
考点2：由一次函数解析式判断图象
典例：（2020·陕西神木初二期中）若正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象中y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴-k＞0，
∴y=-kx+k的图象经过一、三、四象限．
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．
巩固练习
1．（2020·湖北老河口初二期末）一次函数y＝kx－k(k＜0)的图象大致是( )
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，
故选A．
2．（2020·云南昭通初二期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选A．
3．（2018·黑龙江甘南初二期末）若腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长（单位：）与底边长（单位：）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，x+2y=10，
所以，，
根据三角形的三边关系，x＞y-y=0，
x＜y+y=2y，
所以，x+x＜10，
解得x＜5，
所以，y与x的函数关系式为（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选D．
4．（2020·广东潮阳初二期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
∴一次函数y＝﹣x+k的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
5．（2020·湖北麻城思源实验学校初二期末）已知直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，则直线y＝bx－k－2的图象只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴−k−2＜0，
∴直线y＝bx−k−2的图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
6．（2020·海南临高初二期末）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵一次函数中
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选C．
7．（2020·河南新乡初二期末）能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数且m≠0）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误；
B、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误；
C、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确；
D、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误．
故选：C．
8．（2020·广西柳州初二期末）已知一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是下列选项中的（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】由一次函数y＝kx＋b的图象可知k＜0，b＞0，
所以一次函数y＝bx＋k的图象应该见过一、三、四象限，
故选：C．
9．（2020·重庆奉节初二期末）已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=kx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b=k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限；
故答案为：A．
10．（2020·湖北随县初二期末）表示一次函数与正比例函数（，是常数且）图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以A选项正确；
B、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误．
C、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以C选项错误；
D、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误；
故选A．
11．（2020·辽宁大石桥初二期末）已知正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x﹣k的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴-k＜0，
∴在一次函数y=x-k中，y随x的增大而增大，且与y轴的交点在x轴的下方，
故选B．
考点3：由图象判断参数符号
典例：（2020·湖南天心长郡中学初二期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3 B．a＞0 C．a＜3 D．0＜a＜3
【答案】D
【解析】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得：0＜a＜3．
故选D．
方法或规律点拨
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河北孟村初二期末）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①；②；③，则、、的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据图像可知，①与②经过一、三象限，③经过二、四象限，
∴，，，
∵②越靠近y轴，则，
∴大小关系为：；
故选择：C.
2．（2020·内蒙古固阳初二期末）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则k、b的符号是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＞0
【答案】D
【解析】一次函数的图像与性质，由图像向上斜，可知k＞0，由与y轴的交点，可知b＞0.
故选：D
3（2020·湖南娄底初二期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选C．
4．（2020·广东斗门初三一模）已知直线经过第一、三、四象限，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【解析】解：∵直线y=x+b经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
∴符合的只有选项A，选项B、C、D都不符合，
故选：A．
5．（2020·岑溪市第六中学初一月考）已知，一次函数y＝kx+b的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】B
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵直线与y轴负半轴相交，
∴b＜0．
故选：B．
6．（2020·安徽无为初二期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【答案】D
【解析】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
7．（2020·湖北洪山初二期末）若直线不经过第三象限，则的值可以为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵直线y=-3x+b不经过第三象限，
∴b≥0．
故选：A．
8．（2020·甘南县八一学校初二期末）函数的图像经过一、二、四象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得,函数y=(m+1)x−(4m−3)的图象在第一、二、四象限，
有
解之得：m<−1.
故答案选C.
考点4：一次函数图象与坐标轴交点
典例：（2020·四川嘉陵初二期末）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为8，
，
，
即该直线的函数表达式是，
故选．
方法或规律点拨
本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·陕西神木初二期中）一次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
【答案】D
【解析】解：当y=0时，x+2=0，解得x=-2，
所以一次函数的图象与x轴的交点坐标为（-2，0）．
故选：D．
2．（2019·重庆梁平初二期末）直线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：把x=0代入y=2x-3得y=-3，
所以直线y=2x-3与y轴的交点坐标是（0，-3）．
故选：C．
3．（2020·湖北江岸初二期末）一次函数有下列结论：（1）当k=1时，图像与坐标轴围成的三角形的面积为3，则；（2）当b=1时，图像与函数的图像有两个交点，则；下列结论正确的是（ ）
A．（1）正确 B．（1）（2）正确 C．（2）正确 D．都不正确
【答案】A
【解析】（1）∵，当k=1时，，
又∵图像与坐标轴围成的三角形的面积为3，
当y=0时，，解得：，
∴，
∴，
解得：．
（2）当b=1时，，图像与函数的图像有两个交点，
当x=2时，，解得，
当时，，
∴当或时，满足条件；
故答案选A．
4．（2020·河南川汇初二期末）若直线（）经过点，与轴的交点在x轴的下方，则k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点代入中，得，
，
∴，
∵该直线与轴的交点在x轴的下方，
∴，
∴，
∴．
故答案选D．
5．（2020·河北魏县初二期末）一次函数的图像与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，-4） B．（0，4） C．（2，0） D．（-2，0）
【答案】B
【解析】令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选B．
6．（2020·广东恩平初二期末）关于一次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．与x轴交于 D．与y轴交于
【答案】A
【解析】一次函数中的，
y随x的增大而增大，则选项A正确；
一次函数中的，，
此函数的图象经过第一、三、四象限，则选项B错误；
对于一次函数，
当时，，解得，
即与x轴交于，选项C错误；
当时，，
即与y轴交于，选项D错误；
故选：A．
6．（2020·内蒙古乌兰浩特初二期末）直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴围成的三角形面积是_____．
【答案】4
【解析】解：令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即-x﹣2=0，解得x＝﹣4，
故直线y＝-x﹣2与两坐标轴的交点分别为(0，-2)、(-4，0)，
故直线y＝-x﹣2与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣2|×|﹣4|＝4．
故答案为：4．
7．（2019·贵州印江初二期末）一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（3，0）.
【解析】把y=0代入y＝2x－6得x=3，所以一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为（3，0）.
8．（2019·黑龙江甘南初二期末）若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为6，则k的值为______．
【答案】±
【解析】当x=0时，可知函数与y轴的交点为(0，3)，
设图象与x轴的交点到原点的距离为a，
则×3a=6，
解得：a=4，
则函数与x轴的交点为(4，0)或(-4，0)，
把(4，0)代入y=kx+3得，4k+3=0，k=-，
把(-4，0)代入y=kx+3得，-4k+3=0，k=，
故答案为±.
9．（2020·湖北老河口初二期末）若一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点坐标为____．
【答案】(-2，0)
【解析】令y=0，即x+2=0，
解得：x=-2，
∴一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标为(-2，0)．
故答案为：(-2，0)
10．（2019·浙江仙居初二期末）若函数y=kx-3的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么k=__．
【答案】
【解析】
解:如图,令 得 ，
则直线与x轴交点坐标为 ,即,
令x=0,得y=-3,则直线与y轴交点坐标为(0,-3)即B(0,-3),
当k>0时,由 ,
∴ ,
当k<0时,由 ,
∴ ,
所以, 或.
11．（2020·河南新乡初二期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为___．
【答案】y＝x+2或y＝﹣x+2．
【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），
∴b＝2，
设一次函数与x轴的交点是（a，0），
则×2×|a|＝2，
解得：a＝2或﹣2．
把（2，0）代入y＝kx+2，解得：k＝﹣1，则函数的解析式是y＝﹣x+2；
把（﹣2，0）代入y＝kx+2，得k＝1，则函数的解析式是y＝x+2．
故答案是：y＝x+2或y＝﹣x+2．
考点5：一次函数图象的平移
典例：（2020·山东宁阳初一期末）已知直线:y=x-3分别与x轴，y轴交于A、B两点．
(1)在网格中用两点法画出直线；
(2)将直线向上平移6个单位后得到直线，画出平移后的直线．
【答案】（1）图见解析（2）y＝x＋3，图见解析
【解析】（1）当y＝0时，0＝x−3，解得：x＝6，所以点A的坐标为（6，0）；
当x＝0，y＝−3，所以点B的坐标为（0，−3）．
直线l1的图象如图所示：
（2）将直线l1向上平移6个单位后得到直线l2，直线l2的函数解析式为：y＝x−3＋6，即y＝x＋3．
直线l2的图象如图所示：
方法或规律点拨
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，三角形的面积，利用图象平移的规律是解题关键．
巩固练习
1．（2020·湖北硚口初二期末）将直线向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线向上平移2个单位可得到：．
故答案选C．
2．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）已知一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】∵一次函数y＝﹣2x+4的图象经过一二四象限，
∴一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣2x+4﹣m，
∵直线y＝﹣2x+4经过点（1，2），该点关于原点的对称点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝﹣2x+4﹣m，得﹣2＝2+4﹣m，
解得m＝8，
故选：D．
3．（2020·岑溪市第六中学初一月考）将函数的图象沿轴向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵将函数y=-2x的图象沿y轴向上平移3个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=-2x+3．
故选：B．
4．（2020·四川泸县初二期末）要得到函数y＝2x﹣3的图象，只需将函数y＝2x的图象（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】D
【解析】解:由题意得x值不变y减少3个单位
应沿y轴向下平移3个单位．
故选:D．
5．（2018·内蒙古科尔沁右翼前旗初二期末）将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+2．
故选A．
6．（2020·河南长葛初二期末）将函数y＝－2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为( )
A．y＝－2(x＋3) B．y＝－2(x－3) C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
【答案】D
【解析】解:把函数y=-2x的图象向下平移3个单位后,所得图象的函数关系式为y=-2x-3.
所以D选项是正确的.
7．（2020·江西兴国初二期末）将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为．
故选：B．
8．（2020·内蒙古固阳初二期末）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是_____．
【答案】y=2x﹣2．
【解析】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
9．（2020·四川阿坝初二期末）直线y＝－x＋1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是________．
【答案】y＝－x＋6
【解析】解：直线y=-x+1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是y=-x+1+5，即y=-x+6．
故答案为y=-x+6．
10．（2020·吉林延边初二期末）将直线向上平移个单位，所得直线与轴的交点坐标为________．
【答案】
【解析】 直线向上平移1个单位，
平移后直线解析式为：，
当x=0时，则y=1，
平移后直线与y轴的交点坐标为：．
故答案为．
11．（2020·山西初三三模）已知一次函数，将该函数图象先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，平移后的函数图象过点，则的值为___________．
【答案】
【解析】解：由题意得一次函数y=(m+1)（x-4）+m−2-2(m≠−1)经过点（1，-2）
∴(m+1)（1-4）+m−2-2=-2，解得：m=-，
故答案为：-．
12．（2020·福建漳州初二期末）将直线向下平移个单位，得到直线___________．
【答案】
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x向下平移1个单位，得到直线是：y=2x-1．
故答案为y=2x-1．
考点6：一次函数的增减性
典例：（2020·湖北随县初二期末）已知一次函数（为常数，且）．若当时，函数有最大值7，则的值为_________．
【答案】或
【解析】①当a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝4时，y有最大值7，将x＝4，y＝7代入函数关系式得7＝4a﹣a+2，
解得，a＝；
②当a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值7，把x＝﹣1代入函数关系式得7＝﹣a﹣a+2，
解得，a＝；
所以a＝或，
故答案为：或．
方法或规律点拨
本题考查一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
巩固练习
1．（2020·昆明市官渡区第一中学初二月考）下列关于函数的说法：①它是正比例函数；②它的图像是经过原点和第二、四象限的一条直线；③随的增大而增大；④它的图像经过点(-6，8)．其中正确的有___________．
【答案】①②④
【解析】解：①y＝x，k＝≠0，故函数是正比例函数，符合题意；
②x＝0，y＝0，故图象是经过原点的一条直线，
k＝，故图象过第二、四象限，符合题意；
③k＝＜0，故y随x增大而减小，不符合题意；
④当x=-6时，y=×-6＝8，
故它的图像经过点(-6，8)，符合题意；
故答案为：①②④．
2．（2020·陕西神木初二期中）直线y＝kx＋b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且（x1-x2）（y1-y2）<0，则常数k的取值范围是_______________．
【答案】k＜0
【解析】根据题意设x1＞x2，∵（x1-x2）（y1-y2）<0
∴y1-y2＜0，即y1＜y2
∴y随x的增大而减小，
故k＜0,
故填：k＜0.
3．（2020·湖北麻城初二期末）已知一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则 的取值范围是________________．
【答案】
【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，解得，
故答案为：．
4．（2020·广西田东初三一模）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．
【答案】k＜3
【解析】解：的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
5．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）初三其他）已知一次函数y＝kx+b的图象经过一，二，四象限，且当2≤x≤4时，4≤y≤6，则的值是_____．
【答案】-8
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤4时，4≤y≤6，
∴当x＝2时，y＝6；
当x＝4时，y＝4，
∴，
解得：，
∴＝﹣8，
故答案为：﹣8．
6．（2020·广东郁南初二期末）在一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是_______．
【答案】m＜-1
【解析】∵随的增大而减小
∴一次函数的比例系数k＜0，即m+1＜0
解得：m＜－1
故答案为：m＜－1．
7．（2020·宁夏盐池初二期末）某一次函数的图象经过点（﹣1，3），且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式 ．
【答案】y=﹣x+2（答案不唯一）．
【解析】解：该一次函数的解析式为y=kx+b（k＜0），
∵一次函数的图象经过点（﹣1，3），
∴﹣k+b=3，
∴当k=﹣1时，b=2，
∴符合条件的函数关系式可以是：y=﹣x+2（答案不唯一）．
8．（2020·上海杨浦初二期末）已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，；
故答案为：．
9．（2020·黑龙江庆安初二期末）若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝” ）
【答案】<，<
【解析】若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k＜0，b＜0．
10．（2020·上海浦东新初二期末）已知一次函数y＝（3m﹣2）x+1，且y的值随着x的值增大而减小，则m的取值范围是_____．
【答案】m＜
【解析】∵一次函数y＝（3m﹣2）x+1的y值随着x值的增大而减小，
∴3m﹣2＜0，
∴m＜．
故答案为：m＜．
考点7：一次函数的规律探究题
典例：（2020·北京昌平一中初二期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+1 与 x、y 轴分别交于点 A、B， 在直线 AB 上截取 BB=AB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C， 得到矩形 OABC；……；则点 B 的坐标是______；第 4 个矩形 OABC的面积是_____；第 n 个矩形 OAnBnCn 的面积是______（用含 n 的式子表示，n 是正整数）．
【答案】(1,2) 12
【解析】解：①直线y=x+1与x轴交于A点(-1,0)，与y轴交于B点(0,1)，为了使，
∴的坐标为(1,2)；
②依次使，，即，，，
∴；
③依次类推，，，，
∴，
故答案为：①(1,2)；②12；③．
方法或规律点拨
本题主要考察了一次函数的规律探究问题，解题的关键在于写出、、分别的坐标，利用规律即可求解该题．
巩固练习
1．（2020·广西北海初二期末）正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 （ ）
A．8 B．32 C．64 D．126
【答案】B
【解析】∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，即B1 的纵坐标是1，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，即B2的纵坐标是2，
同理得：A3C2=4=22，即B3 的纵坐标是22，…，
∴点B6的纵坐标是25，即点B6的纵坐标是32，
故选：B．
2．（2020·浙江吴兴初二期末）如图，已知直线l1、l2经过坐标原点O，且l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°．在直线l1和l2之间依次构造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…点A1、点A2、点A3、点A4、点A5…依次落在直线l1上，点B1、点B2、点B3、点B4…依次落在直线12，上，且A1B1＝1，则点B2020的坐标为（ ）
A．(22018，22018) B．(22017，22017)
C．(22018，22018) D．(22018，22018)
【答案】A
【解析】解：∵l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°，
∴l1与12所夹锐角为45°，12与x轴所夹锐角为60°，
∴△A1B1O，△A2B2O，△A3B3O，…都是等腰直角三角形，
∴B1O＝20，B2O＝21，B3O＝22，…，BnO＝2n﹣1，
∴点B2020的坐标为（22020﹣1×，22020﹣1×），即（22018，22018）．
故选：A．
3．（2020·江苏射阳初三其他）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点，在直线上，点在x轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】据题意可得：
依次均为等腰直角三角形，
∴，，
由A在上可知，，
∴，
则的纵坐标为：，即，
∴，
∴，
∴，
则的纵坐标为：，即，
∴当n=1时，，，；
当n=2时，，，；
当n=3时，，，；
当n=n时，，，；
故点的点是．
4．（2020·辽宁盘锦初三其他）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2AnBnCnCn-1是矩形，其面积分别是S1、S2、S3Sn，点B是直线y=x+1与y轴的交点，点B1、B2、B 3B n在直线y=x+1上，点C1、C2、C3Cn在x轴上，OB=OC1，B1C1=C1C2，B2 C2= C2C3，BnCn= CnCn+1则Sn=________．
【答案】22n-1
【解析】题意可得，
∴，
∴，
∵，点B1、B2、B 3B n在直线y=x+1上，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
…
∴．
故答案是．
5．（2020·广东韶关初二期末）正方形按如图放置，其中点在轴的正半轴上，点在直线上，则点的坐标为__________ ．
【答案】
【解析】设正方形的边长为t，则代入得，则；
设正方形的边长为a，则代入得，则；
设正方形的边长为b，则代入得，则；
设正方形的边长为c，则代入得，则；
设正方形的边长为d，则代入得，则，
故答案为：．
6．（2020·湖南邵阳初二期末）如图，正方形，，，…按如图所示的方式放置，点在直线上，点在轴上．已知点是直线与轴的交点，则点的纵坐标是_______．
【答案】
【解析】当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴的纵坐标为1，
当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴的纵坐标为2，
同理可知：点的坐标为，
的纵坐标为4，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为．
故答案是．
7．（2020·黑龙江双鸭山初三其他）如图，直线l：y=分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3；依此规律...若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积S2，阴影△A3B2B3的面积S3...，则Sn=__________．
【答案】
【解析】对于直线l：y=，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-
∴A（-，0）A1（0，1）
∴∠OAA1=30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1=30°，
在Rt△OA1B1中，，
∴；
同理可求出：，
∴；
依次可求出：……
因此：=
故答案为：．
8．（2020·山东肥城初三其他）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，．．．依次进行下去，则的坐标为_______________．
【答案】
【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，，，
，，，为自然数）．
，
点的坐标为，，即，．
故答案为：，．
9．（2020·辽宁台安初二期中）如图，直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为_________．
【答案】
【解析】解：在Rt△OA1B1中，，
，
∴点A2的坐标为（2，0）．
同理，可得出：点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（8，0），
由此可知An的坐标为，
A2020的坐标为．
故答案为：．
10．（2020·广东南山蛇口育才二中初三二模）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：在x轴上相交于点P(−1，0)．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…则当动点C到达B4处时，点B4的坐标为_______．
【答案】（15，8）
【解析】解：∵直线l1为y=x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴A点坐标为（0，1），则B1点的纵坐标为1，
设B1（x，1），代入l2
得 ，解得x=1；
∴B1点的坐标为（1，1）；
则A1点的横坐标为1，设A1（1，y1）
∴y1=1+1=2；
∴A1点的坐标为（1，2），
∴B2的纵坐标为2，设B2（x2,2）代入l2
得，解得x2=3
∴B2（3,2）
同理可得B3（7,4），B4（15,8）
故答案为：B4（15,8）
11．（2020·辽宁营口初三二模）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线 上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020=____．
【答案】
【解析】解：如图，分别过点 作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设，则，
∴OD=6+a，
∴点坐标为（6+a，a），
将点坐标代入得到：，
解得： ，
∴ ，
同理求得，，
∴，，，
∴，
因此；
故答案为：；
专题4.3一次函数的图象
典例体系
一、知识点
1、一次函数y=kx+b中k、b的作用
k---决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k＞0 直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0 直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
b---决定了直线与y轴交点的位置:b＞0直线与y轴的正半轴相交；b＜0直线与y轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。
2、一次函数图像的交点问题
一次函数y=kx+b与x轴的交点------令y=0，则kx+b=0，解出x即为直线与x轴的交点的横坐标。
一次函数y=kx+b与y轴的交点------令x=0，则y=b,即直线与y轴交点坐标为（0，b）
3、一次函数的平移
口诀“上加下减，左加右减”（上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x上加减）
二、考点点拨与训练
考点1：正比例函数的图象和性质
典例：（2020·广西柳州初二期末）关于直线y=4x，下列说法正确的是（ ）
A．直线过原点 B．y随x的增大而减小
C．直线经过点（1，2） D．直线经过二、四象限
【答案】A
【解析】对于正比例函数，
当时，，
当时，，
则直线经过原点，不经过点，选项A正确，选项C错误；
正比例函数中的，
随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限，则选项B、D错误；
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．
巩固练习
1．（2020·东北师大附中明珠学校初二期末）已知正比例函数y=（1﹣m）x的图象过二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1
【答案】B
【解析】∵正比例函数y=（1﹣m）x的图象过二、四象限，
∴1﹣m＜0，
解得：m＞1，
故选：B．
2．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）若一个正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．则下列各点在该正比例函数图象上的是（ ）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣9） D．（2，9）
【答案】A
【解析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．
将（﹣3，6）代入y＝kx，得：6＝﹣3k，
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
当x＝1时，y＝﹣2x＝﹣2，
∴点（1，﹣2）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，点（1，2）不在正比例函数y＝﹣2x的图象上；
当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4，
∴点（2，﹣9），（2，9）均不在正比例函数y＝﹣2x的图象上．
故选：A．
3．（2020·宁夏盐池初二期末）己知正比例函数过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将（5，3）代入y=kx，得
3=5k，
解得：k=，
所以y=x，
将（m，4）代入y=x，得
4=m，
解得：m=，
故选D．
4．（2020·湖北老河口初二期末）若正比例函数y＝(2－3m)x的图象经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞ C．m＜ D．m＜0
【答案】B
【解析】∵图象经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且当x1＜x2时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴，
∴．
故答案选B．
5．（2020·四川利州初二期末）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入，得：，
∴正比例函数的解析式为.
故选B.
6．（2020·广西防城港初二期末）已知正比例函数的图象过点，下面也在这条直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵正比例函数的图象过点，
∴，解得：，
∴y=-x
A、当时，，不合题意；
B、当时，，合题意；
C、当时，，不合题意；
D、当时，，不合题意；
故选B.
7．（2020·湖北曾都初二期末）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．图象经过第一、三象限 B．随的增大而减小
C．图象经过点 D．无论为何值，总有
【答案】B
【解析】解：A、∵k=-2＜0，
∴函数y=-2x的图象经过第二、四象限，选项A不符合题意；
B、∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当x=-1时，y=-2×（-1）=2，
∴函数y=-2x的图象经过点（-1，2），选项C不符合题意；
D、当x=0时，y=-2×0=0，且y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y＞0，选项D不符合题意．
故选：B．
8．（2020·全国初三课时练习）边长为2的正六边形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意A（−2，2），
把A（−2，2）代入y＝kx，
得到2＝−2k，
∴k＝，
故选B．
9．（2020·陕西初三三模）若正比例函数为y=3x，则此正比例函数过（m，6），则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】∵点（m，6）在正比例函数为y=3x的图象上，∴3m=6，解得：m=2．
故选：B．
10．（2020·陕西西安高新一中初三其他）若点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a﹣b＝6 B．a+b＝﹣10 C．a•b＝﹣8 D．＝﹣2
【答案】C
【解析】解：∵点A（a，﹣2）、B（4，b）在正比例函数y＝kx的图象上，
∴﹣2＝ka，b＝4k，
∴k＝，﹣2＝，
∴ab＝﹣8，
故选：C.
考点2：由一次函数解析式判断图象
典例：（2020·陕西神木初二期中）若正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象中y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴-k＞0，
∴y=-kx+k的图象经过一、三、四象限．
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．
巩固练习
1．（2020·湖北老河口初二期末）一次函数y＝kx－k(k＜0)的图象大致是( )
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，
故选A．
2．（2020·云南昭通初二期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选A．
3．（2018·黑龙江甘南初二期末）若腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长（单位：）与底边长（单位：）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，x+2y=10，
所以，，
根据三角形的三边关系，x＞y-y=0，
x＜y+y=2y，
所以，x+x＜10，
解得x＜5，
所以，y与x的函数关系式为（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选D．
4．（2020·广东潮阳初二期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b＝k＞0，
∴一次函数y＝﹣x+k的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
5．（2020·湖北麻城思源实验学校初二期末）已知直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，则直线y＝bx－k－2的图象只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴−k−2＜0，
∴直线y＝bx−k−2的图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
6．（2020·海南临高初二期末）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵一次函数中
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选C．
7．（2020·河南新乡初二期末）能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数且m≠0）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误；
B、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误；
C、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确；
D、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误．
故选：C．
8．（2020·广西柳州初二期末）已知一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是下列选项中的（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】由一次函数y＝kx＋b的图象可知k＜0，b＞0，
所以一次函数y＝bx＋k的图象应该见过一、三、四象限，
故选：C．
9．（2020·重庆奉节初二期末）已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=kx+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b=k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限；
故答案为：A．
10．（2020·湖北随县初二期末）表示一次函数与正比例函数（，是常数且）图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以A选项正确；
B、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误．
C、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以C选项错误；
D、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误；
故选A．
11．（2020·辽宁大石桥初二期末）已知正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x﹣k的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴-k＜0，
∴在一次函数y=x-k中，y随x的增大而增大，且与y轴的交点在x轴的下方，
故选B．
考点3：由图象判断参数符号
典例：（2020·湖南天心长郡中学初二期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3 B．a＞0 C．a＜3 D．0＜a＜3
【答案】D
【解析】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得：0＜a＜3．
故选D．
方法或规律点拨
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河北孟村初二期末）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①；②；③，则、、的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据图像可知，①与②经过一、三象限，③经过二、四象限，
∴，，，
∵②越靠近y轴，则，
∴大小关系为：；
故选择：C.
2．（2020·内蒙古固阳初二期末）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则k、b的符号是（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＞0
【答案】D
【解析】一次函数的图像与性质，由图像向上斜，可知k＞0，由与y轴的交点，可知b＞0.
故选：D
3（2020·湖南娄底初二期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选C．
4．（2020·广东斗门初三一模）已知直线经过第一、三、四象限，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【解析】解：∵直线y=x+b经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
∴符合的只有选项A，选项B、C、D都不符合，
故选：A．
5．（2020·岑溪市第六中学初一月考）已知，一次函数y＝kx+b的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】B
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象，y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵直线与y轴负半轴相交，
∴b＜0．
故选：B．
6．（2020·安徽无为初二期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，则下列不等式中能成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【答案】D
【解析】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
7．（2020·湖北洪山初二期末）若直线不经过第三象限，则的值可以为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵直线y=-3x+b不经过第三象限，
∴b≥0．
故选：A．
8．（2020·甘南县八一学校初二期末）函数的图像经过一、二、四象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得,函数y=(m+1)x−(4m−3)的图象在第一、二、四象限，
有
解之得：m<−1.
故答案选C.
考点4：一次函数图象与坐标轴交点
典例：（2020·四川嘉陵初二期末）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为8，
，
，
即该直线的函数表达式是，
故选．
方法或规律点拨
本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·陕西神木初二期中）一次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
【答案】D
【解析】解：当y=0时，x+2=0，解得x=-2，
所以一次函数的图象与x轴的交点坐标为（-2，0）．
故选：D．
2．（2019·重庆梁平初二期末）直线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：把x=0代入y=2x-3得y=-3，
所以直线y=2x-3与y轴的交点坐标是（0，-3）．
故选：C．
3．（2020·湖北江岸初二期末）一次函数有下列结论：（1）当k=1时，图像与坐标轴围成的三角形的面积为3，则；（2）当b=1时，图像与函数的图像有两个交点，则；下列结论正确的是（ ）
A．（1）正确 B．（1）（2）正确 C．（2）正确 D．都不正确
【答案】A
【解析】（1）∵，当k=1时，，
又∵图像与坐标轴围成的三角形的面积为3，
当y=0时，，解得：，
∴，
∴，
解得：．
（2）当b=1时，，图像与函数的图像有两个交点，
当x=2时，，解得，
当时，，
∴当或时，满足条件；
故答案选A．
4．（2020·河南川汇初二期末）若直线（）经过点，与轴的交点在x轴的下方，则k的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点代入中，得，
，
∴，
∵该直线与轴的交点在x轴的下方，
∴，
∴，
∴．
故答案选D．
5．（2020·河北魏县初二期末）一次函数的图像与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，-4） B．（0，4） C．（2，0） D．（-2，0）
【答案】B
【解析】令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选B．
6．（2020·广东恩平初二期末）关于一次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．与x轴交于 D．与y轴交于
【答案】A
【解析】一次函数中的，
y随x的增大而增大，则选项A正确；
一次函数中的，，
此函数的图象经过第一、三、四象限，则选项B错误；
对于一次函数，
当时，，解得，
即与x轴交于，选项C错误；
当时，，
即与y轴交于，选项D错误；
故选：A．
6．（2020·内蒙古乌兰浩特初二期末）直线y＝﹣x﹣2与两坐标轴围成的三角形面积是_____．
【答案】4
【解析】解：令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即-x﹣2=0，解得x＝﹣4，
故直线y＝-x﹣2与两坐标轴的交点分别为(0，-2)、(-4，0)，
故直线y＝-x﹣2与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣2|×|﹣4|＝4．
故答案为：4．
7．（2019·贵州印江初二期末）一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（3，0）.
【解析】把y=0代入y＝2x－6得x=3，所以一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为（3，0）.
8．（2019·黑龙江甘南初二期末）若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为6，则k的值为______．
【答案】±
【解析】当x=0时，可知函数与y轴的交点为(0，3)，
设图象与x轴的交点到原点的距离为a，
则×3a=6，
解得：a=4，
则函数与x轴的交点为(4，0)或(-4，0)，
把(4，0)代入y=kx+3得，4k+3=0，k=-，
把(-4，0)代入y=kx+3得，-4k+3=0，k=，
故答案为±.
9．（2020·湖北老河口初二期末）若一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点坐标为____．
【答案】(-2，0)
【解析】令y=0，即x+2=0，
解得：x=-2，
∴一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标为(-2，0)．
故答案为：(-2，0)
10．（2019·浙江仙居初二期末）若函数y=kx-3的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么k=__．
【答案】
【解析】
解:如图,令 得 ，
则直线与x轴交点坐标为 ,即,
令x=0,得y=-3,则直线与y轴交点坐标为(0,-3)即B(0,-3),
当k>0时,由 ,
∴ ,
当k<0时,由 ,
∴ ,
所以, 或.
11．（2020·河南新乡初二期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为___．
【答案】y＝x+2或y＝﹣x+2．
【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），
∴b＝2，
设一次函数与x轴的交点是（a，0），
则×2×|a|＝2，
解得：a＝2或﹣2．
把（2，0）代入y＝kx+2，解得：k＝﹣1，则函数的解析式是y＝﹣x+2；
把（﹣2，0）代入y＝kx+2，得k＝1，则函数的解析式是y＝x+2．
故答案是：y＝x+2或y＝﹣x+2．
考点5：一次函数图象的平移
典例：（2020·山东宁阳初一期末）已知直线:y=x-3分别与x轴，y轴交于A、B两点．
(1)在网格中用两点法画出直线；
(2)将直线向上平移6个单位后得到直线，画出平移后的直线．
【答案】（1）图见解析（2）y＝x＋3，图见解析
【解析】（1）当y＝0时，0＝x−3，解得：x＝6，所以点A的坐标为（6，0）；
当x＝0，y＝−3，所以点B的坐标为（0，−3）．
直线l1的图象如图所示：
（2）将直线l1向上平移6个单位后得到直线l2，直线l2的函数解析式为：y＝x−3＋6，即y＝x＋3．
直线l2的图象如图所示：
方法或规律点拨
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，三角形的面积，利用图象平移的规律是解题关键．
巩固练习
1．（2020·湖北硚口初二期末）将直线向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线向上平移2个单位可得到：．
故答案选C．
2．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）已知一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】∵一次函数y＝﹣2x+4的图象经过一二四象限，
∴一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣2x+4﹣m，
∵直线y＝﹣2x+4经过点（1，2），该点关于原点的对称点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝﹣2x+4﹣m，得﹣2＝2+4﹣m，
解得m＝8，
故选：D．
3．（2020·岑溪市第六中学初一月考）将函数的图象沿轴向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵将函数y=-2x的图象沿y轴向上平移3个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=-2x+3．
故选：B．
4．（2020·四川泸县初二期末）要得到函数y＝2x﹣3的图象，只需将函数y＝2x的图象（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】D
【解析】解:由题意得x值不变y减少3个单位
应沿y轴向下平移3个单位．
故选:D．
5．（2018·内蒙古科尔沁右翼前旗初二期末）将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+2．
故选A．
6．（2020·河南长葛初二期末）将函数y＝－2x的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为( )
A．y＝－2(x＋3) B．y＝－2(x－3) C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
【答案】D
【解析】解:把函数y=-2x的图象向下平移3个单位后,所得图象的函数关系式为y=-2x-3.
所以D选项是正确的.
7．（2020·江西兴国初二期末）将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为．
故选：B．
8．（2020·内蒙古固阳初二期末）将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是_____．
【答案】y=2x﹣2．
【解析】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
9．（2020·四川阿坝初二期末）直线y＝－x＋1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是________．
【答案】y＝－x＋6
【解析】解：直线y=-x+1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是y=-x+1+5，即y=-x+6．
故答案为y=-x+6．
10．（2020·吉林延边初二期末）将直线向上平移个单位，所得直线与轴的交点坐标为________．
【答案】
【解析】 直线向上平移1个单位，
平移后直线解析式为：，
当x=0时，则y=1，
平移后直线与y轴的交点坐标为：．
故答案为．
11．（2020·山西初三三模）已知一次函数，将该函数图象先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，平移后的函数图象过点，则的值为___________．
【答案】
【解析】解：由题意得一次函数y=(m+1)（x-4）+m−2-2(m≠−1)经过点（1，-2）
∴(m+1)（1-4）+m−2-2=-2，解得：m=-，
故答案为：-．
12．（2020·福建漳州初二期末）将直线向下平移个单位，得到直线___________．
【答案】
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x向下平移1个单位，得到直线是：y=2x-1．
故答案为y=2x-1．
考点6：一次函数的增减性
典例：（2020·湖北随县初二期末）已知一次函数（为常数，且）．若当时，函数有最大值7，则的值为_________．
【答案】或
【解析】①当a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝4时，y有最大值7，将x＝4，y＝7代入函数关系式得7＝4a﹣a+2，
解得，a＝；
②当a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值7，把x＝﹣1代入函数关系式得7＝﹣a﹣a+2，
解得，a＝；
所以a＝或，
故答案为：或．
方法或规律点拨
本题考查一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
巩固练习
1．（2020·昆明市官渡区第一中学初二月考）下列关于函数的说法：①它是正比例函数；②它的图像是经过原点和第二、四象限的一条直线；③随的增大而增大；④它的图像经过点(-6，8)．其中正确的有___________．
【答案】①②④
【解析】解：①y＝x，k＝≠0，故函数是正比例函数，符合题意；
②x＝0，y＝0，故图象是经过原点的一条直线，
k＝，故图象过第二、四象限，符合题意；
③k＝＜0，故y随x增大而减小，不符合题意；
④当x=-6时，y=×-6＝8，
故它的图像经过点(-6，8)，符合题意；
故答案为：①②④．
2．（2020·陕西神木初二期中）直线y＝kx＋b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且（x1-x2）（y1-y2）<0，则常数k的取值范围是_______________．
【答案】k＜0
【解析】根据题意设x1＞x2，∵（x1-x2）（y1-y2）<0
∴y1-y2＜0，即y1＜y2
∴y随x的增大而减小，
故k＜0,
故填：k＜0.
3．（2020·湖北麻城初二期末）已知一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则 的取值范围是________________．
【答案】
【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，解得，
故答案为：．
4．（2020·广西田东初三一模）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是________．
【答案】k＜3
【解析】解：的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
5．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）初三其他）已知一次函数y＝kx+b的图象经过一，二，四象限，且当2≤x≤4时，4≤y≤6，则的值是_____．
【答案】-8
【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤4时，4≤y≤6，
∴当x＝2时，y＝6；
当x＝4时，y＝4，
∴，
解得：，
∴＝﹣8，
故答案为：﹣8．
6．（2020·广东郁南初二期末）在一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是_______．
【答案】m＜-1
【解析】∵随的增大而减小
∴一次函数的比例系数k＜0，即m+1＜0
解得：m＜－1
故答案为：m＜－1．
7．（2020·宁夏盐池初二期末）某一次函数的图象经过点（﹣1，3），且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式 ．
【答案】y=﹣x+2（答案不唯一）．
【解析】解：该一次函数的解析式为y=kx+b（k＜0），
∵一次函数的图象经过点（﹣1，3），
∴﹣k+b=3，
∴当k=﹣1时，b=2，
∴符合条件的函数关系式可以是：y=﹣x+2（答案不唯一）．
8．（2020·上海杨浦初二期末）已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，；
故答案为：．
9．（2020·黑龙江庆安初二期末）若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝” ）
【答案】<，<
【解析】若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k＜0，b＜0．
10．（2020·上海浦东新初二期末）已知一次函数y＝（3m﹣2）x+1，且y的值随着x的值增大而减小，则m的取值范围是_____．
【答案】m＜
【解析】∵一次函数y＝（3m﹣2）x+1的y值随着x值的增大而减小，
∴3m﹣2＜0，
∴m＜．
故答案为：m＜．
考点7：一次函数的规律探究题
典例：（2020·北京昌平一中初二期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+1 与 x、y 轴分别交于点 A、B， 在直线 AB 上截取 BB=AB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C，得到矩形 OABC；在直线 AB 上截取 BB= BB，过点 B分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A、C， 得到矩形 OABC；……；则点 B 的坐标是______；第 4 个矩形 OABC的面积是_____；第 n 个矩形 OAnBnCn 的面积是______（用含 n 的式子表示，n 是正整数）．
【答案】(1,2) 12
【解析】解：①直线y=x+1与x轴交于A点(-1,0)，与y轴交于B点(0,1)，为了使，
∴的坐标为(1,2)；
②依次使，，即，，，
∴；
③依次类推，，，，
∴，
故答案为：①(1,2)；②12；③．
方法或规律点拨
本题主要考察了一次函数的规律探究问题，解题的关键在于写出、、分别的坐标，利用规律即可求解该题．
巩固练习
1．（2020·广西北海初二期末）正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 （ ）
A．8 B．32 C．64 D．126
【答案】B
【解析】∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，即B1 的纵坐标是1，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，即B2的纵坐标是2，
同理得：A3C2=4=22，即B3 的纵坐标是22，…，
∴点B6的纵坐标是25，即点B6的纵坐标是32，
故选：B．
2．（2020·浙江吴兴初二期末）如图，已知直线l1、l2经过坐标原点O，且l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°．在直线l1和l2之间依次构造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…点A1、点A2、点A3、点A4、点A5…依次落在直线l1上，点B1、点B2、点B3、点B4…依次落在直线12，上，且A1B1＝1，则点B2020的坐标为（ ）
A．(22018，22018) B．(22017，22017)
C．(22018，22018) D．(22018，22018)
【答案】A
【解析】解：∵l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°，
∴l1与12所夹锐角为45°，12与x轴所夹锐角为60°，
∴△A1B1O，△A2B2O，△A3B3O，…都是等腰直角三角形，
∴B1O＝20，B2O＝21，B3O＝22，…，BnO＝2n﹣1，
∴点B2020的坐标为（22020﹣1×，22020﹣1×），即（22018，22018）．
故选：A．
3．（2020·江苏射阳初三其他）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点，在直线上，点在x轴的正半轴上，若，依次均为等腰直角三角形，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】据题意可得：
依次均为等腰直角三角形，
∴，，
由A在上可知，，
∴，
则的纵坐标为：，即，
∴，
∴，
∴，
则的纵坐标为：，即，
∴当n=1时，，，；
当n=2时，，，；
当n=3时，，，；
当n=n时，，，；
故点的点是．
4．（2020·辽宁盘锦初三其他）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2AnBnCnCn-1是矩形，其面积分别是S1、S2、S3Sn，点B是直线y=x+1与y轴的交点，点B1、B2、B 3B n在直线y=x+1上，点C1、C2、C3Cn在x轴上，OB=OC1，B1C1=C1C2，B2 C2= C2C3，BnCn= CnCn+1则Sn=________．
【答案】22n-1
【解析】题意可得，
∴，
∴，
∵，点B1、B2、B 3B n在直线y=x+1上，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
…
∴．
故答案是．
5．（2020·广东韶关初二期末）正方形按如图放置，其中点在轴的正半轴上，点在直线上，则点的坐标为__________ ．
【答案】
【解析】设正方形的边长为t，则代入得，则；
设正方形的边长为a，则代入得，则；
设正方形的边长为b，则代入得，则；
设正方形的边长为c，则代入得，则；
设正方形的边长为d，则代入得，则，
故答案为：．
6．（2020·湖南邵阳初二期末）如图，正方形，，，…按如图所示的方式放置，点在直线上，点在轴上．已知点是直线与轴的交点，则点的纵坐标是_______．
【答案】
【解析】当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴的纵坐标为1，
当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴的纵坐标为2，
同理可知：点的坐标为，
的纵坐标为4，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为．
故答案是．
7．（2020·黑龙江双鸭山初三其他）如图，直线l：y=分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3；依此规律...若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积S2，阴影△A3B2B3的面积S3...，则Sn=__________．
【答案】
【解析】对于直线l：y=，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-
∴A（-，0）A1（0，1）
∴∠OAA1=30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1=30°，
在Rt△OA1B1中，，
∴；
同理可求出：，
∴；
依次可求出：……
因此：=
故答案为：．
8．（2020·山东肥城初三其他）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，．．．依次进行下去，则的坐标为_______________．
【答案】
【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，，，
，，，为自然数）．
，
点的坐标为，，即，．
故答案为：，．
9．（2020·辽宁台安初二期中）如图，直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为_________．
【答案】
【解析】解：在Rt△OA1B1中，，
，
∴点A2的坐标为（2，0）．
同理，可得出：点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（8，0），
由此可知An的坐标为，
A2020的坐标为．
故答案为：．
10．（2020·广东南山蛇口育才二中初三二模）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：在x轴上相交于点P(−1，0)．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…则当动点C到达B4处时，点B4的坐标为_______．
【答案】（15，8）
【解析】解：∵直线l1为y=x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴A点坐标为（0，1），则B1点的纵坐标为1，
设B1（x，1），代入l2
得 ，解得x=1；
∴B1点的坐标为（1，1）；
则A1点的横坐标为1，设A1（1，y1）
∴y1=1+1=2；
∴A1点的坐标为（1，2），
∴B2的纵坐标为2，设B2（x2,2）代入l2
得，解得x2=3
∴B2（3,2）
同理可得B3（7,4），B4（15,8）
故答案为：B4（15,8）
11．（2020·辽宁营口初三二模）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线 上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020=____．
【答案】
【解析】解：如图，分别过点 作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设，则，
∴OD=6+a，
∴点坐标为（6+a，a），
将点坐标代入得到：，
解得： ，
∴ ，
同理求得，，
∴，，，
∴，
因此；
故答案为：；
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