江苏省南通市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题及答案

2023届高三第一次大质量监测

                    数   学               2022.09

本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|()x≤3}，则M∩N＝

A．[－4，－1]        B．[－4，3)        C．[－1，3)       D．[－1，3]

2．已知b＞0，则“a＞b＋1”是“＞＋1”的

A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件

C．充要条件                       D．既不充分也不必要条件

3．函数f(x)＝的部分图象大致为

4．在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是

A．a＝5，b＝4，A＝                B．a＝4，b＝5，A＝

C．a＝5，b＝4，A＝               D．a＝4，b＝5，A＝

5．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即＝2sin18°．记m＝2sin18°，则＝

A．－            B．－2             C．              D．

6．已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝

A．－3             B．3                C．－3或1         D．3或1

7．设a＝，b＝ln，c＝sin，则

A．c＜b＜a         B．a＜b＜c          C．b＜c＜a         D．c＜a＜b

8．如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l＜r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x－，扇形OAB的面积记为S，则的值约为

A．－        B．－

C．－        D．－

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列不等式中一定成立的是

A．ab≤                       B．＋≥     

C．2a＋2b≥2                 D．≥8

10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则

A．ω＝2                     

B．f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x)＝2cos(2x－)           

D．f(x)在[－，－]上的值域为[－2，1]

11．对于定义域为[0，＋∞)的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②∀x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，则称函数f(x)为“H函数”．下列结论正确的是

A．若f(x)为“H函数”，则其图象恒过定点(0，0)

B．函数在[0，＋∞)上是“H函数”

C．函数f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数)

D．若f(x)为“H函数”，则f(x)一定是[0，＋∞)上的增函数

12．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝lnx＋x－2的零点，则

A．x1＋x2＝2                      B．e＋lnx2＝2       

C．x1x2＞                       D．x12＋x22＜3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若sin(α＋)＝，则tanα＋＝         ．

14．已知△ABC的面积为2，AB＝2，AC＝4，则△ABC的中线AD长的一个值为         ．

15．某容量为V万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗．假设每天流进和流出的水均为r万立方米，下雨和蒸发正好平衡．用函数g(t)表示经过t天后的湖水污染质量分数，已知g(t)＝g(0)e，其中g(0)表示初始湖水污染质量分数．如果V＝200，r＝4，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，至少需要经过         天．

(参考数据：ln10≈2.303)

16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)＞0的解集为         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)

已知数列{an}满足a1＝，a2＝1，2an＋2－an＝an＋1．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

18．(12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c；

(2)若a2＋b2＝c2，求证：3tanA＝2tanC．

19．(12分)

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．

(1)若D为A1C的中点，求证：AD⊥A1B；

(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．

20．(12分)

某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制(一方先胜三局即获胜，比赛结束)，比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．

(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；

(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率．

21．(12分)

已知A′，A分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－．

(1)求C的方程；

(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

22．(12分)

设函数f(x)＝xlnx，g(x)＝．

(1)若直线y＝x＋b是曲线f(x)的一条切线，求b的值；

(2)证明：①当0＜x＜1时，g(x)f(x)＞x(x－1)；

②∀x＞0，g(x)－f(x)＜．(e是自然对数的底数，e≈2.718)