2021-2022学年甘肃省临夏回族自治州高二下学期期末数学（理）试题含解析

2021-2022学年甘肃省临夏回族自治州高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义即可求解.

【详解】因为，，

所以．

故选：B.

2．若复数，则z的虚部是（       ）

A． B． C．1 D．－1

【答案】D

【分析】由复数除法运算可求得z，根据复数定义确定z的虚部．

【详解】因为，

所以z的虚部为－1．

故选：D

3．命题“，”的否定为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案．

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

由题意得原命题的否定为：，．

故选: C.

4．设为定义在R上的偶函数，且当时，，则（       ）

A．e-1 B．-2e-2 C．2e-1 D．2e-2

【答案】D

【分析】根据偶函数的性质，即可求得答案.

【详解】因为为定义在R上的偶函数，得，

所以，得,

故选:D

5．函数的最小正周期为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由周期求出，从而可求出，进而可求出.

【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，

得，

所以．

故选：A

6．已知随机变量X服从二项分布，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.

【详解】由，

得．

故选：C

7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（       ）

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】B

【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.

【详解】由，满足条件，则，，满足条件；

，满足条件；，，不满足条件，

故输出．可填“？”．

故选: B.

8．已知，则下列不等式正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可．

【详解】方法一：因为，可知，所以，

所以，，所以，，，

所以A正确，B，C错误．

因为，所以，所以D错误，

故选：A

方法二；因为，设，，

所以，，，所以，,,,

所以A正确，B，C，D错误,

故选：A

9．设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.

【详解】函数有零点，

即方程有实根，得，即，

因为函数有零点的概率是0.5，

所以，由正态曲线的对称性知．

故选：B

10．新修订的《中华人民共和国公务员法》《中华人民共和国电影产业促进法》《中华人民共和国广告法》等都将社会主义核心价值观写入法律文本．某重点大学为了解本校教师阅读这些法律的情况，随机调查了100位教师，其中阅读过《中华人民共和国广告法》或《中华人民共和国公务员法》的教师共有50位，阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师共有30位，阅读过《中华人民共和国广告法》且阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师共有20位，则该校阅读过《中华人民共和国广告法》的教师人数与该校教师总数比值的估计值为（       ）

A．0.7 B．0.6 C．0.2 D．0.4

【答案】D

【分析】根据题意可求出只阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师的人数，即可求出该校阅读过《中华人民共和国广告法》的教师人数，即可求得答案.

【详解】由题意得，阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师共有30位，

阅读过《中华人民共和国广告法》且阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师共有20位，则只阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师有10人，

故阅读过《中华人民共和国广告法》的教师人数为，

则其与本次调查教师人数之比为，

故该校阅读过《中华人民共和国广告法》的教师人数与该校教师总数比值的估计值为0.4，

故选：D

11．已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（       ）

A． B．6 C． D．7

【答案】C

【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.

【详解】由知： ；

设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合，

得为等边三角形，

不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，

因为点A是抛物线C：上一点，所以，

所以，得A的坐标为，

故，

故选：C

12．已知，，，，为各项都大于零的等比数列，公比，则（       ）

A．

B．

C．

D．与的大小关系不能由已知条件确定

【答案】A

【分析】作差化简得，然后分，两种情况讨论差的正负即可得答案.

【详解】解：，

因为，，，

所以若，则，，

所以，所以；

若，则，，

所以，

所以．

综上，恒有．

故选：A.

二、填空题

13．由数字可以组成无重复数字且能被整除的三位数的个数为______（结果用数字表示）．

【答案】

【分析】根据已知条件及特殊位置优先考虑，结合F分步乘法计数原理及排列数的公式即可求解.

【详解】由题意知，组成的三位数能被2整除，个位是2或4中的一个，十位和百位从余下的三个数中任取两个排列即可，故．

故答案为：12

14．若的展开式中含项的系数为-32，则______．

【答案】-2

【分析】直接利用二项展开式的通项公式,即可求出实数a的值.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

故的展开式中含项的系数为，

整理得，所以,

故答案为：

15．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且满足，则______（写出满足条件的一种表示即可）．

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【分析】根据得到向量满足的条件，即可写出．

【详解】由题意得，，

由于，所以有，

取，，得，（答案不唯一）．

故答案为：

16．在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的表面积为______．

【答案】

【分析】根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径，再利用球的表面积公式即可求解．

【详解】如图所示，

平面ABC，，，由勾股定理得，，

又，得，则．

设外接球的半径为，则，解得，

所以外接球的表面积为．

故答案为：

三、解答题

17．为优化城市环境，减少污染，某市积极号召市民出行骑电动自行车，该市统计了近五年市民拥有电动自行车的数量（单位：万辆），得到如下表格：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)预测2025年该市电动自行车的数量．

参考数据，，．

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【答案】(1)

(2)414万辆

【分析】（1）利用已知数据和公式得到y关于x的线性回归方程；

（2）将2025年所对应的年份编号代入线性回归方程即可得解．

【详解】(1)由已知数据得，，

，

，

得，，

所求线性回归方程为；

(2)将2025年对应的年份编号代入线性回归方程得，

故预测2025年该市电动自行车的数量为414万辆．

18．已知等差数列．请你在①，②中选择一个求解．

①若，；②若，前3项和．

注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，根据等差数列的定义，列出方程求出即可.若选②，由，即可得，从而得到公差，从而得到通项公式,.

（2）由（1）中结论，得到通项公式，列出其前项和式子，用错位相减法即可得到结果.

【详解】(1)选择①，设数列的公差为d，

因为等差数列满足，，

得，解得所以；

选择②，设数列的公差为d，

因为等差数列满足，，

得，，得，得，所以；

(2)由（1）可得，

所以，

，

两式相减得：，

，

化简得

19．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)

(2)极小值，无极大值

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.

【详解】(1)因为，

所以，

当时，，

所以切线方程为，即；

(2)由题可得的定义域为．

令，即，得或（舍去），

令，得，令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以存在极小值，无极大值．

20．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且．

(1)求角B；

(2)求边长b的最小值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）将已知条件利用正弦定理角化边可得，从而再利用余弦定理即可求解；

（2）由三角形的面积公式可得，结合（1）问可得，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】(1)解：因为，

所以由正弦定理得，

由余弦定理得，

又，所以；

(2)解：由，得，

又由（1）知，，当且仅当时等号成立，

所以，解得，

所以边长b的最小值为6．

21．如图，直三棱柱中，E是侧棱的中点，，，．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】(1)因为平面ABC，平面ABC，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

(2)如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设平面ABE的法向量为，

则，

令，则，

所以，

所以平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为．

22．京兰高铁线路全长约1700公里，是沟通华北、西北的最快捷的高速铁路．现甘肃省交通部门随机抽取了出行人群中的200名旅客，对其各年龄段的出行乘坐意愿进行调查统计，得到如下条形图．

(1)请根据统计图估计抽取的200名旅客的平均年龄；

(2)为提升服务质量，交通部门从这200名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取8人参加座谈会，再从选出的8人中抽2人作为主题发言人，设Y为抽到的2个人中年龄为40岁及以上的人数，求Y的分布列及．

【答案】(1)41.6岁

(2)分布列见解析；期望为1

【分析】（1）由区间中间值代替每组的平均年龄，直接代入加权平均数公式即可求解；

（2）首先根据分层抽样得到每个年龄段抽样的人数，再根据古典概型求概率、分布列和期望．

【详解】(1)由已知，45人；，55人；，40人；

，35人；，25人；

所以平均年龄（岁），

即估计抽取的200名旅客的平均年龄为41.6岁．

(2)根据条形图可知，抽取的200名旅客中，年龄低于40岁的有（人），

所以年龄不低于40岁的有100人．

采用分层抽样的方法，则从“40岁及以上”的人中抽取4人，则Y的值可能为0，1，2，

所以，，，

Y的分布列为

．