2021-2022学年吉林省八所省重点中学高二下学期期末联考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年吉林省八所省重点中学高二下学期期末联考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省八所省重点中学高二下学期期末联考数学试题 一、单选题1．将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（       ）A．240 B．120 C．60 D．40【答案】B【分析】由排列的定义即可求解.【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，所以不同分法的种数为，故选：B.2．已知函数，则的值为（       ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由题知，再求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，解得．故选：B3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】考虑与时，结合根的判别式与图象进行求解.【详解】若的定义域为，则当时，满足题意；当时，，解得：；当时，无法满足定义域为，综上所述：实数的取值范围是．故选：D4．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（       ）A．16 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，所以，令得展开式中各项系数的和为．故选：A5．已知随机变量，且，则（       ）A．3 B．6 C． D．【答案】C【分析】由二项分布期望公式得，进而得，再根据方差性质求解即可.【详解】解：因为随机变量，且，所以，解得，所以，所以．故选：C6．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题知函数的图像关于直线对称，进而根据对称性得可得，可得或，再解不等式即可.【详解】解：因为函数为偶函数，所以函数的图像关于直线对称，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，所以，不等式的解集为．故选：B7．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导分与0的大小关系，讨论函数的单调性，进而求得函数的极值点，再结合零点存在性定理求解即可.【详解】，当时，，为单调递增函数，最多只有一个零点，不合题意，舍去；当时，令，得，令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴.∵函数有两个零点，∴，，得.又，，且，，故.故在与上均有零点，满足题意.综上.故选：A8．甲、乙、丙三名同学计划暑假从物理、化学、生物三个学科中各自任意选一门进行学习，每人选择各个科目的概率为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择物理的前提下甲同学选择物理的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件为“至少有两人选择物理”，事件为“甲同学选择物理”，则，，∴．故选：D 二、多选题9．设随机变量，且，则实数的值可能为（       ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】BD【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】解：因为随机变量服从，所以，正态曲线关于直线对称，因为，所以，，解得或．故选：BD10．甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（       ）A．若甲站正中间，则共有24种排法B．若甲、乙相邻，则共有36种排法C．若甲不站两端，则共有48种排法D．若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法【答案】BC【分析】对于A，采用特殊元素优先法；对于B，采用捆绑法；对于C，采用特殊元素优先法；对于D，采用插空法.【详解】若甲站在最中间，有种排法，A正确；若甲、乙两人相邻站在一起，共有种排法，B错误；若甲不站最边上，则共有种排法，C错误；若甲、乙、丙各不相邻，则共有种排法，D正确．故选：BC.11．已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（       ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数及反比例函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由题意，，解得，∴整数的取值为或或．故选：ABC12．已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】构造函数，由偶函数的定义可知为偶函数，根据单调性与导数的关系可得在上单调递增，利用单调性和奇偶性比较函数值的大小即可判断各选项的对错.【详解】构造函数，其中，则，∵对于任意的满足，∴ 当时，，则函数在上单调递增，又函数是偶函数，，∴，∴在上为偶函数，∴函数在上单调递减．∵，则，即，即，化简得，A正确；同理可知，即，即，化简得，B正确；，且即，即，化简得，C错误；，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD. 三、填空题13．展开式中的常数项为______．【答案】240【分析】利用二项式定理，求出通项公式进行求解.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，则.故答案为：24014．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则______．【答案】【分析】两边取对数，对照系数，求出【详解】，即，∴，．故答案为：15．盒中有形状大小都相同的黑色小球3个和红色小球2个，从中不放回的摸3次，每摸1个小球，设摸到的红色小球的个数为，则______．【答案】【分析】设摸到的红色小球的个数为，取值可能为：0，1，2，然后求出相应的概率，可求得的分布列，从而可求出.【详解】设摸到的红色小球的个数为，取值可能为：0，1，2，则，，．∴的分布列为：012 ∴．故答案为：16．已知函数若存在，，使得，则的最大值为______．【答案】1【分析】根据函数解析式，利用导数，研究其单调性，画图，根据题意，明确对应函数值的取值范围，设为，利用函数的思想，可得答案.【详解】当时，，，当时，，当时，，即当时，取得极大值为；当时，为减函数，且，函数的图象如图．设，由题可知，由得，则，则，∵，∴当时，取得最大值为1．故答案为：1. 四、解答题17．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)极小值，无极大值【分析】（1）由导数的几何意义，求在处的斜率，进而得到切线方程；（2）根据导函数的正负判断单调区间，再求极值即可.【详解】(1)由题知，，，∴，而，∴曲线在点处的切线方程为，即．(2)令得；令得，∴的单调减区间是，的单调增区间是．∴当时，取极小值，无极大值．18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)若，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，则，求得，结合函数的奇偶性和，即可求得函数的解析式；（2）由（1）得到，把不等式，转化为在区间有解，结合基本不等式，即可求解.【详解】(1)解：设，则，可得，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，且当时，可得，适合上式，所以函数的解析式为.(2)解：由时，，又由，即，可得，因为，，即在区间有解，又因为，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，所以，即实数的取值范围.19．为了解某校学生在学校的月消费情况，随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在600~2000元之间，得到如下不完整的列联表，定义月消费金额不低于1500元的学生属于“高消费群”． 属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男学生20  女学生 40 合计80   将列联表填充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否属于“高消费群”与性别有关？0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 附：【答案】填表见解析；可以认为“高消费群”与性别有关．【分析】根据已知条件，结合已知数据完成表格，进行独立性检验求解即可.【详解】解：根据题意，得列联表如下： 属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男学生2080100女学生6040100合计80120200 零假设为：“高消费群”与性别无关联，．依据小概率的独立性检验，没有充分证据推算成立，因此可以认为“高消费群”与性别有关．20．5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信5G技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：研发投入（亿元）12345收益（亿元）4556646872 (1)利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；(2)求关于的线性回归方程．参考数据：，，．参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）计算出相关系数，判断两个变量有很强的线性相关性；（2）计算出，求出线性回归方程.【详解】(1)由表中数据可得，，∴，又，，∴．∴与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．(2)由表中数据可得，则，∴，故关于的线性回归方程为．21．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者(1)从该地区被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从该地区被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据独立事件及对立事件的概率公式计算可得；（2）依题意，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，从而得到分布列，最后根据二项分布的期望公式求出数学期望.【详解】(1)解：记事件为至少有1人通过手机收看，则．(2)解：依题意，则的可能取值为，，，，所以；；；．所以的分布列为：0123 所以．22．已知函数，（）．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，在上恒成立．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数判断单调性；（2）当时，可证不等式成立，当时，可转化为证明成立，构造函数，利用导数证明其单调性与最值情况，进而可得证.【详解】(1)由，，（），当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，令，解得，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增；(2)要证，即证，①当时，，，该不等式成立；②当时，，结合，得，即问题转化为证明：（），即证（），令，，令，则，在上恒成立，即在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以问题得证，综上所述，当时，在上恒成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．