2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期入学考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期入学考试数学试题含解析，共34页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知，则“”是“”的， 已知函数,则方程根个数为， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

2023届高三年级上学期入学考试
数学
一､单选题（每小题5分，共40分.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）


A. （） B. （）
C. （） D. （，且）
5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
7. 已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数,则方程根个数为
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
二､多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
B. 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
C. 若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面
D. 若平面平面，直线，直线，则
10. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象.下列结论正确的是（ ）

A. 当≤x≤时，f(x)的取值范围是[－1，2]
B. f(－)＝
C. 曲线y＝f(x)对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)
D. 若|x1－x2|<，则|f(x1)－f(x2)|<4
11. 若定义域为的函数的导函数满足，且，则下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
12. “内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则（ ）

A. 数列是公比为的等比数列 B.
C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前n项和
三､填空题（每小题5分，共15分.）
13. 将名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分配在一起的概率为_______________________.
14. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是________
15. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_____．
16. 圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为__________.
四､解答题
17. 在中，，，是角，，所对的边，，有三个条件：①；②；③，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.
（1）两个条件中能有①吗？说明理由；
（2）请指出这两个条件，并求的面积.
18. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
19. 在四棱锥中，底面正方形，若．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
20. 某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金．
（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）
附：若，则，.
（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.
（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，
方法一：三次箱内摸奖机会；
方法二：一次箱内摸奖机会.
请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
21. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）当|时，函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
22. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.

2023届高三年级上学期入学考试数学
一､单选题（每小题5分，共40分.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解方程组，求得交点坐标即可求解.
【详解】由得，所以，
故选：C.
2. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，再把变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．
【详解】解：由，得，
则由，得，
．
故选：A．
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）


A. （） B. （）
C. （） D. （，且）
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数，，，的图象特征判断.
【详解】在同一坐标系中作出函数，，，
在第一象限的图象，如图所示：

由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（），
故选：A
5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．
【详解】因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
故选：B．
7. 已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用替换已知式中的，然后两式相减求得，然后由裂项相消法求和．
【详解】因为，
所以时，，
两式相减得，，
又，满足此式，所以，
，
所以数列的前10项和为．
故选：C．
8. 已知函数,则方程根的个数为
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】令,先求出方程的三个根,,,然后分别作出直线,,与函数的图象,得出交点的总数即为所求结果.
【详解】令,先解方程.
（1）当时,则,得；
（2）当时,则,即,解得,.
如下图所示：

直线,,与函数的交点个数为、、,
所以,方程的根的个数为.
故选：C.
【点睛】本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于中档题．
二､多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
B. 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
C. 若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面
D. 若平面平面，直线，直线，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析即可．
【详解】解：对于A：由公理1可知，若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故A正确；
对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面平行或相交或在平面内，故B错误；
对于C：若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，故C正确；
对于D： 若平面平面，直线，则平面，又直线，则直线或与异面，故D错误．
故选：AC
10. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象.下列结论正确的是（ ）

A. 当≤x≤时，f(x)的取值范围是[－1，2]
B. f(－)＝
C. 曲线y＝f(x)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)
D. 若|x1－x2|<，则|f(x1)－f(x2)|<4
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的图象求出，
对于选项A, ． 的取值范围是，A正确；
对于选项B，计算得，B错误；
对于选项C，函数的对称轴是，C错误．
对于选项D，函数的最小正周期为，D正确．
【详解】由图可知，，，∴．，由于，∴．∴函数的解析式是．
根据题意，．∴当时，的取值范围是，A正确；
，∴B错误；
函数的对称轴是，∴C错误．
∵的最小正周期为，∴D正确．
故选：AD
11. 若定义域为函数的导函数满足，且，则下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. ， D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题意，设，求出其导数可得，结合函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，据此依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，若定义在函数的导数满足，
则有，则有，
设，则，则在上为增函数，
依次分析选项：
对于，，则，即，则有，符合题意；
对于，，则，即，
即有，符合题意；
对于，在上为增函数，且，则有，
则，又由，则，符合题意；
对于，当，有，此时有，
即，变形可得，
又由，则，则恒成立，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，并利用导数分析函数的单调性．
12. “内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则（ ）

A. 数列是公比为的等比数列 B.
C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前n项和
【答案】BD
【解析】
【分析】应用勾股定理、三角函数得到此过程中前后两个正方形的边长关系，即可知A、C正误，并写出的通项公式，进而求通项公式，即知B、D正误.
【详解】由题设，，若，则，即，
∴，即，，故，B正确；
∴，以此类推可得，
∴是公比为的等比数列且，A、C错误；
由图知：，而，
∴，故，D正确.
故选：BD
三､填空题（每小题5分，共15分.）
13. 将名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分配在一起的概率为_______________________.
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件分别求出基本事件总数和甲乙两名志愿者分配在一起的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】由题意可知，基本事件总数为，
甲、乙两名志愿者分配在一起的基本事件数为2，(即甲乙都分配到花样滑冰或短道速滑)
故由古典概型的概率公式可知，所求概率为.
故答案为：.
14. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是________
【答案】
【解析】
【分析】
假设圆心坐标，利用切点可构造方程求得圆心坐标，进而确定半径，由此得到圆的方程.
【详解】设所求圆的圆心为，则圆心与连线与直线垂直，
，解得：，圆心为，
半径，
所求圆的方程为：.
故答案为：.
15. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．
【详解】由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，
在（﹣2，0）上是减函数，
作其图象如图，

令x3+x2得，
x＝0或x＝﹣3；
则结合图象可知，
；
解得，a∈[﹣3，0）；
故选C．
【点睛】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．
16. 圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.
【详解】设，则，
由切线长定理可得，，，

，
圆心的坐标为，则，
由图可得，即，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
四､解答题
17. 在中，，，是角，，所对的边，，有三个条件：①；②；③，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.
（1）两个条件中能有①吗？说明理由；
（2）请指出这两个条件，并求的面积.
【答案】（1）不能有①，理由见解析；（2）只能选择②和③，.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理由，可得，解得，若条件中有①，可得，则与矛盾；
（2）只能选择②和③，由余弦定理得，由，可得，即可得解.
【详解】（1）∵ ，
∴由正弦定理得.
∵，∴，∵，∴.
∵，∴.
假设两个条件中有①，则会推出矛盾.过程如下：
∵，∴，此时，
.
（2）只能选择②和③.
∵∴由余弦定理得，即，
而，∴
此时，解得或，所以存在，
∴.
18. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论


．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
19. 在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.
（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.

则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
20. 某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金．
（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）
附：若，则，.
（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.
（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，
方法一：三次箱内摸奖机会；
方法二：一次箱内摸奖机会.
请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
【答案】(1) 中奖的人数约为人.
(2)分布列见解析.
(3) 这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.
【解析】
【详解】分析：（1）依题意得，，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为，人数约，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，，，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论.
详解：（1）依题意得，，
得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为
人数约人
其中中奖的人数约为人
（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，
三人中中奖人数服从二项分布，，
故的分布列为






（或）
（或）
（或）
（或）
（3）箱摸一次所得奖金的期望为
箱摸一次所得奖金的期望为
方法一所得奖金的期望值为，
方法二所得奖金的期望值为，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：
①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
21. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）当|时，函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，对参数分情况讨论，求得函数的单调区间，结合单调性求得函数的极值；（2）由（1）可知，，当时，利用单调性得出不可能，故当时，利用函数的单调性分情况讨论列出不等式组求得结果.
【详解】解：（1）由题意知，，
所以当时，，所以在上递减，无极值；
当时，令，
所以在上递减，上递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上，当时，无极值；
当时，则当时，有极小值，无极大值.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，
所以至多一个零点，不符合题意；
当时，在上递减，上递增，
若，即，则在上单调递增，至多有一个零点，也不符合题意；
若，即，则在上单调递减，至多有一个零点，也不符合题意；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
则或
综上可得实数的取值范围为
22. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）（0，3]
【解析】
【分析】（1）根据PF平分OB 得a＝2c，将x＝c代入求出，结合求出答案.
（2）设直线l的方程为：x＝my＋1，联立直线和椭圆的方程，借助MN的中点为E，构建新的向量关系，证明为平行四边形，借助面积，套用韦达定理，解出，借助均值不等式求出最值.
【小问1详解】
由题意可知F（c，0），B（a，0），
∵PF恰好垂直平分线段OB，
∴a＝2c，
令x＝c，代入得：，
∴，
∴，解得，
∴椭圆C的方程为：.
【小问2详解】
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my＋1，
设，，
联立方程，消去x得：，
∴，
∴，，
设MN的中点为E，则，
∴MN与OQ互相平分，四边形OMQN为平行四边形，
∴


，
令，则，
∵在[1，＋∞）上单调递增，
∴，∴，
∴.
综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为（0，3]