2022届河南省信阳市第二高级中学高三上学期开学考数学（文）试题含解析

2022届河南省信阳市第二高级中学高三上学期开学考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求解出集合A，再根据交集的定义计算即可.

【详解】根据题意，，，

所以，选项D正确，选项ABC错误.

故选：D.

2．设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设,结合，根据复数相等的条件列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】设，则，

因为，可得，即，

所以，解得，

所以，所以的虚部为.

故选：C.

3．已知直线，，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线垂直，列出方程求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，直线，，

若，可得，解得，

即的充要条件是，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．函数的的一个周期为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数两部分的周期，即可求得函数的周期.

【详解】易知，的最小正周期分别为，，则，的公倍数是的一个周期.

故选：D

5．若，满足约束条件则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】作出不等式组表示的平面区域.如图中阴影部分所示，

作出直线并平移，结合图象可知，当平移后的直线过点时，取得最小值，且.

故选：B.

6．若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用诱导公式和倍角公式化简计算即可.

【详解】根据诱导公式，由，得，

所以.

选项B正确，选项ACD错误

故选:B.

7．已知点，，是圆上异于的一点，若，，三点共线，则在线段上任取一点，该点在线段上的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求得线段的长度，再结合圆的弦长公式求得的长度，利用长度比的几何概型，即可求解.

【详解】如图所示，由，，可得，

且直线的方程为，

又由圆，可得圆心，半径

则圆心到直线的距离为，

可得，

所以在线段上任取一点，该点在线段上的概率为.

故选：C.

8．设函数，则（   ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．是偶函数 D．是奇函数

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性的定义及判定方法，得到函数为奇函数，又由函数是上的奇函数，结合函数奇偶性的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，且，

由，所以为奇函数，

可得为偶函数，

又由函数是上的奇函数，所以是奇函数，

显然、、均不正确.

故选：D.

9．若，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】法一：由基本不等式即可求出结果；法二“1”的妙用结合均值不等式即可求出结果.

【详解】解析：法一：由题意，得，，且，即，亦即，由基本不等式，得，解得（当且仅当时，取等号），

所以的最小值为.

法二：由，得.

因此（当且仅当时，取等号） ，所以的最小值为.

故选：C.

10．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据异面直线所成角的概念，得到或其补角为直线与所成的角，结合正方体的几何结构特征及等边三角形的性质，即可求解.

【详解】如图所以，在堑堵中，，

则或其补角为直线与所成的角，

连结，，由正方体的性质，可得，

所以为等边三角形，且为的中点，

所以，即，故异面直线与所成的角为.

故选：A.

11．已知双曲线的焦点为，点在上，且关于原点的对称点为，四边形的面积为，则双曲线的方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断出四边形为矩形，由面积及双曲线的定义联立求出a和b，即可得到双曲线方程.

【详解】由原点分别为和的中点，得四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形.

由四边形的面积为，得，再结合及双曲线的定义，得，即，即，

所以，故双曲线的方程为.

故选：B

12．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先分析的极值点的情况，然后再根据极值点的最多个数，从而确定出两段函数的极值点个数，然后由极值点的分布情况，列出关于a的不等式组，求解即可．

【详解】解：设，，

令，得，

设，则，

所以当时，；当时，，

所以在上为增函数，在上为减函数，于是；

又当时，；时，，

所以方程最多仅有两个解，即最多两个极值点，

又因为在上最多仅有一个极值点，

所以有两个极值点，有一个极值点，

当方程有两个解时，，即，

当在有一个极值点时，，即，

所以，由，，，

知当，方程在与上各有一解，

综上，若要使在上恰有三个极值点，则.

故选：D.

二、填空题

13．已知向量， ，若，则_______________________．

【答案】

【分析】由列方程直接求解即可

【详解】由，及，

得，解得，

故答案为：

14．已知椭圆的长轴长为，则的焦距为_______________________．

【答案】

【分析】求出的值，可求出的值，即可得出椭圆的焦距.

【详解】因为椭圆的长轴长为，所以，解得，

所以，即，故的焦距为.

故答案为：.

15．设的内角，，的对边分别为，，，，，则_______________________．

【答案】1

【分析】由已知得，结合余弦定理即可得解.

【详解】由，得，结合已知，得，

由余弦定理，得，

,即.

故答案为：1

【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是求出结合余弦定理的计算，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于基础题.

16．已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______________________．

【答案】

【分析】首先根据三视图，还原被截圆锥的内接三棱锥，即可计算球的半径，即球的表面积.

【详解】该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为，且，.

，设球的半径为，由球的性质可知，，解得，故球的表面积为.

故答案为：

三、解答题

17．某校组织了全体学生参加“建党周年”知识竞赛，从高一、高二年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分分），统计如下表：

（1）分别估计高一、高二年级竞赛成绩的平均值与（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；

（2）学校规定竞赛成绩不低于分的为优秀，根据所给数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关？

附：，其中.

【答案】（1）估计高一高二年级竞赛成绩的平均值分别为与；（2）列联表见解析，没有的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关.

【分析】（1）分别用每组分数段的中间值乘以每组频数求和再除以50可得出高一年级、高二年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值的估计值.

（2）由已知数据可以完成列联表，并求得与比较可得答案.

【详解】（1）高一年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值估计为

；

高二年级随机抽出名学生竞赛成绩的平均值估计为

；

故估计高一高二年级竞赛成绩的平均值分别为与.

（2）

，

故没有的把握认为竞赛成绩优秀与年级有关.

18．如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，分别是，的中点，为上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）若，三棱锥的体积为，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）连结，，与、分别交于，，连结，根据等比例得，即可证明结果；

（2）根据体积计算出边长，结合勾股定理即可求解．

【详解】（1）连结，，与、分别交于，，连结，

因为为的中位线，

所以.

又底面为菱形，

所以.

因为，

所以，

从而，

所以，

又平面，平面，故平面.

（2）解：由（1）可知的面积为的面积的，即，

又知，则.

由底面，且可知，顶点到底面的距离，

则，

由三棱锥的体积为，得，解得；

因为底面，

所以，于是．

19．已知数列满足，数列是公差为的等差数列，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）分析可知数列为等比数列，确定该数列的公比，结合已知条件可求得数列和的首项，进而可求得这两个数列的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得.

【详解】（1）由，得，所以是公比为的等比数列.

由，得，所以，解得，

所以，则.

于是的通项公式为，

的通项公式为；

（2）由（1）知，，

，，

两式相减，得

，

因此，.

20．在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？

(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．

【答案】(1)，C是顶点为原点开口向上的抛物线.

(2)见解析.

【分析】(1)根据抛物线的定义可知C是顶点为原点开口向上的抛物线，求其标准方程即可；

(2)设直线AB的方程以及A、B的坐标，将直线与抛物线方程联立，运用设而不求得思想找到k与b的关系即可.

【详解】(1)因为动点M到直线l 的距离比到F的距离大2，故M到F的距离与

M到直线的距离相等，所以M的轨迹C是以F为焦点

m为准线的抛物线，因此, C是顶点为原点开口向上的抛物线.

(2)因为P在C上故，

设，

联立方程 ，可得，

，

，将(2)代入化简得：

或，以上均可满足(1)式，

所以直线方程为：或，

直线分别过定点或，

又，所以直线恒过定点.

【点睛】（1）运用定义法求标准方程；

（2）解决问题的关键是运用设而不求的思想发现k与b的关系.

21．已知函数.

(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；

(2)若x>0时，，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合导数求得切线方程.

（2）利用分离常数法，结合导数求得的取值范围.

【详解】(1)时，，

，

所以函数的图象在处的切线方程为，

即.

(2)时，成立，，

令，

，

所以在递增；在递减.

所以.

所以.

22．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为且过点．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，且曲线的极坐标方程．

（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求的最大值．

【答案】（1）（为参数）；；（2）.

【分析】（1）根据直线参数方程的定义求出直线的参数方程，再根据公式将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义计算可得；

【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数）；

曲线的极坐标方程，所以

所以曲线的直线坐标方程为．

（2）将代入，并整理得．

设、对应的参数分别为，，则．

因为在圆的内部，所以与异号，

于是．

考虑到，则当时，．

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论去绝对值符号，分别解不等式组，再将解集求并集即可；

（2）利用绝对值三角不等式得，然后根据题意得，解含绝对值的不等式即可求出结果.

【详解】（1）当时，，

当时，，解得，此时；

当时，，整理得，该式恒成立，此时；

当时，，解得，此时，

综上可知，不等式的解集为.

（2）

若满足题意，必须，等价转化为即

解得，故的取值范围为.