2023届北京市第十四中学高三上学期开学检测数学试题含解析

2023届北京市第十四中学高三上学期开学检测数学试题

一、单选题

1．已知全集,集合,那么

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全集R及A，求出A的补集即可．

【详解】全集U=R，集合A={x|x2＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

∁UA=[﹣1，1]，

故选A．

【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

2．若角与角的终边关于y轴对称，则必有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.

【详解】角与角的终边关于y轴对称，

所以，

，

即，

故选：D

【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.

3．如果，那么下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；

【详解】解：因为，所以，故A错误；

因为，所以，故B错误；

因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；

因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确；

故选：D

4．已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意，作图，则明确其直线的边界，根据旋转可得答案.

【详解】由题意，可作图：

则直线l介于与之间，的斜率，的斜率，

即直线l的斜率，

故选：C.

5．“成立”是“”的

A．充分必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式恒成立可得，根据绝对值不等式的解法可得，结合充要条件的概念即可得出结果.

【详解】等价于

，解得；

而，

所以“成立”是“”的充要条件.

故选：A.

6．直线恒过一定点，则此定点为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.

【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，

则，即，直线恒过点，

故选：D.

法二：在方程中，令得：，即，

令得：，将代入得，

将代入，得恒成立，

∴直线恒过点，

故选：D.

7．对于函数，给出命题：

①是增函数，无极值；

②是减函数，无极值；

③的递增区间为，，递减区间为；

④是极大值，是极小值．其中正确的命题有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值；

【详解】解：对于函数，所以，令，解得或，

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递减，

当时，函数在上单调递增，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

且，，

故①、②错误，③、④正确；

故选：B．

8．若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（       ）

A．或或 B．或

C． D．不存在这样的实数

【答案】B

【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：

，

令，解得，或，所以当或时，

当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，

即函数极值点为，

若函数在区间上不是单调函数，

则或，

所以或，

解得或

故选：B．

9．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为

A． B．1 C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即.

【解析】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.

10．已知双曲线()的左､右焦点分别为､，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，，根据双曲线的定义以及性质可得，，再利用离心率的式子即可求解.

【详解】作图，设，，

则有，，，

∴，，解得，

故选：A.

二、填空题

11．命题“”的否定是_______________.

【答案】

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解.

【详解】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以命题“”的否定是“”.

故答案为：.

12．圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为__________.

【答案】

【详解】试题分析：可设圆标准方程： ，则根据题意可列三个条件： ，解方程组可得 ，即得圆方程

试题解析：设

则，解得

所以（x-1）2+（y+4）2=8．

点睛：确定圆的方程方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．

13．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.

【答案】

【分析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.

【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，

由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.

故答案为：.

14．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．

【答案】

【分析】根据奇函数性质求得，由横坐标的变化情况及的最小正周期可求得，进而得表达式，代入可求得，即可得的解析式；代入即可求得的值.

【详解】函数是奇函数，

所以，代入可得，

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．

则，的最小正周期为，

则 ，解得，

所以，

因为，代入可得，

解得，

所以，

则，

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的简单应用，函数图像平移变换及由性质求三角函数解析式，属于基础题.

三、双空题

15．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如：，．若，则中元素个数是______个，所有元素的和为______．

【答案】     5     12

【解析】分，，，，，5种情况讨论的范围，计算函数值，即可求中元素个数并求元素的和.

【详解】①当时，

，，

，

则 ；

②当时，

， ，

，

；

③当时，

，

， ， ，

；

④时，

，，

，，，

；

⑤当时，

，， ，

，

故中元素个数是个，

则中所有元素的和为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况.属于中档题.

四、解答题

16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱PD的中点．

(1)证明：；

(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.

【详解】(1)因为底面，平面，故.

又为正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.

(2)以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.

设，则，，，，.

，，.

设平面的法向量，则，即，设则.

设直线AE与平面PBD所成角为，则.

17．已知满足___________，且，，求的值及面积.

从①②③这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】选①，，；选②，不存在，故无解；选③，，.

【分析】若选①，首先根据得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式求解面积即可；若选②，根据，，，即可判断此时不存在，故无解；若选③，首先根据，从而得到，根据得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式求解面积即可.

【详解】若选①，

，

因为，

所以.

若选②，因为，，，

所以，此时，不存在，故无解.

若选③，，

因为，所以，即.

所以，

因为，

所以.

18．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递减区间．

【答案】（1）；（2）函数的单调递减区间是.

【分析】（1） 利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数的最小正周期；

（2）利用三角函数的单调性即可求函数的单调递减区间．

【详解】（1）

所以最小正周期．

（2） 要求的单调递减区间，只需，

解得：．

所以函数的单调递减区间是．

19．，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

组：10，11，12，13，14，15，16

组：12，13，15，16，17，14，

假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的

人记为乙．

（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）或

【详解】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为；如果，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为，由于A组数据为10，11，12，13，14，15，16；B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，由于，两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以或.

试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率；

(Ⅱ) 如果，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率.

(Ⅲ)把B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，可见当或时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)

【解析】1、古典概型；2、样本的方差

20．设函数，其中a，.

（1）若函数在处取得极小值，求a，b的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在上只有一个极值点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【分析】（1）首先对函数求导，根据题意，得到，，得到所满足的等量关系，求得结果；

（2）对函数求导，并进行因式分解得到，比较和2的大小，从而进行分类讨论，进而确定函数的单调区间；

（3）函数在上只有一个极值点，等价于在上只有一个解，结合（2）及零点存在性定理可得，从而求得的范围.

【详解】（1）因为，

所以，得.

由，解得.

（2）因为，

令，得或.

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为.

（3）由题意可得，即，

化简得，

解得，

所以a的取值范围是.

【点睛】该题考查的是有关函数与导数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数的极值，利用导数确定函数的单调区间，理解函数的极值的定义是解题的关键，属于中档题目.

21．椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，．证明：经过线段的中点．（其中为坐标原点）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆的焦距为4，及等边三角形的性质和，求得，，即可求椭圆的标准方程；

（2）设，，，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法，斜率相等，即可得证．

【详解】(1)解：由题意可得，

短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得，即有，

又，

解得，，

所以椭圆方程为；

(2)证明：设，，，的中点为，，

由，可设直线的方程为，

代入椭圆方程可得，

即有，，

则，

于是，

则直线的斜率，

又，可得，

则，，三点共线，即有经过线段的中点．