2023届河南省安阳市高三上学期开学考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届河南省安阳市高三上学期开学考试数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省安阳市高三上学期开学考试数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式分别求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，，.故选：D.2．（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数运算法则直接计算即可.【详解】.故选：C.3．已知向量，，若，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可解出．【详解】由，得，则.故选：D．4．一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（       ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【分析】过P，Q，R三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P，Q，R所确定的平面上.【详解】 如图，设过P，Q，R三点的平面为平面.分别取，，的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方体性质知，所以平面.又，所以平面.又，所以平面.所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.故选：D.5．设满足约束条件，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，令，则当取得最小值时，在轴截距最小，由图象可知：当过点时，其在轴截距最小，，即的最小值为.故选：A.6．某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分组分配的方法可确定总体的分配方法数和女生分配到不同农场的方法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，共有种分配方法；其中两名女生被分配到不同农场的情况有种；所求概率.故选：A.7．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（       ）A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍【答案】C【分析】根据题意解对数方程即可得解．【详解】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.故选：C．8．已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由最值可求得，根据最小正周期可求得，由可求得，从而得到解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得.【详解】由图象可知：，最小正周期，，，，，解得：，又，，；将图象向右平移个单位长度可得：；将横坐标变为原来的倍得：.故选：A.9．如图，这是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据程序框图运行程序，可知当第十次循环后，不满足判断框条件，输出结果，根据此时可得判断框内的条件.【详解】按照程序框图运行程序，则第一次循环时，，；第二次循环时，，；第三次循环时，，；以此类推，第十次循环时，，，此时需不满足判断框条件，输出，判断框内应填入或.故选：D.10．已知等比数列的前n项和，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由数列的前n项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项.【详解】因为数列的前n项和，所以，，，又数列为等比数列，所以数列的公比，所以，所以，，所以，故，故选：B.11．在正四棱台中，，，则该棱台外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求外接球球心为，则在上下底面中心的连线上，利用勾股定理可求得，设，在和中，利用勾股定理可构造方程组求得，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，设正四棱台的外接球球心为，外接球半径为，则直线；，，，又，，当位于线段上时，设，则，解得：（舍）；当位于线段的延长线上时，设，则，解得：；该棱台的外接球表面积.故选：D.12．平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得出曲线围成的图形为平行四边形，再结合点到直线的距离及平面几何知识求得面积即可.【详解】由题意知，曲线围成的图形为平行四边形，且，y＝0为两条对角线所在直线，则曲线和，的交点即为平行四边形的四个顶点；设曲线和的交点为，曲线和的交点为，则到直线的距离为0，到直线的距离为2，作轴于，则；同理可得到直线的距离为2，作于，则，又，则，则，则曲线围成的图形面积为.故选：A. 二、填空题13．已知等差数列的首项为，且，则______.【答案】【分析】利用等差数列通项公式可构造方程求得公差，由可求得结果.【详解】设等差数列的公差为，由得：，即，解得：，.故答案为：.14．已知圆与抛物线的准线相切，则___________.【答案】4【分析】根据直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】因为圆的圆心为，半径，抛物线的准线为，所以，解得.故答案为：415．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______.①；②在R上恰有三个零点.【答案】(答案不唯一)【分析】根据题意为偶函数，且在上有三个零点，找一个符合要求的函数即可，答案不唯一.【详解】因为，所以为偶函数，对于方程，设，则有，变形可得，方程有两根，则有两解，所以函数有三个零点.故答案为:.16．若直线是曲线与的公切线，则______.【答案】【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程，由切线方程相同可构造方程组求得，即为公切线的斜率.【详解】设与，分别相切于点，，，，，，切线方程为，，即，，，即，解得：，即.故答案为：. 三、解答题17．2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：第t天1234567交易额y/千万元 (1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；(2)利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.参考数据：，，.参考公式：相关系数.在回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】(1)答案见解析(2)，1.1亿元【分析】（1）根据相关系数公式求出，利用数值对应的意义即可说明；（2）先由最小二乘法求出回归方程，在令，即可预测出下一周的第一天的交易额．【详解】(1)因为，，，，所以.因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.(2)因为，，所以，，所以y关于t的回归方程为，将代入回归方程得（千万元）亿元，所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若BC边上的高为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；（2）先根据锐角三角函数的定义可知，，得出关系，再根据可求出，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，即可解出．【详解】(1)由，得，即，∴，∵，∴.(2)∵，且BC边上的高为，∴，∴，∴.∵，∴C为锐角，∴，∴.19．在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，AB＝2.(1)证明：.(2)求点D到平面ABFE的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)点D到平面ABFE的距离为.【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面ABCD，由此可得，再证明 ，利用用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；（2）以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式可求点D到平面ABFE的距离..【详解】(1)因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在四边形中，作于M，于N，因为，，，所以四边形为等腰梯形，则，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以；(2)由(1) 平面，，以点D为原点，，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，因为矩形EDCF的面积为 ，，所以所以，，，，则，，，设平面的法向量，则，可取，设点D到平面ABFE的距离为，则.20．已知函数存在两个极值点.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；（2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.【详解】(1)由题意知：定义域为，；令，则有两个不等正根，，解得：，实数的取值范围为.(2)由（1）知：，是的两根，则；；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，即的最小值为.21．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且，的面积为.(1)求椭圆的短轴长；(2)已知是椭圆的上顶点，为椭圆上两动点，若以为直角顶点的等腰直角三角形只有一个，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，由椭圆定义、三角形面积和勾股定理可构造方程求得，由此可得短轴长；（2）根据题意可设，则，将直线方程与椭圆方程联立可得求得横坐标，结合弦长公式可得，由可整理得到方程，根据符合题意的三角形有且仅有一个，可知方程无正实根或有且仅有一个正实根，通过对一元二次方程根的分布的讨论可求得的范围，进而得到的取值范围.【详解】(1)设，，由椭圆定义知：；，，即；，，，解得：，椭圆的短轴长为.(2)由（1）知：椭圆，由题意知：直线与坐标轴不平行，且可设，，，则，由得：，则，同理可得：，，；为等腰直角三角形，，，；不妨设，则，即，或；满足题意的有且仅有一个，无正实根或有且仅有一个实根；，又，当，即时，无实根，满足题意；当，即时，，解得：，满足题意；当，即时，设的两根为，则，，解得：（舍）；综上所述：，，即的取值范围为.22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)判断直线与曲线的交点个数；(2)若直线与曲线相交于两点，且，求直线的直角坐标方程.【答案】(1)两个不同的交点(2)或【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化方法可求得曲线的直角坐标方程；根据直线的参数方程可知直线恒过点，根据在圆内可得直线与曲线相交，由此可得结果；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得韦达定理的形式；利用直线参数方程中参数的几何意义可构造方程求得，由此可得直线倾斜角，进而得到直线方程.【详解】(1)由得：，则，曲线的直角坐标方程为：；由直线参数方程可知：恒过点，，点在圆内部，直线与曲线相交，即有两个不同的交点.(2)将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：，即；设对应的参数分别为，则，，，解得：，，又，或，则直线方程为或.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)已知函数的最小值为m，且a，b，c都是正数，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）去掉绝对值分类讨论即可.（2）根据函数的最小值求得，则，根据基本不等式结合 “1”的应用即可得证.【详解】(1)当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上，原不等式的解集为.(2)证明:，当且仅当即时，等号成立，则，，故，当且仅当时，等号成立.