2022届高考全国卷版理猜题卷数学文含解析

2022届高考数学核心猜题卷

全国卷（文）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则(   )
A. B. C. D.

2.若，则z的虚部为(   )

A. B. C. D.

3.某大型集团公司为了解集团业务的详细情况，统计了该集团公司去年每月主打产品的销售情况，得到如下统计表，结果保留整数，则下列判断正确的是(   )

A.去年该产品月销售量呈逐月递增的趋势

B.去年该产品月销售量的极差是70万件

C.去年该产品平均每月销售约72万件

D.去年该产品月销售量的最小值是25万件

4.若直线与圆相切，则实数k的值为(   )

A. B. C. D.

5.已知，且，则(   )
A. B. C. D.

6.已知数列满足，且对于任意的都有成立，若为数列的前n项和，则(   )

A.62 B.-62 C.47 D.-47

7.在平行四边形ABCD中，，，若，，则与夹角的余弦值是(   )

A. B. C. D.

8.已知函数的最小正周期为，且的图象经过点和，则的最大值为(   )

A.1 B. C. D.2

9.已知定义在R上的函数满足，为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是(   )

A. B.

C. D.

10.已知直线与双曲线交于M，N两点，F是C的右焦点，若，且，则C的实轴长为(   )
A.2 B. C.4 D.

11.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为(   )
 

A.30° B.45° C.60° D.90°

12.已知函数，若的解集中恰有一个整数，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数的图象在处的切线方程为___________.

14.若x，y满足约束条件，则的最大值是___________.

15.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，

，，，则球O的表面积为_______________.

16.已知抛物线的焦点为F，抛物线与抛物线交于O，A两点，过点A作抛物线准线l的垂线，垂足为B，若的外接圆C的半径为，则圆C的标准方程为_________________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且.

（1）求角B的大小；

（2）若，求的面积的最大值.

18.（12分）菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，，，将沿AC折到的位置，使得，如图所示.

（1）证明：；
（2）求点A到平面PCD的距离.

19.（12分）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，

设变量x，y满足回归直线方程.

（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2022年的高考的成绩；

（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，求其中2次成绩都大于500分的概率.

参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

，.

20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与A，B重合）与A，B连线的斜率的乘积恒为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知圆，圆O上任意一点Q处的切线交椭圆于M，N两点，在x轴上是否存在一定点D，使得以MN为直径的圆过该定点？若存在，请求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

21.（12分）已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若当时，方程有实数解，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）若直线，分别与直线l交于点A，B，求的面积；

（2）若点P，Q分别为曲线C及直线l上的动点，求的最小值.

23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]

已知，.

（1）当时，解不等式；

（2）对于任意的实数x，总有成立，求实数m的取值范围.

2022届高考数学核心猜题卷

全国卷（文） 参考答案

一、选择题

1.答案：D

解析：由题意可得，，则，故选D.

2.答案：A

解析：因为，所以，故z的虚部为，故选A.

3.答案：C

解析：由统计图易知，A错误；去年该产品月销售量最大值是95万件，最小值是30万件，所以极差是65万件，故B，D错误；去年该产品平均每月销售量为

（万件），故C正确，故选C.

4.答案：C

解析：由题可知，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故选C.

5.答案：D

解析：由，得，解得或.
又因为，所以，则，故选D.

6.答案：C

解析：因为，所以，故，，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即，

所以，故选C.

7.答案：B

解析：由题意得，

，因为，，，，所以

，解得，

所以，故选B.

8.答案：B

解析：因为的最小正周期为，所以，即，
故，所以，即，

又，所以，故，又的图象经过点，

所以，所以，故的最大值为，故选B.

9.答案：A

解析：由知函数是周期为6的函数.因为为偶函数，所以，所以.

因为，，所以.因为在上单调递减，所以，即，故选A.

10.答案：C

解析：如图，不妨设，是C的左焦点，连接，，显然四边形是平行四边形，，则，即，在中，

，，，，由余弦定理得

，即，得，所以C的实轴长为4，故选C.

11. 答案：C

解析：如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，因为是等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆半径，则，，则且，又且，而

且，所以为异面直线PA与BC所成的角，在中，因为E为PC的中点，所以，所以是正三角形，即异面直线PA与BC所成的角为，故选C.
 

12.答案：D

解析：由，得，设，则.设，易知在R上单调递增且，则当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，易知解集中的唯一整数为0，则有，即，所以，故选D.

二、填空题

13.答案：

解析：，，，故所求切线方程为，即.

14.答案：7

解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为直线，当直线过点A时其在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，联立，解得，所以的最大值为.
 

15.答案：

解析：如图，取AB中点O，连接OD，在中，由，，，得，则，又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，则，在中，，，，则，，平面ACD，得，则O为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，球O的表面积为，故答案为.

16.答案：

解析：由已知得，联立，解得点，，则线段AB的中垂线，又，且由抛物线的定义可知，线段BF的中垂线过点A，则线段BF的中垂线，即，联立，解得圆心，则圆C的半径，解得，，圆C的标准方程为.

三、解答题

17.解析：（1）由正弦定理得，
即，…………………………………………………2分
即，
即，……………………………………………………………………4分
，，

又，.…………………………………………………………………………6分

（2）由余弦定理得，

即，……………………………………………………………………8分

即，当且仅当时，等号成立，

.……………………………………………………………………10分
的面积.

的面积的最大值为.…………………………………………………………12分

18.解析：（1）因为ABCD是菱形，所以，
则，.………………………………………………………………………2分
因为平面PBE，平面PBE，且，

所以平面PBE.
因为平面PBE，所以.………………………………………………………5分
（2）如图，取DE的中点O，连接OP，OC.
因为，所以.
因为，所以，
所以，.…………………………………………………………………7分
由（1）可知平面PBE，所以平面平面ABCD，
则平面ABCD.
由题意可得，所以，，
则，
故的面积为.…………………………………………………9分
设点A到平面PCD的距离为h，因为，
所以，解得，
即点A到平面PCD的距离为.………………………………………………………12分

19.解析：（1）由表得，

，………………………………………………………2分

.

将点代入回归直线方程可得，

解得，

回归直线方程为.……………………………………………………………5分

当时，，

预测2022年的高考成绩为511.2分.………………………………………………………6分

（2）记“从5次考试成绩中选出3次成绩”为事件A，

则事件A的情况有，，，，，，，，，，共10种情况，………………………………………………………………8分

其中2次成绩都大于500分情况有，，，共3种情况，…………………………………………………………………………………………10分

所求的概率.…………………………………………………………………………12分

20.解析：（1）由题意知，且，，
设，则点P与点A连线的斜率，
点P与点B连线的斜率，………………………………………………………2分
由题意知，即，①
因为点P在椭圆C上，所以，②
联立①②，解得，所以椭圆C的标准方程为.……………………………4分
（2）假设满足条件的点存在，
当过点Q且与圆O相切的直线斜率存在时，设切线方程为，将其代入椭圆C的方程，得，
，即，…………………………………………………6分
设，，
所以，，
因为直线与圆O相切，

所以圆心O到直线的距离，

所以，符合题意，…………………………………………………………8分
因为以MN为直径的圆过定点D，所以，
所以


，
因为不恒成立，所以，则，故以MN为直径的圆经过定点.

…………………………………………………………………………………………………10分
当过点Q且与圆O相切的直线斜率不存在时，不妨设切线方程为，将其代入椭圆C的方程，得，则交点坐标为，，故以MN为直径的圆经过点
故在x轴上存在一定点，使得以MN为直径的圆经过该定点.……………………12分

21.解析：（1）函数的定义域为R，，

当时，，则在上单调递增；…………………………………2分

当时，令，得，

则在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在R上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.…………………………………………………………………………5分

（2）由，得，

因为，所以.

令，，

则.……………………………………………………7分

令，得.

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

所以.………………………………………………………………………9分

又，，，

所以，所以当时，.

所以函数的值域为，

因此实数a的取值范围为.…………………………………………………………12分

22.解析：（1）因为直线，分别与直线交于点A，B，

所以，，…………………………………3分

又，
所以的面积.……………………………………………5分
（2）直线l的极坐标方程为，即，
由，，得直线l的直角坐标方程为.
的最小值即点P到直线l距离的最小值，……………………………………………7分
设，

则点P到直线l的距离，

当且仅当时取等号，
所以的最小值为.………………………………………………………………10分

23.解析：（1）由题意知，，
当时，，………………………………………………………2分
当时，，化简得，所以；
当时，恒成立，所以；

当时，，化简得，所以，
综上可知不等式的解集为.………………………………………………5分
（2）因为，………………………7分
即，

因为对于任意的实数x，总有成立，

所以，

解得或，
所以实数m的取值范围是.………………………………………………10分