2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝BC，CD＝DA D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
2．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
3．下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（　　）
A． B． C．1 D．或
5．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．矩形的邻边相等
C．正方形的对角线互相垂直平分
D．菱形的对角线相等
6．对于直线y＝﹣x﹣1的描述正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是（0，﹣1）
C．经过点（﹣2，﹣2） D．图象不经过第二象限
7．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
8．若函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，则k的值是（　　）
A．k≠2 B．k＝2 C．k＝﹣ D．k＝﹣2
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
10．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．9π B． C． D．3π
11．一个装有进水管和出水管的容器，开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图，则8分钟时容器内的水量（单位：升）为（　　）

A．24 B．25 C．26 D．27
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝　 　cm．

15．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 　 　．

16．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　 　．

17．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝　 　米．

18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为 　 　．

三、简答题
19．已知一次函数的图象经过A（2，﹣3）、B（﹣1，3）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点P（3，﹣5）是否在该函数图象上．
20．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．

21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．

22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．

23．如图，一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4）、Q（4，1）两点，与x轴交于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知：点M在x轴上，且使MP+MQ的值最小，请直接写出点M的坐标 　 　，及MP+MQ的最小值是 　 　．

24．如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：A，B两地相距　 　千米；货车的速度是　 　千米/时；
（2）求三小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数表达式；
（3）试求客车与货两车何时相距40千米？
25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝　 　；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．

26．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E．
（1）请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？


2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝BC，CD＝DA D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
【解答】解：如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有A符合条件．
故选：A．

【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
2．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
【分析】分别计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方即可．
【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+62＝52≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．下列四个图象中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义，在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数，判断即可．
【解答】解：根据函数的定义，
选项A符合函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，
故A符合题意；
而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故B、C、D都不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
4．已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（　　）
A． B． C．1 D．或
【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．
【解答】解：3是直角边时，第三边＝＝，
3是斜边时，第三边＝＝，
所以，第三边长为或．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
5．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．矩形的邻边相等
C．正方形的对角线互相垂直平分
D．菱形的对角线相等
【分析】利用平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可进行判断．
【解答】解：A．平行四边形的对角线平分，菱形的对角线垂直，A选项不符合题意；
B．菱形的邻边相等，B选项不符合题意；
C．正方形的对角线垂直，平分且相等，C选项符合题意；
D．矩形的对角线相等，D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，关键是熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质做题．
6．对于直线y＝﹣x﹣1的描述正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是（0，﹣1）
C．经过点（﹣2，﹣2） D．图象不经过第二象限
【分析】A．由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小；B．利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点是（0，﹣1）；C．利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y＝﹣x﹣1经过点（﹣2，0）；D．由k＝﹣＜0，b＝﹣1＜0，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y＝﹣x﹣1经过第二、三、四象限．
【解答】解：A．∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意；
B．当x＝0时，y＝﹣×0﹣1＝﹣1，
∴直线y＝﹣x﹣1与y轴的交点是（0，﹣1），选项B符合题意；
C．当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）﹣1＝0，
∴直线y＝﹣x﹣1经过点（﹣2，0），选项C不符合题意；
D．∵k＝﹣＜0，b＝﹣1＜0，
∴直线y＝﹣x﹣1经过第二、三、四象限，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
7．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB＝5cm，BC＝3cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC＝4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
8．若函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，则k的值是（　　）
A．k≠2 B．k＝2 C．k＝﹣ D．k＝﹣2
【分析】根据正比例函数的定义得出k﹣2≠0且2k+1＝0，再求出k即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，
∴k﹣2≠0且2k+1＝0，
解得：k＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数y＝kx+b叫正比例函数．
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【分析】由题意得EF∥AD，HG∥AD，推出EF∥HG，同理得出HE∥GF，即可得出四边形EFGH是平行四边形，由中位线的性质得出GH＝AD，GF＝BC，证得GH＝GF，即可得出结果．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
同理：HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴GH＝AD，GF＝BC，
∵AD＝BC，
∴GH＝GF，
∴平行四边形EFGH是菱形；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．
10．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．9π B． C． D．3π
【分析】利用勾股定理和圆的面积公式解答．
【解答】解：根据题意知：AC2+BC2＝AB2＝9．
图中阴影部分的面积＝π×（AC）2+π×（BC）2+π×（AB）2
＝π（AC2+BC2+AB2）
＝π×（9+9）
＝．
故选：C．
【点评】本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单，解题的关键是将图中阴影部分的面积转化为π（AC2+BC2+AB2）的形式．
11．一个装有进水管和出水管的容器，开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图，则8分钟时容器内的水量（单位：升）为（　　）

A．24 B．25 C．26 D．27
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出当4≤x≤12时，y与x的函数关系式，然后将x＝8代入求出相应y值即可．
【解答】解：当4≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（4，20），（12，30）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当4≤x≤12时，y与x的函数关系式为y＝x+15，
当x＝8时，y＝×8+15＝25，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）
①四边形AFCE为菱形；
②△ABF≌△CDE；
③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个结论进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；
∴AE＝CF，
∴BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴AF＝CF＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；
正确的个数有3个，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
二、填空题
13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥0且x≠4　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x≥0，x﹣4≠0，
解得：x≥0且x≠4，
故答案为：x≥0且x≠4．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝　3　cm．

【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×6＝3（cm），
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 　x＜﹣2　．

【分析】由图象得到直线y＝kx+b与直线y＝2x的交点A的坐标（﹣2，﹣3），观察直线y＝2x落在直线y＝kx+b下方的部分对应的x的取值即为所求．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝ax相交于点A（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2时，ax＜kx+b，
∴不等式ax＜kx+b的解集为x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　（﹣2，3）　．

【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．

【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝　2　米．

【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），
在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），
∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为 　3　．

【分析】先利用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等说明线段AB与AE、BD与DE、CD与AD的关系，再在Rt△ABC中说明∠C的度数，最后利用特殊角在Rt△ECD中求出CD．
【解答】解：∵∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，BD＝DE＝1，AC＝2AE．
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（HL）．
∴AB＝AE．
∴AC＝2AB．
在Rt△ABC中，∵AC＝2AB，
∴∠C＝30°．
在Rt△ECD中，
∵ED＝1，∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝2．
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线、线段的垂直平分线及含30°角的直角三角形的性质等知识点．掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”“等腰三角形的三线合一”及“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”等知识点是解决本题的关键．
三、简答题
19．已知一次函数的图象经过A（2，﹣3）、B（﹣1，3）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点P（3，﹣5）是否在该函数图象上．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，把已知条件代入求得未知数的值即可；
（2）把点P（3，﹣5）代入解析式看是解析式否成立．
【解答】解：（1）设所求的一次函数的解析式为y＝kx+b．
由题意得，
解得，
∴所求的解析式为y＝﹣2x+1．
（2）点P（3，﹣5）在这个一次函数的图象上．
∵当x＝3时，y＝﹣2×3+1＝﹣5，
∴点P（3，﹣5）在直线y＝﹣2x+1上．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，
∴AC＝，
∵CD＝2，AD＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∵AB＝，BC＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理解答．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．

【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．

【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）先证△BCD是等边三角形，得BD＝BC＝2，再由勾股定理得OC＝，则AC＝2OC＝2，然后由矩形的性质得CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝OB＝1，
∴OC＝，
∴AC＝2OC＝，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝，
故AE的长为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形1性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．
23．如图，一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4）、Q（4，1）两点，与x轴交于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知：点M在x轴上，且使MP+MQ的值最小，请直接写出点M的坐标 　（，0）　，及MP+MQ的最小值是 　　．

【分析】（1）利用待定系数法求直线PQ的解析式；
（2）先利用一次函数解析式确定A点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△POQ＝S△POA﹣S△QOA进行计算；
（3）作Q点关于x轴的对称点B，连接PB交x轴于M点，连接MQ，如图，利用关于x轴对称的点的坐标特征得到B（4，﹣1），根据两点之间线段最短可判断此时MP+PQ的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求出直线PB的解析式为y＝﹣x+，然后计算自变量为0对应的函数值得到M点的坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
∴此一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则A（5，0），
∴S△POQ＝S△POA﹣S△QOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；
（3）作Q点关于x轴的对称点B，连接PB交x轴于M点，连接MQ，如图，
∴B（4，﹣1），
∵MP+MQ＝MP+MB＝PB，
∴此时MP+PQ的值最小，最小值为＝，
设直线PB的解析式为y＝px+q，
把P（1，4），B（4，﹣1）分别代入得，
解得，
∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝，
∴M点的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）；；

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和最短路径问题．
24．如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：A，B两地相距　600　千米；货车的速度是　40　千米/时；
（2）求三小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数表达式；
（3）试求客车与货两车何时相距40千米？
【分析】（1）根据图象中的数据即可得到A，B两地的距离；根据货车3小时到达C站，求得货车的速度；
（2）根据函数图象中的数据即可得到三小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．
【解答】解：（1）由函数图象可得，A，B两地相距：480+120＝600（km），
货车的速度是：120÷3＝40（km/h）．
故答案为：600；40；

（2）y＝40（x﹣3）＝40x﹣120（x＞3）；

（3）分两种情况：
①相遇前：80x+40x＝600﹣40，
解得x＝，
②相遇后：80x+40x＝600+40，
解得x＝，
综上所述：当行驶时间为小时或小时，两车相距40千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝　2　；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．

【分析】（1）利用勾股定理计算，再根据准矩形的特点求出即可；
（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可得证；
（3）作DF⊥BC，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵四边形ABCD是准矩形，
∴BD＝AC＝2．
故答案为：2；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠EBC＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF＝90°，
∴∠EBF＝∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴四边形BCEF是准矩形；
（3）作DF⊥BC，垂足为F，

∵准矩形ABCD中，AC＝BD，AC＝DC，
∴BD＝CD，
∴BF＝CF＝BC＝，
∴DF＝＝＝，
∴S准矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD
＝FC×DF+（AB+DF）×BF，
＝××+（2+）×，
＝+．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．
26．直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E．
（1）请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？

【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，再利用勾股定理求出AB的长，再根据菱形的性质可得答案；
（2）表示出设M（﹣），N（t﹣9，t），得MN＝﹣＝﹣，根据MN＝DE，可得答案；
（3）若点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，则△CDP是等腰三角形，分CD＝CP或DC＝DP或PC＝PD三种情形，分别求出t的值．
【解答】解：（1）∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝3，
∴OB＝4，OA＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝AD＝5，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0），C（﹣5，4），
将C（﹣5，4）代入y＝x+m得，﹣5+m＝4，
∴m＝9；
（2）∵m＝9，
∴y＝x+9，
∴E（﹣9，0），
∵点P（0，t），
∴设M（﹣），N（t﹣9，t），
∴MN＝﹣＝﹣，
∵四边形NEDM是平行四边形，
∴MN＝ED，
∴﹣＝7，
解得t＝，
∴P（0，）；
（3）∵点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴△CDP是等腰三角形，
当CD＝DP时，∵OD＝2，
∴OP＝，
∴t＝±（负值舍去），
当CD＝CP时，则点B与P重合，
∴t＝4；
当PD＝PC时，则t2+22＝25+（t﹣4）2，
解得t＝，
综上：t＝或4或时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键．
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