人教版数学九年级上册专项培优练习八《二次函数与一元二次方程》（含答案）

人教版数学九年级上册专项培优练习八

《二次函数与一元二次方程》

一              、选择题

1.已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+p=0(p是常数)的一个实数根是1，则二次函数y=x2﹣5x+p的图像与x轴的交点坐标为(        )

A.(1，0)，(﹣1，0)       B.(1，0)，(﹣6，0)      

C.(1，0)，(5，0)         D.(1，0) ，(4，0)

2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是(　　)

A.抛物线开口向上      B.抛物线与y轴交于负半轴     

C.当x=4时，y＞0      D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间

3.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x的取值范围是(    )

A.0＜x＜    B.0＜x＜1       C.＜x＜1     D.－1＜x＜2

4.若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(    ).

A.b＜1且b≠0        B.b＞1       C.0＜b＜1     D.b＜1

5.抛物线y=ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2=0根的情况是(   )

A.有两个不相等的实数根        B.有两个异号的实数根

C.有两个相等的实数根          D.没有实数根

6.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+2024的值为(    ).

A.2022            B.2023        C.2024        D.2025

7.如图，已知顶点为(﹣3，﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1，﹣4).则下列结论中错误的是(　　)

A.b2＞4ac

B.ax2+bx+c≥﹣6

C.若点(﹣2，m)，(﹣5，n)在抛物线上，则m＞n 

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1

8.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3图象如图，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是(  )

A.y1＜y2     B.y1＞y2      C.y的最小值是﹣3     D.y的最小值是﹣4

9.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：

给出了结论：

(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3；

(2)当－0.5＜x＜2时，y＜0；

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.

则其中正确结论的个数是(       )

A.3            B.2                C.1               D.0

10.若t为实数，关于x的方程x2－4x＋t－2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式(a2－1)(b2－1)的最小值是(          )

A.－15              B.－16             C.15               D.16

11.如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是(　　)

A.0或2　　B.0或1        C.1或2　　D.0，1或2

12.二次函数y=ax2+bx+c有最大值为5，若关于x的方程|ax2+bx+c|=t最多有三个不相等的实数根，其中t为常数t≠0，则t的取值范围是(     )

A.t≥5                       B.t＞5                        C.t＜5                       D.t≤5

二              、填空题

13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是    

14.若二次函数y=x2+bx﹣5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx﹣5=2x﹣13的解为　   　.

15.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是          .

16.抛物线y=a(x﹣h)2+k经过(﹣1,0)，(5,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x﹣h+1)2+k=0的解是_______.

17.如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为      .

18.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是        .(写出所有正确说法的序号)

①方程x2－x－2＝0是倍根方程；

②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0；

③若点(p，q)在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；

④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为.

三              、解答题

19.已知关于x的方程x2+mx+n+3=0的一根为2

(1)求n关于m的关系式

(2)求证：抛物线y=x2+mx+n与x轴有两个交点.

20.已知y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.

(1)求k的取值范围.

(2)若该函数图象与x轴有两个交点，且有k2﹣k=2.

①求k的值.

②作出该函数的草图，并结合函数图象写出当k≤x≤k+2时y的取值范围.

21.已知函数y=mx2﹣6x+1(m是常数).

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.

22.已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2，﹣3)和(4，5).

(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；

(3)在(2)的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围.

23.已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).

(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

(3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a+n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合)，求代数式4a2﹣n2+8n的值.

24.根据下列要求，解答相关问题：

(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点(﹣1，2)与x轴的交点是(0，0)，(﹣2，0)，用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；

②数形结合，求得界点：

当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为　   　；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为　   　.

(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集.

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集.

(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集.

参考答案

1.D

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.B

10.A

11.D

12.A

13.答案为：1或0.

14.答案为：x1=2，x2=4.

15.答案为：﹣1＜x＜3.

16.答案为：﹣2或4.

17.答案为：8.

18.答案为：②③.

19.解：(1)将x=2代入方程，得：

4+2m+n+3=0，

整理可得n=﹣2m﹣7；

(2)∵△=m2﹣4(n+3)

=m2﹣4(﹣2m﹣7)

=m2+8m+28=(m+4)2+12＞0，

∴一元二次方程x2+mx+n=0有两个不相等的实根，

∴抛物线y=x2+mx+n与x轴有两个交点.

20.解：(1)当k=1时，y=﹣2x+3与x轴有交点，满足题意；

当k≠1时，由题意得4k2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0，解得k≤2.

综上可得，k的取值范围是k≤2.

(2)①∵函数图象与x轴有两个交点，

∴k＜2且k≠1.

∵k2﹣k=2，解得k=2或k=﹣1，

∴k的值为﹣1.②

将k=﹣1代入，得y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.

图象如答图所示.当﹣1≤x≤1，

根据图象得﹣3≤y≤.

21.解：(1)当x=0时，y=1.

∴不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点(0，1).

(2)①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，

则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，

所以Δ=(﹣6)2﹣4m=0，m=9.

综上所述，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.

22.解：(1)根据题意得

，解得，

所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为(1，﹣4).

(2)根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3.

(3)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为(1，﹣4)，

当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点(1，4)，

当x=﹣2时，y=﹣5.

∴当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4.

23.(1)证明：由题意可得：

△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)

=1+25m2﹣10m+20m

=25m2+10m+1

=(5m+1)2≥0，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

(2)mx2+(1﹣5m)x﹣5=0，

解得：x1=﹣，x2=5，

由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，

解得：m=1或m=﹣；

(3)由(2)得，当m＞0时，m=1，

此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，

由题已知，P，Q关于x=2对称，

∴=2，即2a=4﹣n，

∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16.

24.解：(1)②方程﹣2x2﹣4x=0的解为：x1=0，x2=﹣2；

③不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为：﹣2≤x≤0；

(2)①构造函数，画出图象，如图2，：

构造函数y=x2﹣2x+1，抛物线的对称轴x=1，

且开口向上，顶点坐标(1，0)，

关于对称轴x=1对称的一对点(0，1)，(2，1)，

用三点法画出图象如图2所示：

；

②数形结合，求得界点：

当y=4时，方程x2﹣2x+1=4的解为：x1=﹣1，x2=3；

③借助图象，写出解集：

由图2知，不等式x2﹣2x+1＜4的解集是：﹣1＜x＜3；

(3)解：①当b2﹣4ac＞0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)

的解集是x＞或x＜.

当b2﹣4ac=0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是：x≠﹣；

当b2﹣4ac＜0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是全体实数.