人教版数学九年级上册专项培优练习十三《垂径定理》（含答案）

人教版数学九年级上册专项培优练习十三

《垂径定理》

一              、选择题

1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于  (  )

A.10°                     B.20°                     C.40°                    D.80°

2.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为(　　)

A.2             B.3                             C.4                            D.5

3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠OAC＝22.5°，OC＝4，则CD长为(     )

A.2                     B.4                      C.4                      D.8

4.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是(     )

A.AD＝AB                       B.∠BOC＝2∠D      C.∠D＋∠BOC＝90°     D.∠D＝∠B

5.如图，弦CD垂直于⊙O直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则AB长为(  )

A.2                     B.3                      C.4                        D.5

6.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长是(    )

A.3 cm        B. cm        C.2.5 cm        D. cm

7.如图，AD是O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(     )

A.AP＝2OP      B.CD＝2OP     C.OB⊥AC     D.AC平分OB

8.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)”，问这块圆形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是(　　)

A.13寸                      B.20寸                      C.26寸           D.28寸

9.被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥(如图)，已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5m，则水面AB的宽度是(　　)

A.1.8m                      B.1.6m                        C.1.2m                      D.0.9m

10.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于(　　)

A.8         B.10         C.11         D.12

11.如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连结AE，BE.

则下列五个结论：

①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AEO＋∠ACB＝90°；⑤＝弧AEB.

正确结论的个数是(　　)

A.2          B.3           C.4             D.5

12.如图，已知点C，D是半圆弧AB上三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E.

则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③2OE＝AC，④四边形AODC是菱形.

正确的个数是(   )

A.1                       B.2          C.3              D.4

二              、填空题

13.在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为         cm.

14.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为       .

15.如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足E是OB的中点，CD＝6cm，则直径AB＝      cm.

16.某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道.如图，水面宽度原有60 cm，发现时水面宽度只有50 cm，同时水位也下降65 cm，则修理人员应准备的半径为        cm的管道.

17.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是        .

18.如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，AB＝6，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为   .

三              、解答题

19.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B，C两点，若BC＝8，AO＝1，求⊙O的半径.

20.尺规作图：已知△ABC，如图.

(1)求作：△ABC的外接圆⊙O；

(2)若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为        .

21.如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，解答下列问题：

(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全；(要求：保留作图痕迹，不写作法)

(2)若弦AB＝8，CD＝3，求圆形轮片所在圆的半径R.

22.已知圆O的直径AB＝12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D.

(1)如图1，当PD//AB时，求PD的长；

(2)如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长.

23.如图，点P为⊙O上一点，弦AB＝cm，PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°.

(1)求⊙O的半径；

(2)当∠PAC等于多少时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？(直接写出答案)

24.如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？

参考答案

1.C.

2.A.

3.C.

4.B.

5.B.

6.D.

7.A.

8.C.

9.A.

10.A.

11.C.

12.D.

13.答案为：3cm.

14.答案为：3.

15.答案为：4.

16.答案为：50.

17.答案为：4.

18.答案为：10.

19.解：连结BO，CO，延长AO交BC于点D.

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴AB＝AC.

∵点O是圆心，

∴OB＝OC.

∴直线OA是线段BC的垂直平分线.

∴AD⊥BC，且D是BC的中点.

在Rt△ABC中，AD＝BD＝BC，

∵BC＝8，

∴BD＝AD＝4.

∵AO＝1，

∴OD＝AD﹣AO＝3.

∵AD⊥BC，

∴∠BDO＝90°.

∴OB＝5

20.解：(1)作法如下：

①作线段AB的垂直平分线，

②作线段BC的垂直平分线，

③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；

(2)连接OA，OC，∵∠B＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∵AC＝4，

∴OA＝OC＝4，即圆的半径是2.

21.解：(1)图略.

(2)连结OA.∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝8，

∴AD＝AB＝4.

在Rt△ADO中，AO＝R，AD＝4，DO＝R－3，

根据勾股定理，

得R2＝16＋(R－3)2，解得R＝.　

22.解:如图1,联结OD

∵直径AB＝12

∴OB＝OD＝6

∵PD⊥OP

∴∠DPO＝90°

∵PD∥AB

∴∠DPO+∠POB＝180°

∴∠POB＝90°

又∵∠ABC＝30°,OB＝6

∴OP＝2

∵在Rt△POD 中,PO2+PD2＝OD2

∴PD＝2.

(2)如图2,过点O 作OH⊥BC,垂足为H

∵OH⊥BC

∴∠OHB＝∠OHP＝90°

∵∠ABC＝30°,OB＝6

∴OH＝3,BH＝3,

∵在⊙O 中,OH⊥BC

∴CH＝BH＝3

∵BP 平分∠OPD

∴∠BPO＝45°

∴PH＝3

∴PC＝CH﹣PH＝3﹣3.

23.解：(1)如图1，连接OA，OC，∵∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵PC是∠APB的平分线，

∴∠APC＝∠BPC，

∴，

∴AD＝BD＝，OC⊥AB，

∴OA＝1，

∴⊙O的半径为1；

(2)如图2，∵PC平分∠APB，

∴∠APC＝∠BPC，

∴AC＝BC，由AB＝cm，求得AC＝BC＝1，

∵S四边形PACB＝S△ABC＋S△PAB，S△ABC为定值，

当S△PAB最大时，四边形PACB面积最大，

由图可知四边形PACB由△ABC和△PAB组成，

且△ABC面积不变，故要使四边形PACB面积最大，只需求出面积最大的△PAB即可，

在△PAB中，AB边不变，其最长的高为过圆心O与AB垂直(即AB的中垂线)与圆O交点P，此时四边形PACB面积最大.此时△PAB为等边三角形，此时PC应为圆的直径∠PAC＝90°，

∵∠APC＝∠BAC＝30°，

∴PC＝2AC＝2，

∴四边形PACB的最大面积为××2＝(cm2).

24.解：学校受到噪音影响.理由如下：作AH⊥MN于点H，如图.

∵PA＝160 m，∠QPN＝30°，

∴AH＝PA＝80 m.

而80 m＜100 m，

∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响.

以点A为圆心，100 m为半径作⊙A交MN于B、C，连结AB，如图.

∵AH⊥BC，

∴BH＝CH.

在Rt△ABH中，AB＝100 m，AH＝80 m，

∴BH＝＝60 m，

∴BC＝2BH＝120 m.

∵拖拉机的速度＝18 km/h＝5 m/s，

∴拖拉机在BC段行驶所需要的时间＝＝24(秒)，

∴学校受影响的时间为24秒.