2022-2023学年湖北省黄石市下陆区有色中学九年级（上）收心考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄石市下陆区有色中学九年级（上）收心考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知是方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于的一元二次方程为实数根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定

5. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度即的长度是米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果是关于的二次函数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 全体实数

8. 如图，抛物线与直线交于，两点，下列是关于的不等式或方程，结论正确的是(    )

A. 的解集是
B. 的解集是
C. 的解集是
D. 的解是，
 

9. 已知点，在抛物线上，且与轴的交点为和当时，则，应满足的关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 已知一元二次方程有两个实数根，，则 ______ ．
12. 函数的最大值为______ ．
13. 一花户，有长的篱笆，要围成一边靠住房墙墙长的面积为长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一下的门，设垂直于住房墙的其中一边长为，则可列方程为______．

14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
15. 抛物线的图象上有两点，，则的值为______．
16. 一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手次，则这次会议与会人数是共______人．
17. 若二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的解析式为______．
18. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是______．

三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 本小题分
    说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
    ；
    ；
    ．
21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，原方程总有两个实数根；
    若，是原方程的两根，且，求的值．
22. 本小题分
    已知抛物线．
    求这条抛物线的对称轴；
    若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的函数解析式．
23. 本小题分
    在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．
    求该二次函数的解析式；
    当时，求的最大值与最小值的差；
    若一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为和，且，求的取值范围．
24. 本小题分
    某商场销售一款工艺品，每件工艺品的进价为元，经过一段时间的销售发现，每天的销量件与每件工艺品的售价元满足一次函数关系，当每件售价为元时，每天销售件；当每件售价为元时，每天销售件．
    求与之间的函数关系式；
    设商场销售该工艺品每天获得的利润为元，试求与的函数表达式；
    既要保障商场每天的获利最大，还要尽快减少库存，问每件工艺品售价应定为多少？商场每天获得的最大利润是多少？
25. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点已知，．
    求抛物线的解析式；
    在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求此点的坐标；
    在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中，
则，
，
，
故选：．
直接把代入方程中，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：
为实数，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据计算一元二次方程根的判别式，即可进行判断．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线为：，
当时，
，
解得舍去或，
水流喷射的最远水平距离是米，
故选：．
用待定系数法求出二次函数解析式，再令算出的值，即可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】
解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：是关于的二次函数，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次函数的定义得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

8.【答案】 

【解析】解：联立与直线得：，
由函数图象知，上述方程的解为或，
而，表示抛物线的值大于直线的值，此时，或，
故选：．
联立与直线得：，由函数图象知，上述方程的解为或，进而求解．
本题考查的是二次函数与不等式组，主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解等式或不等式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，
抛物线经过和，
抛物线对称轴为直线，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口向上，由点，坐标可得抛物线对称轴，由可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴交点个数，以及，对应值的正负判断即可．
【解答】
解：由二次函数图象开口向上，得到；与轴交于负半轴，得到，
对称轴在轴右侧，且，即，
与异号，即，
，选项正确；
二次函数图象与轴有两个交点，
，即，选项错误；
原点与对称轴的对应点为，
时，，即，选项错误；
时，，
，
把代入得：，选项正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，
又，分别是一元二次方程的两个实数根，
根据韦达定理，知．
故答案为．
根据一元二次方程根与系数的关系是二次项系数、是一次项系数解答即可．
此题主要考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，解答时，注意要找对方程中的二次项系数、一次项系数及常数项．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
函数的最大值为．
故答案为：．
根据二次函数的性质，函数有最大值．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值．
 

13.【答案】 

【解析】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故答案为：．
设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
【解答】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
故答案为：且．  

15.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，
解得，
故答案为：．
由点，坐标可得抛物线对称轴，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：设这次会议与会人数是人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这次会议与会人数是共人．
故答案为：．
设这次会议与会人数是人，利用握手的总次数参会人数参会人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到故得到抛物线的解析式为．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

18.【答案】， 

【解析】解：由图象可知，关于的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，．
故答案为：，．
利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
本题考查抛物线与轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．
 

19.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
，
抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 

【解析】由抛物线顶点式求解．
由抛物线顶点式求解．
由抛物线顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

21.【答案】解：证明：
，
无论取何值，，
原方程总有两个实数根．
，是原方程的两根，
，，
，
，
代入化简可得：，
解得：． 

【解析】根据根的判别式即可求出答案．
根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：，
抛物线的对称轴是直线；
抛物线的顶点在轴上，
，
解得或，
抛物线的函数解析式为或． 

【解析】把解析式化成顶点式即可求得；
根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于的方程解方程求得的值，从而求得抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：二次函数的图象过点，，
，
解得，
此二次函数的表达式为；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
在范围内，当，函数有最大值为；当时函数有最小值，
的最大值与最小值的差为：；
与二次函数图象交点的横坐标为和，
，是的两个实数根，
整理得，
解得：，，
，
，，
解得，即的取值范围是． 

【解析】由二次函数的图象经过，两点，利用待定系数法即可求得二次函数的表达式；
求出在范围内，二次函数的最大值和最小值，进而可求得它们的差；
由题意得，整理得，解方程求得，，根据题意得到，解得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设与的函数关系式为：，
把，；，代入可得：
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意可知：，
，
；
，
，
，
，
当售价定为元时，商场每天获利最大，最大为元． 

【解析】设出一次函数解析式，将已知数据代入即可；
根据商品利润数量单件利润，列出关系式解答即可；
根据求出的函数表达式，将函数一般式化为顶点式解答即可．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
由对称性可知，直线与抛物线对称轴的交点就是点，
抛物线的对称轴是直线，由于点，则点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点；
设，则，，，
根据为等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
则，
解得：或此时点与重合，舍去，
；
当时，
则，
解得：，
，；
当时，
则，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或 

【解析】将，代入，求出、的值即可；
由对称可知，直线与对称轴的交点就是点，求出直线的关系式，进而求出其与对称轴的交点；
设，则，，，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的图象和性质以及对称最短距离，等腰三角形性质，第问运用轴对称距离最短是解题关键，第问在考虑构建等腰三角形时，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．