2022天津西青区杨柳青一中-高二上学期期中数学试题含答案

杨柳青一中2021-2022学年第一学期高二期中考试数学试卷

一、单选题（每小题5分，共45分）

1．若直线与直线垂直，则实数的值为（    ）

A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或3

2．已知椭圆 + =1（m>0）的左焦点为F1（-4,0）,则m等于（　　　）

A．2 B．3 C．4 D．9

3．如图，空间四边形中，，分别是，的中点， （    ）

A． B． C． D．

　　　　　　　第３题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第５题

4．圆与圆的位置关系是（    ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．相离

5．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（    ）

A．　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

6．过点(-3，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（    ）

A． B．或

C. D．或

7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（    ）

A． B．

C． D．

9.已知圆：与圆M：相交于A、B两点，直线l：，点P在直线l上，点Q在圆M上，①直线AB的方程为；②线段AB的长为；③的最小值是；④从P点向圆M引切线，切线长的最小值是．则说法正确的是（　　　）

Ａ．①②④　　　B．①③④　　　Ｃ．②④　　　　　D．①③　

二、填空题（小小提5分，共30分）

10．已知直线过点，且与直线平行，则的方程是＿＿＿＿

11．已知空间向量 ，，若，则实数＿＿＿＿＿

12．如图，正方体的棱长为2，是底面的中心，则向量＝＿＿＿＿＿，点O到直线的距离为________.

      第12题                                              第14题

13．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______．

14．在化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中原子位于晶胞的中心，原子均在顶点位置，原子位于棱的中点）.则图中原子连线与所成角的余弦值为______________

15．已知，直线，则直线ｌ恒过定点＿＿＿＿＿＿，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________.

三、解答题（本大题共3小题，共45分）

16．（15分）已知直线和的交点为，求：

（1）过点且与直线垂直的直线的方程；

（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为的圆的方程；

（3）从下面①②两个问题中选一个作答，

①若直线ｌ过点（1，2），且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线ｌ的方程．

②求圆心在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程．

注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分．

17．（15分）如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．

（1）试用，，表示向量；

（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．

（3）在（2）的条件下，求MN与所成角的余弦值．

18．（15分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，，，点P在棱上.

（1）求证：；

（2）若P是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若，求二面角的余弦值.

四、附加题（本校题共两个空，每个空５分，共10分）

19．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为___________；若是的中点，且正方体的表面（包括边界）上的动点满足条件，则三棱锥体积的最大值是__________．