专题2.6 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

专题2. 6 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题

【知识点梳理】

考点 1 变化率问题 ：

设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。

考点2 传染、分裂问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：

考点3 握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。

【典例分析】

【考点1  变化率问题】

【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．

（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？

【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

【变式1-2】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 ．根据题意列方程正确的是（　　）  

A．      B．

C．D．

【变式1-3】（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？

【考点2  传染、分裂问题】

【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）

A．10 B．50 C．55 D．45

【变式2-1】（2021秋•昌邑区校级期末）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮传染　 　人．

【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？

【变式2-3】（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例．

（1）求每位发病者平均每天传染多少人；

（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？

【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）

A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91

【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（　　）

A．12 B．11 C．8 D．7

【变式3-3】2021九上·淮滨月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出　     　个小分支.

【考点3  握手、比赛问题】

【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　）

A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家

【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）

A．9人 B．10人 C．12人 D．15人

【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（　　）

A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 

C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100

【变式5-2】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(　　)

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

【变式5-3】（2022·安岳开学考）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为　     　．

专题2. 6 一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

4. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
5. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
6. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题

【知识点梳理】

考点 1 变化率问题 ：

设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。

考点2 传染、分裂问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：

考点3 握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。

【典例分析】

【考点1  变化率问题】

【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．

（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？

【答案】（1） 20%（2）能超过3.4亿元

【解答】解：（1）设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝2.88，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为20%．

（2）2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），

∵3.456亿元＞3.4亿元，

∴若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能超过3.4亿元．

【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

【答案】（1）20%    （2）能实现

【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，

依题意得：700（1+x）2＝1008，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：亩产量的平均增长率为20%．

（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．

∵1209.6＞1200，

∴他们的目标能实现．

【变式1-2】（2020·合肥模拟）某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 ．根据题意列方程正确的是（　　）  

A．      B．

C．D．

【答案】D

【解答】解：根据题意列方程得：

．

故答案为：D．

【变式1-3】（2021·雨花期末）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？

【答案】（1）50%（2）38

【解答】（1）解：设市政府投资的年平均增长率为x，

根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，

整理，得：x2+3x 1.75=0，

解得x1=0.5，x2= 3.5（舍去），

答：每年市政府投资的增长率为50%

（2）解：到2021年底共建廉租房面积=9.5÷ =38（万平方米）. 

【考点2  传染、分裂问题】

【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）

A．10 B．50 C．55 D．45

【答案】C

【解答】解：设每轮传染中每人传染x人，

依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，

整理，得：x2+2x﹣120＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），

∴5+5x＝55．

故选：C．

【变式2-1】（2021秋•昌邑区校级期末）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮传染　 　人．

【答案】5

【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，

3（x+1）2＝108，

解得x1＝5，x2＝﹣8（不合题意，舍去），

故答案为：5．

【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？

【答案】10

【解答】解：设平均一名同学传染了x名同学，

根据题意得，1+x+（1+x）x＝121，

解得，x1＝10，x2＝﹣12（舍去），

答：平均一名同学传染了10名同学

【变式2-3】（2021秋•井研县期末）2019年年底以来，“新冠”疫情在全球肆虐．某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延；由于我国政府措施得当，疫情得到了有效控制．“新冠”病毒的传染性很强，需要高度重视．如某国某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染病例．

（1）求每位发病者平均每天传染多少人；

（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？

【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，

依题意得：2（1+x）2＝50，

解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．

答：每位发病者平均每天传染4人．

（2）50×（1+4）＝50×5＝250（人），

250＞200．

答：若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人

【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）

A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91

【答案】B

【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，

根据题意得：x2+x+1＝91．

故选：B．

【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，

整理，得：x2+x﹣42＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：C．

【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（　　）

A．12 B．11 C．8 D．7

【答案】A

【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：x2+x+1＝157，

即（x+13）（x﹣12）＝0，

解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）；

∴x＝12．

故选：A．

【变式3-3】2021九上·淮滨月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出　     　个小分支.

【答案】3

【解答】解：设每个支干长出x个小分支，

根据题意得1+x+x•x＝13，

整理得x2+x﹣12＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）.

即：每个支干长出3个小分支.

故答案为：3.

【考点3  握手、比赛问题】

【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，

依题意得：x（x﹣1）＝66，

整理得：x2﹣x﹣132＝0，

解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．

故选：C．

【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】A

【解答】解：设该校八年级有x个班级，

依题意得：x（x﹣1）＝28，

整理得：x2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：A．

【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　）

A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家

【答案】B

【解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，

依题意得：x（x﹣1）＝45，

整理得：x2﹣x﹣90＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），

∴参加这次交易会的公司共有10家．

故选：B．

【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）

A．9人 B．10人 C．12人 D．15人

【答案】B

【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，

依题意得：x（x﹣1）＝90，

整理得：x2﹣x﹣90＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．

故选：B．

【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（　　）

A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 

C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100

【答案】B

【解答】解：∵每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，且全班有x名学生，

∴每一位同学需送出（x﹣1）张相片．

依题意得：x（x﹣1）＝2550．

故选：B．

【变式5-2】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(　　)

A．9人 B．10人 C．11人 D．12人

【答案】B

【解答】解：设这个QQ群共有x人，

依题意有x（x-1）=90，

解得：x=-9（舍去）或x=10，

∴这个QQ群共有10人．

故答案为：B

【变式5-3】（2022·安岳开学考）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为　     　．

【答案】9

【解答】解：设有x人，则

∴（舍）

∴人数为9