专题4.2.1 平行线分线段成比例（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

这是一份专题4.2.1 平行线分线段成比例（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共26页。

 专题4.2.1 平行线分线段成比例（知识解读）
【直击考点】




【学习目标】
1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容
2.会运用平行线分线段成比例定理解决问题
3.体会转化、特殊到一般的数学思想
【知识点梳理】
考点1 平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：




图一
拓展：
1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；

2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；




图二

3）、经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。







考点2 平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.

图四 图五


（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例



【典例分析】
【考点1 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】
【典例1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【变式1-1】如图，已知直线l1∥l2∥l3，AB＝5，BC＝2，DE＝4.5，则EF的长为（　　）

A．1.8 B．2 C．2.5 D．3




【变式1-2】如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，DF＝10，则DE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【变式1-3】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　）

A． B．1 C． D．2
【典例2】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-1】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-2】如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）

A． B． C． D．1
【变式2-3】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则的值为　 　．

【考点2 定理及推论与中点有关的问题】
【典例3】如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【变式3-1】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则＝（　　）

A． B． C． D．
【变式3-2】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（　　）

A． B．2 C．3 D．4
【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED＝EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点3 利用平行线转化比例】
【典例4】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【变式4-1】如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
【变式4-2】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）

A． B． C． D．
【变式4-3】在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作平行于BC的直线分别交CD和BE的延长线于点M，N，若DE＝2，BC＝6，则MN＝　　．

【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．


【变式5-1】已知：△ABC中，AD为BC上的中线，点E在AD上，且，射线CE交AB于点F，求的值．

【变式5-2】如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．





















专题4.2.1 平行线分线段成比例（知识解读）
【直击考点】




【学习目标】
1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容
2.会运用平行线分线段成比例定理解决问题
3.体会转化、特殊到一般的数学思想
【知识点梳理】
考点1 平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：




图一
拓展：
3） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；

4） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；




图二

3）、经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。







考点2 平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.

图四 图五


（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例



【典例分析】
【考点1 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】
【典例1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
解得：DE＝，
故选：D．

【变式1-1】如图，已知直线l1∥l2∥l3，AB＝5，BC＝2，DE＝4.5，则EF的长为（　　）

A．1.8 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【解答】解：∵l1∥l2∥l3
∴＝，
∵AB＝5，BC＝2，DE＝4.5，
∴＝，
解得：EF＝1.8．
故选：A．
【变式1-2】如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，DF＝10，则DE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：AC＝DE：DF．
∵AB：BC＝2：3，DF＝10，
∴AB：AC＝2：5，
∴DE：10＝2：5，
∴DE＝4．
故选：C．
【变式1-3】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　）

A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝2，
解得：BC＝，
故选：C．

【典例2】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵DG＝2，DF＝10，＝，
∴＝，
∴AG＝4．
故选：C
【变式2-1】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝2，AB＝5，AC＝10，
∴＝，
∴AE＝4，
故选：B．
【变式2-2】如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）

A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，
∴＝＝＝，
故选：A．
【变式2-3】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则的值为　 　．

【答案】
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵＝，
∴，
∴＝．
【考点2 定理及推论与中点有关的问题】
【典例3】如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点D作DH∥BC交AE于H，

∵D是AB边的中点，
∴点H是AE的中点，
∴DH是△ABE的中位线，
∴DH＝BE，
设BE＝3x，则CE＝2x，DH＝x，
∵DH∥BC，
∴，
∴，
故选：B．
【变式3-1】如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，
则＝，
∵BE是△ABC的中线，
∴CE＝EA，
∴CH＝HD，
∵EH∥AD，
∴＝＝3，
∴＝，
故选：B．

【变式3-2】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（　　）

A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝3，
∵DF∥CE，
∴，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故选：C．

【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED＝EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：方法1：过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：

∵D为BC中点，DG∥AC，
∴G为AB的中点，∠EAC＝∠DGE，
∴DG是△ABC的中位线，
∴AC＝2DG，
∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠B＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠B+∠DEG，∠ECD＝∠ACB+∠ACE，
∴∠ACE＝∠DEG，
在△ACE和△GED中，，
∴△ACE≌△GED（AAS），
∴AE＝DG，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴DG＝AB＝AG＝BG，
∴AE＝AG，
∵DG∥AC，
∴AF：DG＝AE：GE＝1：2，
即DG＝2AF，
∴AC＝4AF，
∴＝；
方法2：过点D作DG∥AC，交EB于点G，如图所示：

∵D为BC中点，DG∥AC，
∴G为AB的中点，
∴AG＝BG，DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AC，
由方法1得：△ACE≌△GED（AAS），
∴AC＝GE，
∵AB＝AC，
∴GE＝AB，
∴BG＝AE，
∴AG＝AE，
∵DG∥AC，
∴AF是△DEG的中位线，
∴AF＝DG＝AC，
∴AF＝CF，
∴＝；
方法3：由方法2得：AB＝2AE，
设AE＝a，则AB＝AC＝2a，BE＝2a，
∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠B＝∠DCF，∠CDF＝∠DCE，
∴△CDF∽△BCE，
∴＝＝，
∴CF＝BE＝a，
∴AF＝AC﹣CF＝2a﹣a＝a，
∴＝；
解法4：如图，连接AD，过E作EM⊥CD于M，

∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵ED＝EC，EM⊥CD，
∴DM＝CM＝CD＝BD，AD∥EM，
∴＝＝，
设AB＝2a，则AE＝a，BE＝AB+AE＝3a，
∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠B＝∠DCF，∠CDF＝∠DCE，
∴△CDF∽△BCE，
∴＝＝，
∴CF＝BE＝a，
∴AF＝AC﹣CF＝2a﹣a＝a，
∴＝；
故选：B．
【考点3 利用平行线转化比例】
【典例4】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴＝＝，
∴＝＝
故选：C．

【变式4-1】如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：∵BN∥AM，＝，
∴＝，
∵DN∥CM，
∴＝＝，
故选：B．
【变式4-2】如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF；
∵DE∥BC，
∴＝＝，
＝＝，
∵EF∥AB，
∴＝，＝，
∴，
故选：C．

故答案为：．
【变式4-3】在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作平行于BC的直线分别交CD和BE的延长线于点M，N，若DE＝2，BC＝6，则MN＝　　．

【答案】6
【解答】解：∵DE∥BC，DE＝2，BC＝6，
∴AE：AC＝AD：AB＝DE：BC＝1：3．
∴CE：AC＝2：3，BD：AB＝2：3，
∵DE∥MN，
∴AN＝3，AM＝3，
∴MN＝AN+AM＝6．
故答案为：6．
【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．

【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝2，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）如图，

∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，
∴，
∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，
∴．


【变式5-1】已知：△ABC中，AD为BC上的中线，点E在AD上，且，射线CE交AB于点F，求的值．

【解答】解：过点D作DH∥FC交AB于H，
则＝＝，＝＝1，
∴＝．


【变式5-2】如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．

【解答】解：（1）∵GF∥BC，
∴＝，
∵BD＝20，＝
∴BG＝8．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．