专题22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题22.1.2  二次函数y=ax²图像和性质（知识解读）

【直击考点】

（1）  y=ax²（a≠0）的图像

（2）  y=ax²（a≠0）的图像的性质

（3）  y=ax²（a≠0）的实际应用

【学习目标】

1. 会用描点法画出二次函数的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；
2. 掌握二次函数的图像和性质，并解决简单的应用；

【知识点梳理】

考点 1    y=ax²的图像画法：

（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

考点2  y=ax²的图像的性质

小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， a 越大，抛物线的开口越小

【典例分析】

【考点1   y=ax²的图像】

【例1】（2021秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象．

．

【变式1-1】（2021春•思明区校级期中）画函数y＝的图象．

【变式1-2】在同一坐标系中画出下列函数的图象．

（1）y＝x2．

（2）y＝﹣x2．

【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，画出y＝3x2和y＝﹣x2的图象．

【例2】（2021秋•淮阴区期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-1】（2015秋•榆社县期末）在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-2】（2021秋•立山区期中）如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-3】（2021秋•惠民县期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【考点2   y=ax²的图像的性质】

【例3】（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（　　）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 

C．第二、四象限 D．第三、四象限

【变式3-1】（2021秋•衢州期末）抛物线y＝﹣x2的开口方向是（　　）

A．向上 B．向下 C．向右 D．向左

【变式3-2】（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 　　．

【变式3-3】（2021秋•海州区期末）函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　     　．

【例4】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　         　．（请用“＞”连接排序）

【变式4-1】（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　     　．

【变式4-2】（2019秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　  　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【变式4-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为　          　．

【考点3  y=ax²的实际应用】

【例5】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？

【变式5-1】（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　　．

【变式5-2】（2017秋•沧州期末）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为　　．

【变式5-3】（2021秋•宛城区校级月考）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米．

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？

专题22.1.2  二次函数y=ax²图像和性质（知识解读）

【直击考点】

（4）  y=ax²（a≠0）的图像

（5）  y=ax²（a≠0）的图像的性质

（6）  y=ax²（a≠0）的实际应用

【学习目标】

3. 会用描点法画出二次函数的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；
4. 掌握二次函数的图像和性质，并解决简单的应用；

【知识点梳理】

考点 1    y=ax²的图像画法：

（2）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

考点2  y=ax²的图像的性质

小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， a 越大，抛物线的开口越小

【典例分析】

【考点1   y=ax²的图像】

【例1】（2021秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象．

【答案】略

【解答】解：列表：

描点、连线：

．

【变式1-1】（2021春•思明区校级期中）画函数y＝的图象．

【答案】略

【解答】解：列表：

描点、连线：

【变式1-2】在同一坐标系中画出下列函数的图象．

（1）y＝x2．

（2）y＝﹣x2．

【答案】略

【解答】解：列表得：

描点、连线可得图象为：

．

【变式1-3】在同一平面直角坐标系中，画出y＝3x2和y＝﹣x2的图象．

【答案】略

【解答】解：y＝3x2和y＝﹣x2的图象如图所示．

【例2】（2021秋•淮阴区期末）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；

B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；

C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；

D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．

故选：D．

【变式2-1】（2015秋•榆社县期末）在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解答】解：∵a＜0，

∴二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向下；

一次函数y＝ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；

故选：B．

【变式2-2】（2021秋•立山区期中）如图，在同一直角坐标系中，k≠0，函数y＝kx2和y＝kx﹣2的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：∵直线y＝kx﹣2经过点（0，﹣2），

∴排除B选项，

A选项中，抛物线开口向上，k＞0，直线从左至右下降，k＜0，错误，不符合题意．

C选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右下降，k＜0，正确，符合题意．

D选项中，抛物线开口向下，k＜0，直线从左至右上升，k＞0，错误，不符合题意．

故选：C．

【变式2-3】（2021秋•惠民县期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：∵y＝﹣mx﹣m＝﹣m（x+1），

∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；

A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论矛盾，A选项不符合题意；

C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论一致，C选项符合题意；

故选：C．

【考点2   y=ax²的图像的性质】

【例3】（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝x2的图象经过的象限是（　　）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 

C．第二、四象限 D．第三、四象限

【答案】A

【解答】解：∵y＝x2，

∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），

∴抛物线经过第一，二象限．

故选：A．

【变式3-1】（2021秋•衢州期末）抛物线y＝﹣x2的开口方向是（　　）

A．向上 B．向下 C．向右 D．向左

【答案】B

【解答】解：∵y＝﹣x2中，﹣＜0，

∴抛物线开口向下，

故选：B．

【变式3-2】（2021秋•金安区校级月考）二次函数y＝2x2的图象开口方向是 　　．

【答案】向上

【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，

∴开口向上，

故答案为：向上．

【变式3-3】（2021秋•海州区期末）函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　     　．

【答案】减小

【解答】解：

∵y＝ax2（a＞0），

∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，

∴当x＜0时，y随x的增大而减小，

故答案为：减小．

【例4】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　         　．（请用“＞”连接排序）

【答案】a1＞a2＞a3＞a4

【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，

③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，

故a1＞a2＞a3＞a4．

故答案为：a1＞a2＞a3＞a4

【变式4-1】（2021秋•霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）　     　．

【答案】①③②

【解答】解：①y＝3x2，

②y＝x2，

③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，

∵3＞1＞，

∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．

故依次填：①③②．

所以图中的阴影部分的面积是8．

故答案为8．

【变式4-2】（2019秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　  　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【答案】＞

【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，

故答案为：＞．

【变式4-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为　          　．

【答案】a＞b＞d＞c

【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），

所以，a＞b＞d＞c．

【考点3  y=ax²的实际应用】

【例5】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？

【答案】（1） （2）5小时

【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），

由CD＝10m，可设D（5，b），

由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，

则B（10，b﹣3），

把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：

，

解得．

∴y＝；

（2）∵b＝﹣1，

∴拱桥顶O到CD的距离为1m，

∴＝5（小时）．

所以再持续5小时到达拱桥顶．

【变式5-1】（2021•顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　　．

【答案】8

【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，

∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，

而边长为4的正方形面积为16，

【变式5-2】（2017秋•沧州期末）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为　　．

【答案】2π

【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，

∵⊙O的半径为2，

∴图中阴影部分的面积为：π×22＝2π．

故答案为：2π．

【变式5-3】（2021秋•宛城区校级月考）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米．

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？

【答案】（1）y＝﹣x2； （2）4小时

【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2．

设D（5，b），则B（10，b﹣3），

把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：，

解得a＝﹣，b＝﹣1，

∴y＝﹣x2；

（2）∵b＝﹣1，

∴拱桥顶O到CD的距离为1，

1÷0.25＝4（小时）．

所以再持续4小时到达拱桥顶．