专题22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质（专项训练）

1．抛物线 的对称轴是（　　） 

A．直线   B．直线 C．直线   D．直线

2．若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（　　）

A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)

3．抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（　　） 

A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴

4．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　）  

A． B． C． D．

5．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　）

A．它的图象经过点（－1，－2）

B．它的图象的对称轴是直线x＝2

C．当x＜0时，y随x的增大而增大

D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0

6．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下              B．顶点坐标为（0，3）

C．对称轴为y轴         D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大

7．二次函数 ，当 时，函数值y的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（　　）

A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1

9．若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（　　）

A．  B．   C． D．

10．抛物线的开口方向是（　　）

A．向上 B．向下 C．向右 D．向左

11．已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（          ）

A．  B．  C．  D．

12．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） 

A． B．

C． D．

13．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） 

A． B．

C． D． k﹣1

14．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　     　.

15．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：　     　（填“＞”，“=”或“＜”）．

16．已知抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），则当x≤0时，y随x的增大而 　     　.

17．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（　　） 

A． B．

C． D．

18．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ， 分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（　　） 

A．4 B． C．2 D．

19．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是　          　．

34．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 ，则图中阴影部分的面积为　     　

20．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，，，…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为　     　．

21．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为 ，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 …，依次进行下去，则点 的坐标为　           　． 

专题22.1.1 二次函数y=ax²的图像和性质（专项训练）

（解析）

1．抛物线 的对称轴是（　　） 

A．直线   B．直线 C．直线   D．直线

【答案】C

【解答】解：对称轴为直线： ，

其中， ， ，

∴ ，

故答案为：C．

2．若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（　　）

A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)

【答案】A

【解答】解：∵图象经过点（1，-2），

∴a=-2，

∴y=-2x2，

AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；

C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；

D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.

故答案为：A.

3．抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（　　） 

A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴

【答案】B

【解答】解：抛物线 的开口向上，对称轴为 轴，有最低点；

抛物线 开口向下，对称轴为 轴，有最高点；

故抛物线 与 相同的性质是对称轴都是 轴.

故答案为：B.

4．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　）  

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：由二次函数 可得该二次函数的图象关于y轴对称，

∵二次函数图象过点 ，

∴点 关于y轴对称的点为 ，

∴点 必在二次函数的图象上；

故答案为：C.

5．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　）

A．它的图象经过点（－1，－2）

B．它的图象的对称轴是直线x＝2

C．当x＜0时，y随x的增大而增大

D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0

【答案】D

【解答】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；

二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意；

该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；

二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意.

故答案为：D.

6．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下              B．顶点坐标为（0，3）

C．对称轴为y轴         D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大

【答案】C

【解答】解：∵y＝3x2，

∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），

∴A、B都不符合题意，C符合题意，

∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，

∴当x＜0时，y随x的增大而减小，

∴D不符合题意，

故答案为：C．

7．二次函数 ，当 时，函数值y的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解答】解：∵ ，

∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，

当-1≤x≤0时，y随x的增大而减小，

∴当x=-1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0，

当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，

∴当x=3时，y有最大值9，当x=0时，y有最小值0，

∴当-1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，

故答案为：B．

8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（　　）

A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1

【答案】B

【解答】解：∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，

∴二次函数   的图象开口向上，

∴a-1>0，即：a>1，

故答案为：B.

9．若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（　　）

A．  B．   C． D．

【答案】B

【解答】解：由抛物线可知抛物线的对称轴为y轴，

∵抛物线经过，

∴点关于y轴的对称点也在抛物线上，

∴它也经过点．

故答案为：B．

10．抛物线的开口方向是（　　）

A．向上 B．向下 C．向右 D．向左

【答案】B

【解答】解：∵中，，

∴二次函数的图像开口向下，

故答案为：B.

11．已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（          ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，

∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，

∴y3＜y1＜y2．

故答案为：D

12．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】D

【解答】解：由一次函数 可知，一次函数的图象与 轴交于点 ，排除 ；当 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除 ；

故答案为： ．

13．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） 

A． B．

C． D． k﹣1

【答案】B

【解答】解：当a＞0时，

y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，

当a＜0时，

y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，

故答案为：A、C、D不符合题意，选项B符合题意，

故答案为：B．

14．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　     　.

【答案】减小

【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2（a＞0），

∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，

∴当x＜0时，y随x的增大而减小.

故答案为：减小.

15．若点，在抛物线上，则，的大小关系为：　     　（填“＞”，“=”或“＜”）．

【答案】＜

【解答】解：∵若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，

y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，

∵2＜8，

∴y1﹤y2．

故答案为：﹤.

16．已知抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），则当x≤0时，y随x的增大而 　     　.

【答案】减小

【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，4），

∴4＝4a，

即a＝1；

∵a＝1＞0，

∴抛物线开口向上，

∵对称轴x＝0，

∴当x≤0时，y随x的增大而减小..

故答案为：减小.

17．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】B

【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，

∴二次函数的图象是一条抛物线．

又∵ g＞0，

∴应该开口向上，

∵自变量t为非负数，

∴s为非负数．

∴图象是抛物线在第一象限的部分．

故答案为：B．

18．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ， 分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（　　） 

A．4 B． C．2 D．

【答案】B

【解答】解：如图，设直线AB交y轴于点E，

∵直线 与二次函数 交于A、B，

∴当 时， ，得 ，

∴ ，

∴ ,

∵ ，

∴CD=4 ，

由二次函数的对称性可得CE=DE=2 ，

∴D（2 ，2），

将点D的坐标代入 ，得8a=2，

解得a= ，

故答案为：B．

19．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是　          　．

【答案】 ≤a≤3

【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，

当抛物线经过（1，3）时，a＝3，

当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，

观察图象可知 ≤a≤3，

故答案为： ≤a≤3．

34．如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝2 ，则图中阴影部分的面积为　     　

【答案】π

【解答】解：∵AB=2 ，

∴BC= AB= ×2 = ，

∴点B的横坐标为 ，

代入抛物线解析式得，y=（ ）2=2，

∴OC=2，即圆的半径为2，

由图可知，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即为 ×π×22=π．

故答案为：π．

20．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，，，…，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为　     　．

【答案】4042

【解答】解：如图所示，过点B1，B2，B3分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，E

∵△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A9B10A10都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形

∴∠B1A0A1=∠B2A1A2=∠B3A2A3=45°

∴A0B1所在直线的解析式为：y=x

由，

得B1（1，1）

∴A0A1=2B1C=2

∴A1（0，2）

∴直线A1B2为：y=x+2

由，

得B2（2，4）

∴A1A2=2B2D=4

∴A2（0，6）

∴直线A2B3为：y=x+6

由，

得B3（3，9）

∴A2A3=2B3E=6

…

由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2

∴的斜边长为:2021×2=4042

故答案为：4042．

21．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为 ，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 …，依次进行下去，则点 的坐标为　           　． 

【答案】

【解答】解：∵A点坐标为（1，1），

∴直线OA为y=x，A1（ 1，1），

∵A1A2∥OA，

∴直线A1A2为y=x+2，

解 ，得 或 ，

∴A2（2，4），

∴A3（ 2，4），

∵A3A4∥OA，

∴直线A3A4为y=x+6，

解 ，得 或 ，

∴A4（3，9），A5（ 3，9）,

A6（4,16）,A7（-4,16）

A8（4,16）,A9（-4,16）…，

A2n（n+1,（n+1）2）, A7（-n-1,（n+1）2）

∴点 的坐标为 ．

故答案为： ．