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- 专题22.1.4 二次函数y=a（x-k）²+h的图像和性质（专题训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版） 试卷 0 次下载
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专题22.1.4 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）
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这是一份专题22.1.4 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版），共14页。
专题22.1.4 二次函数y=a（x-h)²+k（a≠0）图像和性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²+k（a、h、k是常数，a≠0）的图像，并熟练掌握 y=a(x-h)²+k图像有性质，并能用函数掌握二次函数 y=a(x-h)²+k的性质解决一些实际问题；
2. 掌握y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系。
【知识点梳理】
考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）与y=a（x-h）²（a≠0）的图像与性质
考点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（2） 从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【典例分析】
【考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像和性质】
【例1】（2022九下·南雄）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【变式1-1】（2021九上·海曙期末）已知抛物线 y=2(x−3)2−5 , 其对称轴是( )
A． 直线 x=−3 B．直线 x=3 C．直线 x=−5 D．直线 x=5
【变式1-2】（2021九上·肃州期末）抛物线 y=−12(x−2)2+5 的顶点坐标是 .
【变式1-3】（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【例2】（2021九上·武汉月考）已知二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k的图象上有三点A（ 2 ，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A． y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【变式2-1】（2021九上·瑶海月考）已知二次函 y=(x−1)2+ℎ ， (0，y1)，(2，y2)，(3，y3) 为其上面的点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A． y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【变式2-2】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是：y1 y2．
【变式2-3】（2021九上·温州月考）在二次函数 y=−(x+1)2+2 的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A． x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
【例3】（2021九上·瑶海月考）抛物线 y=(x+1)2−4(−2≤x≤2) ，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
A． − 3和5 B．− 4和5 C．− 4和 − 3 D．− 1和5
【变式】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【例4】（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为
（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【变式4-1】（2021九上·蜀山月考）已知二次函数 y=−(x−1)2+m ．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
…
（2）若A(﹣ 12 ，y1)，B(2，y2)，C( 10 ，y3)是该函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3之间的大小关系（直接写出结果）
【变式4-2】（2021九上·谷城期中）已知函数 y=(x+1)2−4
（1）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（2）直接回答：①当x取何值时，函数值大于0？②当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
【考点2 平移】
【例5】（2021九上·淮北月考）将抛物线 y=−2(x−1)2+3 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=−2(x+3)2−2 B．y=−2(x+3)2+8
C．y=−2(x−5)2−2 D．y=−2(x−5)2+8
【变式5-1】将抛物线y=x2-3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2-5
C．y=（x+2）2-3 D．y=（x-2）2-3
【变式5-2】抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
专题22.1.4 二次函数y=a（x-h)²+k（a≠0）图像和性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
3. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²+k（a、h、k是常数，a≠0）的图像，并熟练掌握 y=a(x-h)²+k图像有性质，并能用函数掌握二次函数 y=a(x-h)²+k的性质解决一些实际问题；
4. 掌握y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系。
【知识点梳理】
考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）与y=a（x-h）²（a≠0）的图像与性质
考点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（3） 从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【典例分析】
【考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像和性质】
【例1】（2022九下·南雄）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【变式1-1】（2021九上·海曙期末）已知抛物线 y=2(x−3)2−5 , 其对称轴是( )
B． 直线 x=−3 B．直线 x=3 C．直线 x=−5 D．直线 x=5
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
故选：B
【变式1-2】（2021九上·肃州期末）抛物线 y=−12(x−2)2+5 的顶点坐标是 .
【答案】（2，1）
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），
故填：（2，1）
【变式1-3】（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
故选：C．
【例2】（2021九上·武汉月考）已知二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k的图象上有三点A（ 2 ，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
B． y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【答案】A
【解答】解：在二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，
∵在图象上的三点A（，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3），，
∴y1、y2、y3的大小关系为y1＞y2＞y3．
故选：A．
【变式2-1】（2021九上·瑶海月考）已知二次函 y=(x−1)2+ℎ ， (0，y1)，(2，y2)，(3，y3) 为其上面的点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
B． y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【答案】A
【解答】解：在二次函数y=(x−1)2+ℎ，对称轴x＝1，
∵在图象上的三点 (0，y1)，(2，y2)，(3，y3) ，
∴y1、y2、y3的大小关系为y1＝y2＜y3
故选：A．
【变式2-2】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是：y1 y2．
【答案】＞．
【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，
∴y1＝5，y2＝2．
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【变式2-3】（2021九上·温州月考）在二次函数 y=−(x+1)2+2 的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
B． x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x≤﹣1，
故选：A．
【例3】（2021九上·瑶海月考）抛物线 y=(x+1)2−4(−2≤x≤2) ，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
B． − 3和5 B．− 4和5 C．− 4和 − 3 D．− 1和5
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5；x＝﹣1时，y有最小值，是﹣4，
故选：B
【变式】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
∴当x＝4时，a（4﹣1）2﹣4＝5，
解得a＝1，
故选：C．
【例4】（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为
（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【答案】（1） y＝x2+2x﹣3．（2）﹣4≤y＜12． （3）先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度．
【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1） 2﹣4，
将（1，0）代入，得4a﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝﹣5时，y＝12；当y＝0时，y＝﹣3；
∵当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣4≤y＜12．
（3）∵平移后的函数图象与x轴只有一个交点，
∴函数向上平移了4个单位长度，
此时，函数图象经过点（1，4），
∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数图象经过点（﹣3，4），
∵平移后的函数图象经过点（3，4），
∴再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度，
∴函数图象先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度．
【变式4-1】（2021九上·蜀山月考）已知二次函数 y=−(x−1)2+m ．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
…
（2）若A(﹣ 12 ，y1)，B(2，y2)，C( 10 ，y3)是该函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3之间的大小关系（直接写出结果）
【答案】（1）略（2）y3＞y1＞y2．
【解答】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+m得3＝﹣1+m，
解得m＝4，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4．
把x＝﹣1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝0，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝4，
把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝3，
故答案为：0，4，3．
作图如下：
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，且﹣1＞1﹣（﹣）＞2﹣1，
∴y3＞y1＞y2．
【变式4-2】（2021九上·谷城期中）已知函数 y=(x+1)2−4
（1）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（2）直接回答：①当x取何值时，函数值大于0？②当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
【答案】（1）A、B的坐标为（1，0），（﹣3，0）；6 （2）当x＜﹣3或x＞1时，函数值大于0．当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A、B的坐标为（1，0），（﹣3，0），
当x＝0时，y＝（x+1）2﹣4＝﹣3，则C（0，﹣3），
∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6．
（2）①∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣3，0），
∴当x＜﹣3或x＞1时，函数值大于0．
②∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．
【考点2 平移】
【例5】（2021九上·淮北月考）将抛物线 y=−2(x−1)2+3 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=−2(x+3)2−2 B．y=−2(x+3)2+8
C．y=−2(x−5)2−2 D．y=−2(x−5)2+8
【答案】A
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移4个单位，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先变为y＝﹣2（x+3）2+3，
再沿y轴方向向下平移5个单位抛物线y＝﹣2（x+3）2+3﹣5，即变为：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故所得抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故选：A．
【变式5-1】将抛物线y=x2-3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2-5
C．y=（x+2）2-3 D．y=（x-2）2-3
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位后解析式为y＝3（x+2）2，
故选：C．
【变式5-2】抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
【答案】（1）a=1 （2）y＝(x-8)²，交点坐标为（6，0）
【解答】（1）将B(0，4).代入y=a(x-2)2，
4=a(0-2)²，解得a=1
（2）按照“左加右减，上加下减”的规律，由该抛物线向右平移6个单位即
y=(x-2-6)²＝(x-8)²，另(x-2)2=(x-8)²，x=5,∴交点坐标为（5，9）
专题22.1.4 二次函数y=a（x-h)²+k（a≠0）图像和性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²+k（a、h、k是常数，a≠0）的图像，并熟练掌握 y=a(x-h)²+k图像有性质，并能用函数掌握二次函数 y=a(x-h)²+k的性质解决一些实际问题；
2. 掌握y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系。
【知识点梳理】
考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）与y=a（x-h）²（a≠0）的图像与性质
考点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（2） 从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【典例分析】
【考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像和性质】
【例1】（2022九下·南雄）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【变式1-1】（2021九上·海曙期末）已知抛物线 y=2(x−3)2−5 , 其对称轴是( )
A． 直线 x=−3 B．直线 x=3 C．直线 x=−5 D．直线 x=5
【变式1-2】（2021九上·肃州期末）抛物线 y=−12(x−2)2+5 的顶点坐标是 .
【变式1-3】（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【例2】（2021九上·武汉月考）已知二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k的图象上有三点A（ 2 ，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A． y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【变式2-1】（2021九上·瑶海月考）已知二次函 y=(x−1)2+ℎ ， (0，y1)，(2，y2)，(3，y3) 为其上面的点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A． y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【变式2-2】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是：y1 y2．
【变式2-3】（2021九上·温州月考）在二次函数 y=−(x+1)2+2 的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A． x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
【例3】（2021九上·瑶海月考）抛物线 y=(x+1)2−4(−2≤x≤2) ，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
A． − 3和5 B．− 4和5 C．− 4和 − 3 D．− 1和5
【变式】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【例4】（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为
（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【变式4-1】（2021九上·蜀山月考）已知二次函数 y=−(x−1)2+m ．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
…
（2）若A(﹣ 12 ，y1)，B(2，y2)，C( 10 ，y3)是该函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3之间的大小关系（直接写出结果）
【变式4-2】（2021九上·谷城期中）已知函数 y=(x+1)2−4
（1）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（2）直接回答：①当x取何值时，函数值大于0？②当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
【考点2 平移】
【例5】（2021九上·淮北月考）将抛物线 y=−2(x−1)2+3 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=−2(x+3)2−2 B．y=−2(x+3)2+8
C．y=−2(x−5)2−2 D．y=−2(x−5)2+8
【变式5-1】将抛物线y=x2-3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2-5
C．y=（x+2）2-3 D．y=（x-2）2-3
【变式5-2】抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
专题22.1.4 二次函数y=a（x-h)²+k（a≠0）图像和性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
3. 会用描点法画出二次函数 y=a(x-h)²+k（a、h、k是常数，a≠0）的图像，并熟练掌握 y=a(x-h)²+k图像有性质，并能用函数掌握二次函数 y=a(x-h)²+k的性质解决一些实际问题；
4. 掌握y=a(x-h)²+k与y=ax²之间的关系。
【知识点梳理】
考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）与y=a（x-h）²（a≠0）的图像与性质
考点2 平移
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）
（3） 从函数y=ax²平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
【典例分析】
【考点1 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像和性质】
【例1】（2022九下·南雄）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【变式1-1】（2021九上·海曙期末）已知抛物线 y=2(x−3)2−5 , 其对称轴是( )
B． 直线 x=−3 B．直线 x=3 C．直线 x=−5 D．直线 x=5
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
故选：B
【变式1-2】（2021九上·肃州期末）抛物线 y=−12(x−2)2+5 的顶点坐标是 .
【答案】（2，1）
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），
故填：（2，1）
【变式1-3】（2021九上·昌平期末）关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
故选：C．
【例2】（2021九上·武汉月考）已知二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k的图象上有三点A（ 2 ，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
B． y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【答案】A
【解答】解：在二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，
∵在图象上的三点A（，y1），B（﹣2，y2），C（5，y3），，
∴y1、y2、y3的大小关系为y1＞y2＞y3．
故选：A．
【变式2-1】（2021九上·瑶海月考）已知二次函 y=(x−1)2+ℎ ， (0，y1)，(2，y2)，(3，y3) 为其上面的点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
B． y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2
【答案】A
【解答】解：在二次函数y=(x−1)2+ℎ，对称轴x＝1，
∵在图象上的三点 (0，y1)，(2，y2)，(3，y3) ，
∴y1、y2、y3的大小关系为y1＝y2＜y3
故选：A．
【变式2-2】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是：y1 y2．
【答案】＞．
【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，
∴y1＝5，y2＝2．
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【变式2-3】（2021九上·温州月考）在二次函数 y=−(x+1)2+2 的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
B． x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x≤﹣1，
故选：A．
【例3】（2021九上·瑶海月考）抛物线 y=(x+1)2−4(−2≤x≤2) ，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（ ）
B． − 3和5 B．− 4和5 C．− 4和 − 3 D．− 1和5
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是：直线x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5；x＝﹣1时，y有最小值，是﹣4，
故选：B
【变式】（2021九上·北京月考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
∴当x＝4时，a（4﹣1）2﹣4＝5，
解得a＝1，
故选：C．
【例4】（2021九上·南京期末）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为
（－1，－4）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当－5＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.
【答案】（1） y＝x2+2x﹣3．（2）﹣4≤y＜12． （3）先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度．
【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1） 2﹣4，
将（1，0）代入，得4a﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝﹣5时，y＝12；当y＝0时，y＝﹣3；
∵当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣4≤y＜12．
（3）∵平移后的函数图象与x轴只有一个交点，
∴函数向上平移了4个单位长度，
此时，函数图象经过点（1，4），
∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴函数图象经过点（﹣3，4），
∵平移后的函数图象经过点（3，4），
∴再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度，
∴函数图象先向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向右平移6个单位长度．
【变式4-1】（2021九上·蜀山月考）已知二次函数 y=−(x−1)2+m ．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
…
（2）若A(﹣ 12 ，y1)，B(2，y2)，C( 10 ，y3)是该函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3之间的大小关系（直接写出结果）
【答案】（1）略（2）y3＞y1＞y2．
【解答】解：（1）将（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+m得3＝﹣1+m，
解得m＝4，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4．
把x＝﹣1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝0，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝4，
把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝3，
故答案为：0，4，3．
作图如下：
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，且﹣1＞1﹣（﹣）＞2﹣1，
∴y3＞y1＞y2．
【变式4-2】（2021九上·谷城期中）已知函数 y=(x+1)2−4
（1）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点C，求△ABC的面积；
（2）直接回答：①当x取何值时，函数值大于0？②当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
【答案】（1）A、B的坐标为（1，0），（﹣3，0）；6 （2）当x＜﹣3或x＞1时，函数值大于0．当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A、B的坐标为（1，0），（﹣3，0），
当x＝0时，y＝（x+1）2﹣4＝﹣3，则C（0，﹣3），
∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6．
（2）①∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣3，0），
∴当x＜﹣3或x＞1时，函数值大于0．
②∵函数y＝（x+1）2﹣4图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．
【考点2 平移】
【例5】（2021九上·淮北月考）将抛物线 y=−2(x−1)2+3 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A．y=−2(x+3)2−2 B．y=−2(x+3)2+8
C．y=−2(x−5)2−2 D．y=−2(x−5)2+8
【答案】A
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移4个单位，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先变为y＝﹣2（x+3）2+3，
再沿y轴方向向下平移5个单位抛物线y＝﹣2（x+3）2+3﹣5，即变为：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故所得抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故选：A．
【变式5-1】将抛物线y=x2-3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2-5
C．y=（x+2）2-3 D．y=（x-2）2-3
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位后解析式为y＝3（x+2）2，
故选：C．
【变式5-2】抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
【答案】（1）a=1 （2）y＝(x-8)²，交点坐标为（6，0）
【解答】（1）将B(0，4).代入y=a(x-2)2，
4=a(0-2)²，解得a=1
（2）按照“左加右减，上加下减”的规律，由该抛物线向右平移6个单位即
y=(x-2-6)²＝(x-8)²，另(x-2)2=(x-8)²，x=5,∴交点坐标为（5，9）
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