专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

这是一份专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版），共19页。

专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）
【直击考点】

【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【知识点梳理】
考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系

1. 顶点式化成一般式
2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
3. 一般式化成顶点式

．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【典例分析】
【考点1 一般式y=ax²+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h)²+k顶点式】
【例1】抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是（　　）
A．(2,1) B．(2,5) C．(−2,1) D．(−2,−5)
【变式1-1】将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（　　）
A．y=(x−4)2+1 B．y=(x−4)2−1
C．y=(x−2)2−1 D．y=(x−2)2+1
【变式1-2】把y=2x2+8x+5配方成y=2(x- h)2 +k的形式后，h和k对应的值分别是（　　）
A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3
【变式1-3】抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，-5)

【考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像的画法】
【例2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　；
（2）抛物线与x轴交点坐标为 　 　；
（3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）当y＜0时，x的取值范围是　 　；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　．
【变式2-1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的顶点坐标．

【变式2-2】已知二次函数y=x2-2x-3.

（1）求函数图象的顶点坐标，与x轴和y轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接回答：当x满足　 　时，y＜0；当-1＜x＜2时，y的范围是　 　.

【变式2-3】在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
−1
0
m
…

（1）求这个二次函数的解析式及m的值；
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）；
（3）当y<3时，则x的取值范围是　 　．

【考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质】
【例3】对于二次函数y＝x2− 4x − 1的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（ − 2， − 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
【变式3-1】二次函数y＝x（x+2）图象的对称轴是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．y轴
【变式3-2】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．a>0 B．当x>1时，y随x的增大而增大
C．c<0 D．x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根
【变式3-3】若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　)

A．当 10 B．当 x=2 时, y 有最大值
C．图像经过点 (4,−3) D．当 y<−3 时， x<0
【例4】若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当3＜x2＜x1时，下列判断正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
【变式4-1】函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
【变式4-2】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y2>y1
【变式4-3】已知二次函数 y=−12x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1
【考点4 待定系数法求二次函数解析式】
【例5】已知抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A(−1,0).求该抛物线的解析式和顶点坐标.



【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．







【变式5-2】二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．







【变式5-3】若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2），求此二次函数解析式．










专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）
【直击考点】

【学习目标】
4. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
5. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
6. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【知识点梳理】
考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系

顶点式化成一般式
4. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
5. 一般式化成顶点式

．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
【典例分析】
【考点1 一般式y=ax²+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h)²+k顶点式】
【例1】抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是（　　）
A．(2,1) B．(2,5) C．(−2,1) D．(−2,−5)
【答案】A
【解答】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1
∴抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是 (2,1)
故答案为：A.
【变式1-1】将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（　　）
A．y=(x−4)2+1 B．y=(x−4)2−1
C．y=(x−2)2−1 D．y=(x−2)2+1
【答案】D
【解答】解：y=x2−4x+4+1=(x−2)2+1，
故答案为：D．
【变式1-2】把y=2x2+8x+5配方成y=2(x- h)2 +k的形式后，h和k对应的值分别是（　　）
A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3
【答案】A
【解答】解： y=2x2+8x+5，
=2（x2+4x+52），
=2（x2+4x+4+52-4），
=2（x+2）2-3，
∴h=-2，k=-3.
故答案为：A.
【变式1-3】抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标为（　　）
A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，-5)
【答案】C
【解答】解：y=x2-2x-4=（x-1）2-5．
∴点M（1，-5）．
∴点N（-1，5）．
故答案为：C．
【考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像的画法】
【例2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．

（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　；
（2）抛物线与x轴交点坐标为 　 　；
（3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（4）当y＜0时，x的取值范围是　 　；
（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　．
【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1
（2）（1，0）或（3，0）
（3）如图所示
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
（4）1 （5）﹣1＜y＜3
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，
该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；
（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足 1 故答案是： 1 （5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．
故答案是：﹣1＜y＜3．
【变式2-1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的顶点坐标．

【答案】先描点，再将这些点用光滑的曲线连接起来可得函数的图象，如图所示：

将二次函数 y=x2−2x−1 化成顶点式为 y=(x−1)2−2 ，
则它的顶点坐标为 (1,−2) ．

【变式2-2】已知二次函数y=x2-2x-3.

（1）求函数图象的顶点坐标，与x轴和y轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接回答：当x满足　 　时，y＜0；当-1＜x＜2时，y的范围是　 　.
【答案】（1） y=(x−1)2−4；顶点坐标为 (1,−4). x=−1或x=3如图略（2））-1＜x＜3；-4≤y＜0
【解答】（1）解： ∵y=(x−1)2−4顶点坐标为 (1,−4). x=−1或x=3，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,−3),与x轴的交点坐标为 (−1,0),(3,0).
图象如图所示：

（2）-1＜x＜3；-4≤y＜0
【变式2-3】在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
−1
0
m
…

（1）求这个二次函数的解析式及m的值；
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）；
（3）当y<3时，则x的取值范围是　 　．
【答案】（1）y=x2－4x+3，m=3 (2)略 （3） 0＜x＜4．
【解答】（1）把点（0，3）、（1，0）、（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，
得： c=3a+b+c=09a+3b+c=0 ，解得： a=1b=−4c=3 ，
∴这个二次函数的解析式是y=x2－4x+3；
当x=4时，m=42－4×4+3=3
（2）二次函数的图象如图所示：

（3）0＜x＜4


【考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质】
【例3】对于二次函数y＝x2− 4x − 1的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2
C．顶点坐标为（ − 2， − 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小
【答案】B
【解答】解：∵y=x2-4x-1=（x-2）2-5，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-5），当x≥2时，y随x增大而增大，
∴ACD错误，B正确.
故答案为：B.
【变式3-1】二次函数y＝x（x+2）图象的对称轴是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．y轴
【答案】A
【解答】解：y=x(x+2)=x2+2x=(x+1)2−1
∴该二次函数图象的对称轴为直线 x=−1
故答案为：A.
【变式3-2】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．a>0 B．当x>1时，y随x的增大而增大
C．c<0 D．x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根
【答案】D
【解答】解：根据二次函数的性质，抛物线开口向下，a＜0，选项A错误；
当x＞1时，y随x的增大而减小，选项B错误；
当x=0时，y=c，二次函数与抛物线交于y轴的正半轴，即c＞0，选项C错误；
∵二次函数与x轴的一个交点为（-1,0），对称轴为x=1
∴二次函数与x轴的另外一个交点为（3,0）
故答案为：D.
【变式3-3】若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　)

A．当 10 B．当 x=2 时, y 有最大值
C．图像经过点 (4,−3) D．当 y<−3 时， x<0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线的开口向下，
A、当1＜x＜3时，y＞0，故A不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线121+3=2，当x=2时y有最大值，故B不符合题意；
C、∵抛物线与y轴的交点为（0，-3），对称轴为直线x=2，
∴（0，-3）关于对称轴对称的点的坐标为（4，-3），故C不符合题意；
D、当y＜-3时，x＜0或x＞4，故D符合题意；
故答案为：D.
【例4】若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当3＜x2＜x1时，下列判断正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
【答案】B
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣b2a＝﹣−42×(−1)＝﹣2，
∵3＜x2＜x1，两点都在对称轴右侧，a＜0，
∴在对称轴右侧侧y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【变式4-1】函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
【答案】B
【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=−−2−2=−1 ，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2，
∴y1＞y2，
故答案为：B.
【变式4-2】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y2>y1
【答案】A
【解答】解：抛物线y=x2−2x−3，则开口向上，对称轴为x=1，
由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，
A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）到对称轴的距离分别为3,2,0，
所以y1>y2>y3，
故答案为：A
【变式4-3】已知二次函数 y=−12x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1
【答案】D
【解答】解：∵y=−12x2+bx+3 ，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1.
故答案为：D.
【例5】已知抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A(−1,0).求该抛物线的解析式和顶点坐标.
【答案】y=x2−2x−3；顶点坐标（1，-4）
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A(−1,0)，
∴把点A坐标代入解析式得(−1)2+b×(−1)−3=0，
解得：b=-2，
∴抛物线解析式为：y=x2−2x−3，
把抛物线配方得y=(x2−2x+1)−3−1=(x−1)2−4，
抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．
【答案】y=12−2+1=0，顶点的坐标为(1,0)．
【解答】解：∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4)；
∴n=19+3m+n=4，
解得：m=−2n=1，
∴y=x2−2x+1
∴对称轴为直线x=−−22×1=1，
∴y=12−2+1=0，
∴顶点的坐标为(1,0)．
【变式5-2】二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．
【答案】y=x2−x−2
【解答】解：由题意得：设 y=a(x+1)(x−2) ，
点C（0，﹣2）代入：
－2=a(0+1)(0−2) ，
∴a＝1，
∴y=(x+1)(x−2) ，
即 y=x2−x−2 ．
【变式5-3】若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2），求此二次函数解析式．
【答案】y=x2-4x+5
【解答】解： 根据二次函数的顶点坐标，
设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1
将点（1,2）的坐标代入
a=1
∴y=x2-4x+4+1=x2-4x+5