专题22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）（专题训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（人教版）

专题22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）

（专项训练）

1．（2021秋•昌邑区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6

2．（2021秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3

3．（2021秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（　　）

A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5

4．（2021秋•江岸区期中）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；

（2）直接写出y的最大值为 　　．

5．（2022•庐江县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣7（a≠0）经过点A（4，﹣2），顶点为B．

（1）求a的值及顶点B的坐标；

（2）求直线AB的函数表达式；

（3）若P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（﹣1≤m≤4），△PAB的面积为S，求S的最大值．

6．（2021秋•蓬安县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AB的方程；

（3）若P为线段AB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于M，求线段PM长的最大值．

7．（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．（2020秋•香洲区校级期中）如图所示，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x﹣4交于B、D两点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）求D点坐标；

（3）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

9．（2021秋•崆峒区期末）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．

专题22.2.2 二次函数与一元二次方程（2）

（专项训练）

1．（2021秋•昌邑区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6

【答案】C

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），

∵抛物线开口向下，

∴当﹣2＜x＜6时，y＞0，

故选：C．

2．（2021秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3

【答案】D

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），

由图象可知，y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

故选：D．

3．（2021秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，则b的值是（　　）

A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5

【答案】C

【解答】解：原二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点C（1，4），

翻折后点C对应的点为D（1，﹣4），

∴当直线y＝b与新函数的图象有3个公共点，直线y＝b过点D，

此时b＝﹣4．

故选：C．

4．（2021秋•江岸区期中）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式和点B的坐标；

（2）直接写出y的最大值为 　　．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3， B（3，0）（2）4

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+3经过点A（﹣1，0），

∴a﹣2+3＝0，

解得：a＝﹣1，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，

解得：x1＝3，x2＝﹣1，

∴B（3，0）；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴当x＝1时，y最大值＝4．

故答案为：4．

5．（2022•庐江县一模）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣7（a≠0）经过点A（4，﹣2），顶点为B．

（1）求a的值及顶点B的坐标；

（2）求直线AB的函数表达式；

（3）若P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（﹣1≤m≤4），△PAB的面积为S，求S的最大值．

【答案】（1）a＝ B（﹣1，﹣7）；（2）y＝x﹣6；（3）

【解答】解：（1）将点A（4，﹣2）代入y＝ax2+2ax+a﹣7得，

16a+8a+a﹣7＝﹣2，

解得a＝，

∴y＝x2+x﹣，

∴x＝﹣＝﹣1，y＝﹣7，

∴B（﹣1，﹣7）；

（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，，

∴直线AB的函数解析式为：y＝x﹣6；

（3）如图，过点P作PC∥y轴，交AB于C，

则P（m，m2+m﹣），C（m，m﹣6），

∴PC＝m﹣6﹣（m2+m﹣）＝﹣++，

∴S＝×（﹣++）×5＝﹣m2+m+2，

当m＝﹣＝时，S最大值为﹣×++2＝．

6．（2021秋•蓬安县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AB的方程；

（3）若P为线段AB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于M，求线段PM长的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）y＝x+3（3）当t＝﹣时，PM取最大值，最大值为．

【解答】解：（1）在y＝kx+3中，令x＝0得y＝3，

∴B（0，3），

把B（0，3），C（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：

，解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得﹣x2﹣2x+3＝0，

解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），

将A（﹣3，0）代入y＝kx+3得：

﹣3k+3＝0，解得k＝1，

∴直线AB的方程为：y＝x+3；

（3）设P（t，t+3）（﹣3≤t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），

∴PM＝（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，

∵﹣1＜0，

∴当t＝﹣时，PM取最大值，最大值为．

7．（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）① 当x＝时，PM最大值为：  ② （2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．

【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，

故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），

将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），

①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；

②存在，理由：

PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；

PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；

MC2＝（x﹣3+3）2+x2；

（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，

解得：x＝0或2（舍去0），

故x＝2，故点P（2，﹣3）；

（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，

解得：x＝0或3±（舍去0和3+），

故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4，

故点P（3﹣，2﹣4）．

综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．

8．（2020秋•香洲区校级期中）如图所示，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x﹣4交于B、D两点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）求D点坐标；

（3）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，-9）（2）D（﹣1，﹣5） （3）P（，﹣）．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

故﹣8a＝﹣8，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣8；

（2）联立y＝x﹣4和y＝x2﹣2x﹣8并解得：x＝4或﹣1（舍去4），

故点D（﹣1，﹣5）；

（3）过点P作y轴的平行线交BD于点H，

设点P（x，x2﹣2x﹣8），则点H（x，x﹣4）

△BDP面积＝PH×（xB﹣xD）＝×（x﹣4﹣x2+2x+8）×（4+1）＝（﹣x2+3x+4），

∵0，故面积有最大值为：；此时，x＝，

即点P（，﹣）．

9．（2021秋•崆峒区期末）如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．

【答案】（1）A（﹣4，0），B（2，0） （2）12 （3）当x＝﹣2时，△ACP最大面积4

【解答】解：设y＝0，则0＝﹣x2﹣x+4

∴x1＝﹣4，x2＝2

∴A（﹣4，0），B（2，0）

（2）令x＝0，可得y＝4

∴C（0，4）

∴AB＝6，CO＝4

∴S△ABC＝×6×4＝12

（3）如图：作PD⊥AO交AC于D

设AC解析式y＝kx+b

∴

解得：

∴AC解析式y＝x+4

设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）

∴PD＝（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+2）2+2

∴S△ACP＝PD×4＝﹣（t+2）2+4

∴当x＝﹣2时，△ACP最大面积4