专题21.6 一元二次方程解法-配方法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.6 一元二次方程解法-配方法（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共10页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题21.6  一元二次方程解法-配方法（知识讲解）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法在比较大小中二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．　【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：．【答案】，，【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解.解：            ∴ ，【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键.举一反三：【变式1】 用配方法解方程：．【答案】，．【分析】利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程即可．解：x2﹣x=﹣，x2﹣x+=﹣+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=，x2=1．【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【变式2】 用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.【答案】x1＝＋1，x2＝1－解：根据配方法解方程即可．移项得，2x2-4x=1，将二次项系数化为1得，，配方得，x2-2x+1=+1，，∴，∴．类型二、配方法在代数中的应用2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：求证：不论取任何实数，代数式的值总是正数当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．【答案】(1)证明见分析；（2）4.【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．（2）根据（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得出m取时代数式的值最小，最小值是4．解：（1）；∴不论取任何实数，代数式的值总是正数．由（1）得：时，此代数式的值最小，这个最小值是：．【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式1】 我们可以用以下方法求代数式的最小值．∵∴∴当时，有最小值．请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．【答案】(1)-2   (2)当时，有最大值   (3)证明见分析【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；（3）由题意可得，进而问题可求解．(1) 解：由题意得：，∵∴∴当时，有最小值．(2)  由题意得：，∵∴∴当时，有最大值．(3)  由题意得：==；∵∴，∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．类型三、配方法在几何中的应用3．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是________；（2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围；（3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值.【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0【分析】(1)如图，作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，证明△OBQ≌△PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案； (2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，继而根据偶次方的非负性即可求得答案 .解：(1)如图，作PM⊥x轴于A，QN⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，∴∠P+∠POA=90°，由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP，∴∠QOB+∠POA=90°，∴∠QOB=∠P，∴△OBQ≌△PAO(AAS)，∴OB=PA，QB=OA，∵点P的坐标为(1，3)，∴OB=PA=3，QB=OA=1，∴点Q的坐标为(-3，1)； (2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)， 而M在第四象限， 所以，解得a>3， 即a的范围为a>3；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，∴                       ，∵，∴当a=4时，代数式的最小值为0.【点拨】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.举一反三：【变式1】 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知：y＝x2﹣4x+7，求证：y是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．【答案】（1）见分析；（2）当t＝时，S有最大值．【分析】（1）根据例题中的配方求最值；（2）根据三角形的面积公式求出S和t的关系式，再利用配方求最值．解：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3．∵（x﹣2）2≥0．∴y≥0+3＝3．∴y＞0．∴y是正数．（2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）∴S＝PC•CQ．＝（6﹣2t）•t＝﹣t2+3t＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+．∵（t﹣）2≥0．∴当t＝时，S有最大值．【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．【变式2】 已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值．【答案】a=4，b=2．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可解：a2+b2-8a-4b+20=0，a2-8a+16+b2-4b+4=0，(a-4)2+(b-2)2=0 a-4=0，b-2=0，a=4，b=2．【点拨】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．