专题21.9 一元二次方程解法-公式法（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.9 一元二次方程解法-公式法（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共17页。试卷主要包含了单选题，根的判别式，根据一元二次方程求参数等内容，欢迎下载使用。
专题21.9 一元二次方程解法-公式法（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、解一元二次方程--公式法1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（       ）．A．，， B．，，C．，， D．，，2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（       ）A． B．C． D．3．小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）∴（第三步）∴（第四步）小明解答过程开始出错的步骤是（       ）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步4．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝类型二、根的判别式5．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无实数根6．下列一元二次方程中没有实数根的是（       ）A． B．C． D．7．如果关于x的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是（       ）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根8．关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（　　）A．当a＝时，方程的两根互为相反数B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根，则a≠0且a≤D．若方程有实数根，则a≤类型三、根据一元二次方程求参数9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ）A． B．且 C． D．且10．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图像经过第（       ）A．二、三、四象限 B．一、三、四象限C．一、二、四象限 D．一、二、三象限11．亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（       ）A．1 B．0 C．7 D．912．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（       ）A． B． C．或 D．或二、填空题类型一、解一元二次方程--公式法13．已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为______．14．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为___________．15．已知，当x取__________时．16．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是______．类型二、根的判别式17．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________．18．方程的根的判别式______.19．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____.20．若ac＜0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是__________．类型三、根据一元二次方程求参数21．若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形．22．关于x的方程有实数根，则a的取值范围是_______．23．已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为______24．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．三、解答题25．用公式法解下列方程：（1）；          （2）；（3）．          （4）．    26．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）；          （2）；          （3）．      27．已知关于的方程．(1)试判断方程根的情况；(2)若=2是方程的一个根，求的值；(3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．     28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．          参考答案1．C【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值解：化为一般形式为： ，，故选C【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2．D【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．解：A. 的两根为，故选项A不符合题意；B. 的两根为，故选项B不符合题意；C. 的两根为，故选项C不符合题意；D. 的两根为，故选项D符合题意；故选：D．【点拨】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．3．C【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解判断即可．解：∵x2﹣4x＝2，即x2﹣4x-2=0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）∴＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0（第二步），∴（第三步），∴（第四步）∴小明解答过程开始出错的步骤是第三步，故选C．【点拨】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．4．C【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．解：判别式故选：C【点拨】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．5．C【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.解：∵2x2﹣3x＝3，∴2x2﹣3x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，∴有两个不相等的实数根，故选：C．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.6．D【分析】通过计算方程根的判别式，满足即可得到结论．解：A、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B、，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；C、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；D、，方程无实数根，故本选项符合题意；故选D．【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．（1）当，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当，方程有两个相等的两个实数根；（3）当时，方程无实数根．7．C【分析】根据方程只有一个实数根，可得：，或且判别式，从而得到，得到方程，再利用根的判别式解答，即可求解．解：∵关于x的方程只有一个实数根，，即，或且判别式，∵判别式，不符合题意舍去，∴方程可变形为，∵判别式，∴一元二次方程有两个相等实数根．故选：C【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意，得到，或且判别式是解题的关键．8．D【分析】先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据a的取值范围解答即可．解：若a≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∴△=（2a-1）2-4a2=-4a+1≥0，∴a≠0且a≤，即A错误；若a=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．综上所述，当a≤时方程有实数根.故选D．【点拨】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．9．D【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可．解：关于的一元二次方程有实数根，△且，解得：且，故选：D．【点拨】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得出不等式组的解．10．A【分析】先根据一元二次方程无实数根，利用判别式求出m的取值范围，然后判断一次函数经过的象限即可．解：由已知得：，解得，∵一次函数中，，∴该一次函数图像在第二、三、四象限，故选A．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据函数解析式判断函数经过的象限，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．11．D【分析】设常数项为c，利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可．解：设常数项为c，根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，解得c≤9，所以c的最大值为9．故选：D．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．D【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；解：把代入方程，得，即，所以，解得或，故选D．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．13．【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得．解：根据题意知x2-3+(-x)=0，整理，得：x2-x-3=0，∵，，，∴，∴x=，故答案为：．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．-5或或【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值．解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长，当a=2时，即x=2，代入，得：，解得：k=-5，或k=1（舍），当a=3时，即x=3，代入，得：，解得：k=，或k=，故答案为：-5或或．【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论．15．1或【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．解：当时，即，解得或．故答案为：1或【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．16．16【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．解：分为两种情况：情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解，代入4到方程中，求得，此时方程的两个解为4和8，对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去；情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根，∴△=12²-4k=0，解得k=36，此时方程的两个解为6和6，对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16，故答案为：16．【点拨】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要分类讨论，不要漏解．17．且【分析】根据一元二次方程的定义可知，，再根据一元二次方程的根的判别式大于0，解不等式即可求得实数k的取值范围．解：关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，，，且解得且故答案为：且【点拨】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系: 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程没有实数根．18．156【分析】先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．解：方程化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣6x﹣15=0，故△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×（﹣15）=156．故答案为156．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解答此类题目时要先把方程化为一元二次方程的一般形式，再进行解答．19．且．解：∵，.∴一元二次方程为.∵一元二次方程有实数根，∴且.【点拨】（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.20．有两个不相等的实数根【分析】先判断出△的符号，再根据一元二次方程的根与△的关系即可得出结论．解：∵△＝b2−4ac，ac＜0，∴−4ac＞0，∴△＝b2−4ac＞0，∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故答案为有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根是解答此题的关键．21．等腰【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行求解可以得到或，由此判定即可．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴即解得或，∴这个三角形为等腰三角形．故答案为：等腰．【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．22．【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．解：∵关于x的方程有实数根，当时，即时，原方程为有实数根；当时，即时，则，即，解得：，综上，a的取值范围是，故答案为：．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．23．直三角形【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，整理可得到c2+b2=a2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形．解：∵方程(a+b)x2-2cx+a=b有两个相等的实数根，∴△=0，∴(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，∴c2-(a2-b2)=0，∴c2-a2+b2=0，∴c2+b2=a2，∴△ABC的形状为直角三角形，故答案为：直角三角形．【点拨】此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．24．k≥1．解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．故答案为k≥1．【点拨】根的判别式．25．（1），；（2）；（3）；（4）没有实数根．【分析】求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可．解：（1） 故原方程有两个不同实数根；或 （2） 故原方程有两个相等的实根；（3） 故原方程有两个不同的实数根；（4） 故原方程无实数根．【点拨】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键．26．（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个相等的实数根．【分析】（1）将原方程变形为，根据根的判别公式进行解答即可得；（2）将原方程变形为，根据根的判别公式进行解答即可得；（3）将原方程变形为：，根据根的判别公式进行解答即可得．解：（1），，∵，，，∴，∴原方程有两个不相等的实数根；（2），，∵，，，∴，∴原方程没有实数根；（3），，，∵，，，∴∴原方程有两个相等的实数根．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：一般地，式子叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母表示，即，①当时一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时一元二次方程有两个相等的实数根；③当时一元二次方程无实数根．27．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）；（3）存在，【分析】(1)计算的值，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若则方程无解；(2)根据题意，将=2代入方程中，解出的值即可；(3) 先解一元二次方程的根，再将其代入方程，即可解出的值．解：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2)将=2代入得，(3)解得，当时，当时，此时方程无解，综上所述，存在使得使方程与方程有一个相同的根．【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．28．（1）m＜2；（2）m=1．【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+16＞0，然后解不等式即可；（2）先利用m的范围得到m=0或m=1，再分别求出m=0和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．解：（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+16．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．即﹣8m+16>0． 解得 m＜2；（2）∵m＜2，且 m 为非负整数，∴m=0 或 m=1，当 m=0 时，原方程为 x2-2x-3=0，解得 x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)， 当 m=1 时，原方程为 x2﹣2=0，解得 x1=，x2=﹣ ， 综上所述，m=1．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．