专题21.10 一元二次方程解法-公式法（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.10 一元二次方程解法-公式法（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共30页。试卷主要包含了单选题，根的判别式，根据一元二次方程求参数，公式法在几何中的应用等内容，欢迎下载使用。
专题21.10 一元二次方程解法-公式法（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、解一元二次方程--公式法
1．方程的根是（     ）
A． B． C． D．
2．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（       ）
A．－1 B．－1或 C． D．1或
3．对于方程，如果方程实根的个数恰为个，则值等于（          ）
A．1 B．2 C． D．2.5
4．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（　　）
A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣
类型二、根的判别式
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．已知关于x的一元二次方程，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（       ）

A． 有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（       ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
类型三、根据一元二次方程求参数
9．若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（       ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（       ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
11．关于的方程有实数根，则的取值范围是 （     ）
A．且 B．且 C． D．
12．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
类型四、公式法在几何中的应用
13．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
14．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接、，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（     ）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
15．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）

A．cm B．cm C．cm或cm D． cm
16．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当A′E⊥AB时，AE的长是（　　）

A．2 B．2 C． D．1+
二、填空题
类型一、解一元二次方程--公式法
17．方程的解为________．
18．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
19．已知则的值=___________
20．若分式的值为，则的值等于_______.
类型二、根的判别式
21．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
22．一元二次方程的根的判别式的值是______．
23．当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为____．
24．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是_____．
类型三、根据一元二次方程求参数
25．若一元二次方程没有实数根，则常数项c的最小整数值为_______．
26．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+c=0有两个相等的实数根，则﹣c+1的值等于_______．
27．已知关于x的方程无实数根，则k满足的条件是______．
28．已知关于的不等式组无解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则整数的值可以是______
类型四、公式法在几何中的应用
29．如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则的值是___．

30．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若，，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b－a＝4时，_______．

31．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．

32．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___

三、解答题
33．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：
下列方程的解法对不对？为什么？
解：或．
解得或．
所以，．
同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．
小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：
取与的平均值，即将与相加再除以2．
那么原方程可化为
左边用平方差公式可化为．
再移项，开平方可得
请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：
关于x的方程的求根公式（此时）．




34．解下列方程：
（1）x2﹣6x+8＝﹣1； （2）2x2﹣4x﹣3＝0．




35．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．






36．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；
(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．







37．如图，在矩形ABCD中，AD=10，点E是AD上一点，且AE=m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称△BFE，延长EF交直线BC于点G.

(1)求证：EG=BG；
(2)若m=2．
①当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长．











参考答案：
1．D
【分析】
观察原方程，可用公式法求解.
解：∵，，，
∴，
∴；
故选：D.
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.
2．B
【分析】
分x>0和0x0时，有，解得， (舍去)，
xNP=，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、正方形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握翻折变换的性质．
15．D
【分析】
根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G，

由平移的性质知AC∥A'C'，A'B'∥CD，
∴四边形A'HCG是平行四边形，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
同理，△HCB′也是等腰直角三角形，
设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，
∴x•（2﹣x）＝，
∴x＝（cm）．
即AA′＝（cm）．
故选：D．
【点拨】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键.
16．B
【分析】
先延长AB，D'A'交于点G，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设AE＝x＝A'E，则BE＝2−x，GE＝4−x，A'G＝2x，在Rt△A'GE中，依据勾股定理可得A'E2＋GE2＝A'G2，进而得出方程，解方程即可．
解：如图所示，延长AB，D'A'交于点G，
∵A'E⊥AB，∠EA'C＝∠A＝120°，
∴∠BGC＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BGC＝∠BCG＝30°，
∴BC＝BG＝BA，
设AE＝x＝A'E，则BE＝AB﹣AE＝2﹣x，A'G＝2x，
∴GE＝BG+BE＝2+2﹣x＝4﹣x，
∵Rt△A'GE中，A'E2+GE2＝A'G2，
∴x2+（4﹣x）2＝（2x）2，
解得：x＝﹣2+2，（负值已舍去）
∴AE＝2﹣2，
故选B．

【点拨】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．
17．
【分析】
利用平方差公式进行去分母，再利用整式方程的解法进行求解即可，注意要检验；
解：
方程两边都乘（x-2）（x+2），得：x（x+2）+6（x-2）=0，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：当时，（x+2）（x-2）≠0，
当时，（x+2）（x-2）≠0，
∴是原方程的解．
【点拨】本题主要考查解分式方程，解答的关键是注意符号的变化，并且最后要进行检验．
18．﹣3≤x≤且x≠．
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
解：若代数式有意义，
必有，
解①得
解②移项得
两边平方得整理得
解得
③
∴解集为﹣3≤x≤且x≠．
故答案为：﹣3≤x≤且x≠．
【点拨】本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
19．或
【分析】
依题意解后，分a=b与进行讨论即可．
解：依题意得a,b是方程的解，
解得：，
当时，a+b=，
当时，a+b=，
当时，，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键．
20．2
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解：根据题意:x2-x-2=0,且x2+2x+1≠0
解x2-x-2=0，解得x=2或x=-1．
当x=2时，分母x2+2x+1=9≠0，分式的值为0；
当x=-1时，分母x2+2x+1=0，分式没有意义．
所以x=2．故填2.
21．有两个不相等的实数根
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查根的判别式以及配方法，只要涉及到一元二次方程根的情况，就要用到根的判别式，将根的判别式先写出来，如果含有参数，则可利用配方法将多项式配成完全平方的形式，再进行分析.
22．13
【分析】
根据△=b2-4ac计算可得答案．
解：∵a=-1，b=3，c=1，
∴△=32-4×(-1)×1=13，
故答案为：13．
【点拨】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b2-4ac）是解题关键．
23．有两个不相等的实数根
【分析】
由b+c=5可得出c=5-b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△=（b-6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b-6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根．
解：∵b+c=5，
∴c=5-b．
△=b2-4×3×（-c）=b2+12c=b2-12b+60=（b-6）2+24．
∵（b-6）2≥0，
∴（b-6）2+24＞0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
24．有两个不相等的实数根
【分析】
根据第二象限坐标符号特点，从而确定a、c的符号，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况．
解：



∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为有两个不相等的实数根.
【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
25．3
【分析】
由方程没有实数根可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围，取其内的最小整数即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴△=，
解得： ，c的最小整数值是3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有实数根是解题的关键．
26．1
【分析】
根据“关于x的一元二次方程ax2-2x+c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
解：根据题意得：
△，
解得：，
∵方程ax2-2x+c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以a得：，
则．
故答案为1．
【点拨】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．
27．
【分析】
一元二次方程无实数根的条件是，依此列不等式求出的范围即可．
解：∵该一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程无解的条件，解题关键是根据无解的条件列出不等式求解．
28．3，4．
【分析】
先利用不等式组的解集情况可确定m≥3，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝42－4m≥0，解得m≤4且m≠0，所以m的范围为3≤m≤4，然后找出此范围内的整数即可．
解： ，
解不等式①，得x＞m，
解不等式②，得x＜3，
∵关于x的不等式组无解，
∴m≥3，
∵关于y的一元二次方程有两个实数根，
∴△＝42－4m≥0，且m≠0，
解得m≤4且m≠0，
∴3≤m≤4，
∴符合条件的整数m为3，4．
故答案为：3，4．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解一元一次不等式组．熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
29．
【分析】
等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平形四边形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得，求出和之间的关系即可得出结论．
解：如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平行四边形，
∴等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积，
由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为，由图（2）可知：平行四边形的底边长为，高为，
∴，
∴，
∴
解得：或（舍去），
∴的值是．
故答案为：

【点拨】本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四边形的面积公式．解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等．
30．##
【分析】
设AM=x，根据列一元二次方程，求出x，得出AM=BN=，从而求出MN的长，即m-n的长
解：由题意得：AB=b-a=4，
设AM=x，则BM=4-x，
由，可得： ，
解得：，（舍去）       
则AM=，同理可得BN=，
所以AB=AN+NM+MB=AN+NM+NM+MB-MN=AM+NB-MN
所以MN=m-n=AM+BN-4=2AM-4=2()-4=
故答案为
【点拨】本题考查了数轴上两点的距离和一元二次方程，以新定义的形式给出，解题的关键是理解题意，灵活应用线段的和差关系．
31．
【分析】
如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
解：如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数
则大正方形的面积为
小正方形的面积为
设
则



又，即

解得或（不符题意，舍去）
将代入得：
两边同除以得：
令
则
解得或（不符题意，舍去）
即的值为
故答案为：．

【点拨】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键．
32．6
【分析】
由全等可知：AH＝DE，BH＝BG＋HG，由直角三角形可得，列出方程即可解决问题
解：由全等可知：AH＝BG，BH＝BG＋HG=AH+HG，
四边形EFGH是正方形，
，
在中
设 ，则，
，
即，
解得：（舍去），
，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
33．
【分析】
根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式，再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可．
解：∵
∴
∴
取x与的平均值，即将x与相加再除以2，即
那么原方程可化为：
左边用平方差公式可化为：
再移项可得：   

开平方可得： ．
【点拨】本题考查了新型定义题型解一元二次方程，读懂题干意思，获取正确的解题步骤是解题的关键．
34．（1）x1＝x2＝3；（2）x1＝，x2＝．
【分析】
（1）先移项，合并后根据完全平方公式进行变形，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣6x+8＝﹣1，
x2﹣6x+8+1＝0，
x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝±0，
∴x1＝x2＝3；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
2x2﹣4x＝3，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝，
x1＝，x2＝．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
35．（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；
（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．
解：（1）∵关于的方程有两个实数根，
∴，解得，；
（2）由题意得，
，
∵为整数，且为正整数，
∴或，
又∵
∴．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
36．(1)证明见解析 (2)﹣1（答案不唯一）
【分析】
（1）由题意知，判断其与0的关系，即可得出结论；
（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．
解：(1)
证明：由题意知
∵（m+2）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；
(2)
解：由（1）知，△＝（m+2）2，
∴x，
∴，，
∵方程有一根小于2，
∴﹣m＜2，
∴m＞﹣2，
∵m为整数，
∴满足条件的m的一个值为﹣1．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根．
37．(1)点G是与点C重合，见分析； (2)①见分析，②
【分析】
（1）欲证明EG=BG，只要证明∠EBG=∠BEG即可；（2）①如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，构建方程求出x，即可判断；
②由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，则，推出，设AB=k，BD=4k，则DF=3k，在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，构建方程，可得结论；
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∵△ABE与△FBE关于BE对称，
∴∠AEB=∠BEF，
∴∠EBG=∠BEF，
∴EG=BG；
(2)
解：①点G与C重合；
理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，

∴EH=AB=6．AE=BH=2，
设BG=EG=x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，
∴x2=62+（x-2）2，
∴x=10，
∵BC=AD=10，BG=10，
∴点G与C重合；
②如图2中，

由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，
∵，
∴ ，
∴设AB=k，BD=4k，则DF=3k，
在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，
∴82=22+（3k）2，∴ （负根已经舍去），
∴AB=；
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题．