专题22.2 二次函数（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.2 二次函数（基础篇）（专项练习）

一、单选题

知识点一、二次函数的判断

1．下列各式中，是的二次函数的是（       ）

A． B．

C． D．

2．线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（       ）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系

C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系

3．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（       ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系

C．反比例函数关系 D．二次函数关系

4．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

知识点二、二次函数的参数

5．若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（       ）

A．3 B． C．2 D．2或3

6．已知是关于的二次函数，则的值为（       ）

A． B． C．或 D．

7．设A(−2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=−x2-2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(          )

A． > > B． > >  C． > >  D． >>

8．若抛物线y=x2-x-2经过点A（3，a），则a的值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

知识点三、二次函数的解析式

9．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　）

A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x

C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2

10．在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（        ）

A． B． 

C．  D．

12．如图，在中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（       ）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系

二、填空题

知识点一、二次函数的判断

13．给出下列函数：①；②；③；④.其中是二次函数的有______，若把它写成的形式，则______，______，______.

14．某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式_____________，它______(填“是”或“不是”)二次函数．

15．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．

16．把函数化成的形式为________．

知识点二、二次函数的参数

17．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．

18．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____．

19．当常数m≠______时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m=___时，这个函数是一次函数．

20．二次函数的图象经过原点，则__________．

知识点三、二次函数的解析式

21．如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．

22．若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________．

23．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为_______厘米．

24．在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________．

三、解答题

25．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？

．

26．一个二次函数．

（1）求k的值．

（2）求当x=3时，y的值？

27．已知函数．

（1）若这个函数是一次函数，求的值

（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．

28．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：

（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP＝______，AQ＝______；

（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；

（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形，那么是否存在某一时间t，使四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

参考答案

1．C

【分析】

根据二次函数的定义依次判断．

解：A、不是二次函数，不符合题意；

B、，不是二次函数，不符合题意；

C、，是二次函数，符合题意；

D、，不是二次函数，不符合题意；

故选：C．

【点拨】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．

2．C

【分析】

根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．

解：依题意：AP=t，BP=5-t,

故y=4t，S=（5-t）2

故选择：C

【点拨】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．

3．D

【分析】

设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．

解：设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，

由题意得：，

这是关于一个二次函数．

故选：D．

【点拨】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．

4．D

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

解：A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点拨】本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

5．C

【分析】

根据二次函数的定义列方程计算即可；

解：∵是关于x的二次函数，

∴且，

∴，且，

∴；

故选C．

【点拨】本题主要考查了二次函数的定义、一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．

6．B

【分析】

根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；

解：∵是关于的二次函数，

∴，

解得：；

故选B．

【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．

7．A

【分析】

把点的坐标分别代入可求得的值，之后比较大小便可

解：因为，是抛物线上的三点；所以：=2；；

所以

故答案为A选项

【点拨】本题主要考查抛物线上点坐标之间的x或y对应的值的大小比较，把具体的x或y代入求值比大小即可

8．B

【分析】

将A点坐标代入抛物线解析式y=x2-x-2即可求得a的值

解：将A点坐标x=3代入抛物线解析式y=x2-x-2，

得：a=32-3-2=4．

故选B．

【点拨】本题考查了给出函数解析式求点的坐标的方法，代入已知量即可求得未知量，理解二次函数的定义是解题关键．

9．D

【分析】

2020年人均收入y = 2018年人均收入×(1+年人均收入平均增长率为x) 2，把相关数值代入即可．

解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为:

y＝30000（1+x）2

故选： D．

【点拨】本题主要考查由实际问题抽象出二次函数的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)2 =增长后的量．

10．C

【分析】

根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．

解：设剩下部分的面积为y，则：

y=-x2+4（0＜x＜2），

故选：C．

【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．

11．A

【分析】

先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．

解：圆的面积公式是，

原来的圆的面积=，

挖去的圆的面积=，

∴圆环面积．

故选：A．

【点拨】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式．

12．D

【分析】

先根据题意求出，，则，即，再由直角三角形的面积公式即可得到，再根据一次函数与二次函数的定义即可判断．

解：由题意得：，，

∴，即

∵∠C=90°，

∴，即，

∴y与t，S与t满足的函数关系分别是一次函数和二次函数关系，

故选D．

【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键在于能够准确根据题意求出y与t，S与t满足的函数关系式．

13．     ④          1     0

【分析】

根据二次函数的概念：逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数

解：①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；

②，是一次函数，也不满足要求；

③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；

④是二次函数

所以二次函数只有④

其中

故答案为 ④                1        0

【点拨】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.

14．     y＝x2－     是

解：设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，所以共握手x(x−1) 次，所以y＝x(x−1)＝x2－，是二次函数．

故答案为y＝x2－，是．

【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手一次．

15．②④

解：根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．

解：①y=5x-5为一次函数；

②y=3x2-1为二次函数；

③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；

④y=2x2-2x+1为二次函数；

⑤y=函数式为分式，不是二次函数．

故答案为②④．

16．

【分析】

把函数右边相乘展开合并成形式即可.

解：，则.

【点拨】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的关键.

17．2019

【分析】

先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．

解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，

∴m2-m=1，

∴-3m2+3m+2022

=-3（m2-m）+2022

=-3+2022

=2019．

故答案为：2019．

【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．

18．-1

【分析】

若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；

解：由题意得：，

解得：m=-1，

故答案为：-1．

【点拨】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．

19．     4，-2     4

【分析】

根据二次函数的定义可得当时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当且时，这个函数是一次函数．

解：由函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数，得

m2﹣2m﹣8≠0．

解得m≠4，m≠﹣2，

由y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是一次函数，得

，

解得m=4，

故答案为：4，﹣2；4．

【点拨】本题考查了二次函数的定义求参数，熟知相关定义是解本题的关键．

20．3

【分析】

根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．

解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，

得，整理得，解得，

∵，

∴，

∴．

故答案为：3．

【点拨】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．

21．y=-+48

【分析】

先求出，进而即可得到答案．

解：由题意得：，

∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48．

故答案是：y=-+48．

【点拨】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．

22．

【分析】

正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．

解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，

∴表面积．

故答案为：．

【点拨】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．

23．6

【分析】

设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．

解：设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得

18=9k，解得：k=2，

∴y=2x2，

当y=72时，72=2x2，

∴x=6，

故答案为：6．

【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

24．y=(60+2x)(40+2x)  

解：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，

由矩形的面积公式得

y＝(60＋2x)(40＋2x)．

故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．

【点拨】本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．

25．和是二次函数

【分析】

根据二次函数的定义逐一判断即可．

解：是关于的二次函数；

不是二次函数；

是一次函数，不是二次函数；

是关于的二次函数，

故和是二次函数．

【点拨】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．

26．（1）k=2；（2）14

【分析】

（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；

（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可．

解：（1）依题意有，

解得：k=2，

∴k的值为2；

（2）把k=2代入函数解析式中得：，

当x=3时，y=14，

∴y的值为14．

【点拨】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．

27．（1）；（2）

【分析】

（1）根据一次函数的定义即可解决问题；

（2）根据二次函数的定义即可解决问题；

解：（1）由题意得，解得；

（2）由题意得，，解得且．

【点拨】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．

28．（1）2t，；（2）；（3）存在，t＝4时，四边形是菱形．

【分析】

（1）根据∠A＝60°，AB＝12cm，得出AC的长，进而得出AP＝2t，．

（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP＝2t，AH＝t，得出，从而求得S与t的函数关系式；

（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ＝PC，则可得出求得t即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，

∴AC＝6，

∴由题意知：AP＝2t，

故答案为：

（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．

∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，

∴∠B＝30°，

∴∠HPA＝30°，

∵AP＝2t，AH＝t，

∴

∴

（3）当t＝4时，四边形PQP′C是菱形，理由如下：

证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，

∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝AP＝t，

∴QC＝AM，

由对折可得：

当PC＝PQ时，四边形是菱形，

CM＝MQ＝AQ＝AC＝2，

当t＝4时，四边形是菱形．

【点拨】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，列二次函数关系式，菱形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．