专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

知识点一、二次函数的判断

1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（　　）

①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；

②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；

③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；

④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　）

A．y是x的二次函数                B．二次项系数是﹣10           

  C．一次项是100           D．常数项是20000

3．下列函数关系中，是二次函数的是（　　）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长c与边长a之间的关系

D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系

4．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A．y=a+bx+c B．x2+y-2=0 C．y2-ax=-2 D．-y2+1=0

知识点二、二次函数的参数

5．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　）

A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1

6．当函数 是二次函数时，的取值为（   ）

A． B． C． D．

7．若y=（m＋1）是二次函数，则m=   （     ）

A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对

8．下列结论正确的是（　   ）

A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数

C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数

知识点三、二次函数的解析式

9．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（       ）

A． B．

C． D．

10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　）

A． B．

C． D．

11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　）

A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

B．正方形周长与边长之间的关系

C．正方形面积和正方形边长之间的关系

D．圆的周长与半径之间的关系

12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（       ）

A．y＝-10 x2-560x+7350 B．y＝-10 x2+560x-7350

C．y＝-10 x2+350x D．y＝-10 x2+350x-7350

二、填空题

知识点一、二次函数的判断

13．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___

14．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______(其中x、t为自变量).

15．下列各式：；其中是的二次函数的有________（只填序号）

16．二次函数y＝3x2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．

知识点二、二次函数的参数

17．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．

18．如果函数是二次函数，那么m=____．

19．当m____________________________时，函数是二次函数．

20．点是二次函数图像上一点，则的值为__________

知识点三、二次函数的解析式

21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______．

22．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______．

23．将二次函数化成的形式为__________．

24．二次函数的一般形式是________．

三、解答题

25．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.

(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．

(2)若这个函数是一次函数，求m的值．

(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？

26．已知函数是关于的二次函数，求不等式的解集．

27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：．

（1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？

（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？

参考答案

1．C

解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．

2．C

【分析】

先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可.

解：∵y=（500﹣10x）（40+x）

=-10x2+100x+20000，

∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000，

∴A、B、D正确，C错误.

故选C.

【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可.

3．D

【分析】

根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．

解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；

B、t=，当s≠0时，是反比例函数，错误；

C、C=3a，是正比例函数，错误；

D、S=πR2，是二次函数，正确．

故选D．

【点拨】本题考查二次函数的定义．

4．B

解：利用二次函数的定义，可知：

A.y=a+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；

B.x2+y-2=0可变为y= +2，是二次函数，故此选项正确；

C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；

D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；

故选B．

5．A

【分析】

利用二次函数定义进行解答即可．

解：由题意得：a﹣1≠0，

解得：a≠1，

故选：A．

【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键．

6．D

【分析】

根据二次函数的定义去列式求解计算即可．

解：∵函数 是二次函数，

∴a-1≠0，=2，

∴a≠1，，

∴，

故选D．

【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．

7．B

【分析】

令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．

解：由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；

解得m=7或-1；m≠-1，

∴m=7，

故选：B．

【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．

8．B

【分析】

根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题．

解：A、应强调a是常数，a≠0，错误；

B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；

C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；

D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．

故选B．

【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．

9．C

【分析】

由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．

解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，

矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．

故选：C．

【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．

10．B

【分析】

商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．

解：每件的利润为（x-21），

∴y=（x-21）（350-10x）

=-10x2+560x-7350．

故选B．

【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．

11．C

【分析】

利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．

解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；

B、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；

C、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型；

D、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型．

故选C．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析．

12．B

解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x-21）（350－10x）=－10x2＋560x－7350，故选B.

13．          -2x ,     1

【分析】

函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项

∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1.

故答案是：; -2x;1.

【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

14．①④

【分析】

一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．

解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数；

②y＝2x，是一次函数；

③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数；

④m＝3－t－t2，是二次函数.

故填①④．

【点拨】本题考查二次函数的定义．

一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．

判断一个函数是二次函数需要注意三点：

(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式；

(2)自变量的最高次数为2；

(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0．

15．②⑤⑥

【分析】

根据二次函数的定义与一般形式即可求解．

解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．

故答案是：②，⑤，⑥．

【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．

16．     3     0

【分析】

根据二次函数的定义解答即可．

解：二次函数y＝3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．

故答案是：3；0．

【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．

17．

【分析】

由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．

解：由题意得

解得

∴函数的本源函数是．

故答案为：．

【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．

18．2．

【分析】

直接利用二次函数的定义得出m的值．

解：∵函数是二次函数，

∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0，

解得：m1＝2，m2＝−1，

∵m＋1≠0，

∴m≠−1，

故m＝2．

故答案为：2．

【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．

19．不等于和3

【分析】

我们一般把形如(为常数)的函数称之为二次函数，其中

二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.

解：根据二次函数的定义可得：，

即：，

∴，且，

即当不等于和3时，原函数为二次函数，

故答案为：不等于和3.

【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

20．6

【分析】

把点代入即可求得值，将变形，代入即可．

解：∵点是二次函数图像上，

∴则．

∴

故答案为：6．

【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．

21．m=2n2−n

【分析】

图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数．

解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），

第二层的正方形个数为（4×1＋1），

第三层的正方形个数为（4×2＋1），

……

第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]，

第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为：

1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1]

＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1

＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1）

＝n＋4

＝n＋2n（n−1）

＝2n2−n．

即：m=2n2−n．

故答案为：m=2n2−n

【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．

22．##

【分析】

由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案．

解：∵正方形的边长是，且

∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm

∴矩形的面积为：

故答案为：

【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．

23．

【分析】

利用配方法整理即可得解．

解：，

所以．

故答案为．

【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：为常数)；

(2)顶点式：；

(3)交点式(与轴)：．

24．

【分析】

直接利用乘法运算法则化成一般式．

解：y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12，

故答案为y＝−8x2＋20x＋12．

【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．

25．(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能

试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；

（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；

（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．

解：(1)∵这个函数是二次函数，

∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，

∴m≠0且m≠1.

(2)∵这个函数是一次函数，

∴∴m＝0.

(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，

∴不可能是正比例函数．

26．且．

【分析】

首先利用二次函数的定义得出k不能取的值，进而解不等式得出答案.

解：∵函数是关于的二次函数，

∴，

解得：，

，

解得：，

故不等式的解集为：且．

【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键.

27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．

【分析】

（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得；

（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得．

解：（1）根据题意列出函数关系式如下：

当时，，

解得，．

∵要抢占市场份额

∴．

答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．

（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量．

依据题意得，

当时，，解得，．

∵要继续保持扩大销售量的战略

∴

答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．

【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量．