专题22.10 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.10 二次函数的图象与性质

（知识讲解）

【学习目标】

1.     会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；
2.     熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；

3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．

【要点梳理】

要点一、函数与函数的图象与性质

1.函数的图象与性质

2.函数的图象与性质

特别说明：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

2.性质：

要点二、二次函数的平移

1.平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

特别说明：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

【典型例题】

1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.

(1)；     (2)；    (3).

【答案】(1)开口向下，顶点为，对称轴为直线；(2)开口向上，顶点为，对称轴为直线；(3)开口向下，顶点为(1，1)，对称轴为直线.

【分析】

（1）由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标；

（2）由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标；

（3）由a的符号可确定其开口方向，利用顶点式可求得其对称轴和顶点坐标.

解：(1)∵a=-5＜0，∴的图象开口向下，顶点为，对称轴为直线；

(2) ∵a=3＞0，∴的图象开口向上，顶点为，对称轴为直线；

(3) ∵a=-3＜0，∴的图象开口向下，顶点为(1，1)，对称轴为直线.

【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．

举一反三：

【变式1】对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（       ）

A．开口向上 B．经过原点

C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质判断即可．

解：在二次函数中，

∵，

∴图像开口向下，故A错误；

令，则，

∴图像不经过原点，故B错误；

二次函数的对称轴为直线，故C错误；

二次函数的顶点坐标为，

∴顶点在x轴上，故D正确．

故选：D．

【点拨】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．

【变式2】抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．

【答案】     下     直线x＝1     （1，2）

【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案

解：∵-3<0，

∴抛物线的开口向下，

∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，

∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），

故答案为：下，直线x＝1，（1，2）

【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．

2．已知函数.

（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；

（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？

【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）；（2）图象与y轴交于（0,-6）；（3）得当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（4）由顶点坐标，得当时，y有最小值，最小值是-8.

【分析】

（1）根据二次函数性质，即可得到答案；

（2）令y=0，x=0，分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标；

（3）根据二次函数的性质，即可得解；

（4）根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案.

解：（1）由函数，

∵，，，

∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）.

（2）令，即，

解得，.

∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）.

令，即，

∴图象与y轴交于（0,-6）.

（3）由二次函数的性质，得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.

（4）由顶点坐标，得：当时，y有最小值，最小值是-8.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，并正确求出与坐标轴的交点坐标.

举一反三：

【变式1】对于抛物线，下列说法正确的是（　　）

A．抛物线开口向上

B．当时，y随x增大而减小

C．函数最小值为﹣2

D．顶点坐标为（1，﹣2）

【答案】B

【分析】根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可．

解：抛物线解析式可知，

A、由于，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；

B、抛物线对称轴为，结合其开口方向向下，可知当时，y随x增大而减小，选项说法正确，符合题意；

C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；

D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题．

【变式2】二次函数（h、k均为常数）的图象经过A（－2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是___________．

【答案】

【分析】首先判定出二次函数开口向上，对称轴为，然后根据二次函数的增减性求解即可．

解：∵二次函数（h、k均为常数），

∵，

∴二次函数开口向上，对称轴为，

∵图象经过A（－2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，

由y2＜y1＜y3可得，点A离对称轴比点B离对称轴远，点C离对称轴比点A离对称轴远，

∴，解得：．

故答案为：．

【点拨】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．

3、把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．

(1)直接写出抛物线的函数关系式：________________；

(2)动点能否在抛物线上？请说明理由．

【答案】(1)（或）(2)不在，理由见分析

【分析】

（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；

（2）令y=6，可得方程，根据方程有无实数解，即可判断

(1)解：根据的平移的方式得抛物线的函数关系式为：（或）；

(2)解：令y=6，可得方程，

即：，显然方程无实数解，

故P点不在抛物线上．

【点拨】本题考查了函数图象的平移的规律以及构造一元二次方程来判断动点是否在抛物线上的知识．掌握平移中图象“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（       ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

解：∵抛物线的顶点坐标为（2，1），

∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）

∴所得抛物线解析式是．

故选：A．

【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．

【变式2】将抛物线沿直线方向移动个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的解析式是__________．

【答案】

【分析】设抛物线沿直线方向移动个单位长度后顶点坐标为（t，3t），再求出平移后的顶点坐标，最后求出平移后的函数关系式．

解：设抛物线沿直线方向移动个单位长度后顶点坐标为（t，3t），

∴，

解得：t=1或t=-1（舍去），

∴平移后的顶点坐标为（1，3），

∴移动后抛物线的解析式是．

故答案为：．

【点拨】本题考查二次函数的图象变换及一次函数的图像，解题的关键是正确理解图象变换的条件，本题属于基础题型．

4、已知二次函数的图像经过两点

(1)求二次函数的解析式：

(2)将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴

【答案】(1)

(2)，二次函数图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线

【分析】

（1）将两点坐标代入解析式，解得的值，表达二次函数的解析式；

（2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，顶点坐标为，对称轴为直线．

(1)解：将，代入

有

解得

∴二次函数的解析式为．

(2)解：

∴

∴，二次函数图像开口向上；顶点坐标为；对称轴为直线．

【点拨】本题考查了二次函数的不同表达方式与函数图像．解题的关键在于正确表示解析式的形式．

举一反三：

【变式1】已知一抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同，可得，再由顶点坐标为（-1，2021），即可求解．

解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相同且顶点坐标为（-1，2021），

∴该抛物线对应的函数表达式为．

故选：D

【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

【变式2】抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式是___________．

【答案】y=-(x－1)2－3

【分析】抛物线的顶点坐标为（1，3)，关于 x轴对称的抛物线顶点坐标为(1，-3)，且开口向 下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．

解：∵的顶点坐标为（1，3），

∴其关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，-3），开口向下，

∴所求抛物线的解析式为：y=-(x－1)2－3．

故答案为：y=-(x－1)2－3．

【点拨】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．

5、已知二次函数（是实数）．

(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？

(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．

【答案】(1)对的，理由见分析(2)见分析

【分析】

（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；

（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论．

(1)解：设顶点坐标为（x，y）

∵已知二次函数（是实数），

∴x=2m，y=3-4m，

∴2x+y=3，

即y=-2x+3，

∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，

故小明的说法是对的．

(2)证明：点，都在该二次函数图象上，

∴对称轴为直线 ，

∴ ，

∴a=1，

∴点P坐标为（-4，c）

代入，得

∴c≤15．

【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（       ）

A．无论x取何实数，y的值都小于0

B．该抛物线的顶点始终在直线上

C．当时，y随x的增大而增大，则

D．该抛物线上有两点，，若，，则

【答案】C

【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．

解：A．，当时，，当时， ，故错误；

B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；

C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；

D．抛物线上有两点，，若，，，     点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．

故选C．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

【变式2】下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．

【答案】①②④

【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．

解：当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象

该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确

对于

当时，

即该函数的图象一定经过点，结论②正确

由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小

则结论③错误

的顶点坐标为

对于二次函数

当时，

即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确

综上，所有正确的结论序号是①②④

故答案为：①②④．

【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．

6、若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．

（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．

（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．

（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a＝－1，b＝4，(0，4)；（2）y＝x2－4；（3）存在，(2，0)或(－2，0)．

【分析】

(1)由题意即可求得a，b的值，根据表达式即可得到顶点坐标；

(2)利用原二次函数图象上的点关于x轴对称的点的特点“横坐标相同，纵坐标互为相反数”就可以解答．

(3)假设存在并设出其坐标(x，y)，根据易得，分x的值为2与－2两种情况讨论，进而可得答案．

解：(1)由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，可知b＝4．

∵函数的图象经过点A(1，3)，

∴3＝a＋4，解得：

故该二次函数的表达式为，顶点D的坐标为(0，4)．

(2)由题意可知，

二次函数图象上的点关于x轴对称的点的特点“横坐标相同，纵坐标互为相反数”，

故将原二次函数中的y用代替，得到

整理得：．

(3)存在．假设存在点B（x，y），使得：，

∴OD·＝2×OD×1，

解得：．

①当x＝2时，则；

②当x＝－2时，则．

∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)．

【点拨】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求法，二次函数的对称性，分类思想的运用，综合性较强，熟练掌握二次函数的图形性质是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（       ）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1

【答案】B

【分析】根据函数解析式可得抛物线顶点在直线y=-x上，结合图象求解．

解：∵y=（x-m）2-m，

∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），

∴抛物线顶点在直线y=﹣x上，

如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，

∵四边形OABC为正方形，

∴AB=BC=2，

∴点B坐标为（2，2），

将（2，2）代入y=（x-m）2-m得2=（2-m）2-m，

解得m=或m=（不符合题意，舍去）．

如图，当抛物线经过点A时，m取最小值，

将（0，2）代入y=（x-m）2-m得2=m2-m，

解得m=﹣1或m=2（不符合题意，舍去）．

故选：B．

【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为________．

【答案】

【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可．

解：设AB交x轴于C

∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，

∴A（2，1），

∵过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，

∴B的横坐标为2，OC=2

把x=2代入得y=-3，

∴B（2，-3），

∴AB=1+3=4，

．

故答案为：4．

【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．