专题22.31 二次函数与一元二次方程（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题22.31 二次函数与一元二次方程（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共74页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题22.31 二次函数与一元二次方程（培优篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
1．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx－2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（       ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
2．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，则b的取值范围是（       ）

A． B． C． D．
3．已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
类型二：由函数值求自变量的值
4．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）
A． B． C． D．2
5．将函数在轴下方的图像沿轴向上翻折，在轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为（       ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
6．如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
7．根据下列表格对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.02
0.01
0.03
0.45
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（        ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
类型四：图象法解一元二次不等式
10．抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列各式中：①②③④其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知函数y＝|ax2﹣2x﹣a|，当﹣1≤x≤1时，y≤2，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a0 B．0a≤1 C．﹣1≤a≤1 D．﹣2a2
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc＞0；
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；
④≥2．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
13．已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．抛物线y＝-x2+ax+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的方程-x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．6≤t＜7 B．t＜7 C．-2≤t＜6 D．-2＜t≤7
15．对于二次函数y＝x2﹣4x＋3，当自变量x满足a≤x＜3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为（       ）
A．﹣1＜a≤2 B．1＜a≤3 C．1＜a＜2 D．1＜a≤2
类型六：根据交点确定不等式的解集
16．已知关于x的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式的解集是（       ）
A．或 B．或
C．或或 D．或
17．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（     ）

①不等式的解集为或；
②；
③一元二次方程的两个根分别为，；
④．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
18．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（       ）
A． B． C．或 D．
类型七：抛物线与x轴交点问题
19．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如：、都是“整点”，抛物线与轴交于、两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
20．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点，已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
21．已知抛物线的对称轴是直线， x与y的部分对应值如下表：
x

0
t
y
m

n
当m＞3时，有下列5个结论：①；②；③若，则；④抛物线与x轴的交点横坐标分别为0和；⑤关于x的方程的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有（       ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，将向右平移4个单位，得到抛物线，过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
23．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c．

其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
24．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
类型九：求抛物线与x轴截线长
25．已知二次函数过点和点，交轴于，两点，交轴于点，则：①；②无论取何值，此二次函数图象截轴所得的线段长度必大于2；③若，则．以上说法正确的是（       ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
26．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
28．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
29．已知抛物线（其中a>0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若△ABC为等腰三角形，则a的值是________________．
30．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点A(，)，与x轴交于点B，当时，自变量x的取值范围是___________．

类型二：由函数值求自变量的值
31．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．
32．二次函数（，、、为常数）中的与的部分对应值如下表：

－1
0
3



3
3

其中时，则下列结论一定正确的是_________（填序号即可）
①；②；③是方程的一个根；④不等式的解集为．
33．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”，，计算=______________________．若恰有三个不相等的实数根，记，则k的取值范围是 _______________________．
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
34．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4
m﹣2
m﹣
m
m﹣
m﹣2
m﹣4
…
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是________ 　．
35．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若为函数图象上的两点，则y1＜y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个．其中正确的有___．

36．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是_____．
类型四：图象法解一元二次不等式
37．已知：直线经过抛物线的顶点，则该抛物线的函数表达式是______，不等式的解集是______．
38．如图，二次函数的图象与轴交于点,与轴的一个交点为,点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过两点,根据图象,则满足不等式的的取值范围是_____________

39．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．

类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
40．若不等式对恒成立则x的取值范围是______．
41．二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________．
42．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______．
类型六：根据交点确定不等式的解集
43．若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为_____．
44．已知关于x的二次函数y1＝x2﹣2x与一次函数y2＝x+4，若y1＞y2，则x的取值范围是_____．
45．对于一个函数，当自变量取时，函数值等于，我们称为这个函数的“二合点”．如果二次函数有两个相异的二合点，，且，则的取值范围是________．
类型七：抛物线与x轴交点问题
46．下列关于二次函数（a，m为常数，）的结论：
①当时，其图象与x轴无交点；
②其图象上有两点，其中，，；
③无论m取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；
④若，当时，其图象与y轴交点在和之间．其中正确的结论是____（填写序号）．
47．若二次函数（a，m，b均为常数，）的图像与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是____________．
48．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 _____

类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
49．已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为______．
50．二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过(1，m)，且mc＜0，下列结论：①c＞0；②a＜﹣；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有_______．（填序号即可）
51．若抛物线y＝x2－2x＋k与直线y＝x－1在0≤x≤2范围内只有一个交点，则k的取值范围是__．
类型九：求抛物线与x轴截线长
52．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．
其中正确的结论是_____（填写序号）．
53．已知抛物线在x轴上截得的线段长为4个单位，且过（1，3）（2，4）两点，则 =________．
54．公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线（单位：m）的一部分，则水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为________m．

三、解答题
55．如图，等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，直角边，分别在轴和轴上，点的坐标为，且平行于轴．

(1)求直线的解析式；
(2)求过，两点的抛物线的解析式；
(3)抛物线与轴的另一个交点为，试判定与的大小关系；
(4)若点是抛物线上的动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标．





56．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)点在该二次函数图象上；
①当时，求m的值，
②当时，该二次函数有最小值2，请直接写出m的取值范围．




57．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：；
（2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标；
②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．





58．已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A
(1)若a＞0
①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；
②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；
(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；
(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.


59．已知二次函数（为常数，且）．
(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2)若点，在函数图像上，比较与的大小；
(3)当时，，直接写出的取值范围．






60．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．







61．已知二次函数的图象经过，两点．
(1)求分别以，两点为顶点的二次函数表达式；
(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；
(3)设是该函数图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数图象，写出a的取值范围．



62．二次函数的对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围．



63．抛物线与x轴的交点分别为，．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若，求此抛物线的解析式．





参考答案
1．B
【分析】
先分别求出A、B、C的坐标，然后证明直线经过点C，再分当k＞0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过B、C，当k＜0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过A、C，当直线与抛物线只有一个交点C时，三种情况讨论求解即可．
解：设原抛物线与x轴交于A、B，交y轴于C ，
对于，令，则，令，则，
解得，或，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-2），
对于y＝kx－2，令时，，
∴直线经过点C，
∴当k＞0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过B、C，
∴，
解得；
当k＜0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过A、C，
∴，
解得；
当直线与抛物线只有一个交点C时，联立，
∴，
∴，
解得，
综上所述，k=±1或k=2，
故选B．

【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
2．A
【分析】
通过解方程x2−2x−3=0得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y=(x−1)2−4(−1