专题23.7 《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题23.7 《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共29页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，观察猜想，探究证明，拓展应用等内容，欢迎下载使用。

专题23.7《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；
3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；　
4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
【要点梳理】
要点一、旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
要点二、特殊的旋转—中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
要点三、平移、轴对称、旋转
平移、轴对称、旋转之间的对比

平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形



要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
【典型例题】
类型一、旋转三要素
1．如图，E是正方形的边上任意一点（不与点A，B重合），按逆时针方向旋转后恰好能够与重合．
(1) 旋转中心是________，旋转角为________；
(2) 请你判断的形状，并说明理由．

【答案】(1) 点D；90° (2) 等腰直角三角形，理由见分析
【分析】
（1）由已知可知，旋转中心为点D，旋转角∠ADC = 90°，即可求解；
（2）由旋转的性质可得DE = DF，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论．
(1)解：由题意得：旋转中心是点D；旋转角为∠ADC，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴旋转角为90°；
故答案为：点D；90°
(2)解：根据题意得：，，
∴是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为中点，如图．
(1) 旋转中心是点______，______；
(2) 求直线与直线的夹角．

【答案】(1) , (2)
【分析】
（1）根据旋转后点与自身对应，则旋转中心为点，进而根据，可知与对应，即可求解；
（2）延长交于点，取中点，连接，证明是等边三角形，进而求得在中，根据三角形内角和定理求得，即直线与直线的夹角．
(1)解：∵旋转后点与自身对应，
∴旋转中心为点，
，则旋转后与不对应，则与对应
故答案为：,
(2)延长交于点，取中点，连接，

，，

逆时针旋转后与重合，
,

是的中点，



是等边三角形


又


中





即直线与直线的夹角为
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式2】 如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置．
（1）旋转中心是点__________， 旋转角度是__________．
（2）连接PP′，△BPP′的形状是__________ 三角形．
（3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．

【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6
【分析】
（1）根据旋转的定义解答；
（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定；（3）①根据勾股定理列式求出PP′，先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．
解：（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，
∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度，
故答案为：B，90°；
（2）根据旋转的性质BP=BP′，旋转角为90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（3）在等腰Rt△BPP'中，∵PB＝BP'＝4，
∴PP′＝，
∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－45°＝90°，
∵P'C＝PA＝2
在Rt△PP′C中，
PC＝
【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质．
类型二、利用旋转性质求值或证明
2．如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转90°至．
(1) 若，，求；
(2) 若，求的面积．

【答案】(1) (2) 的面积为
【分析】
（1）根据三角形内角和定理，先算出，根据旋转性质，得出；
（2）根据旋转性质得出，，即可算出△CEF的面积．
(1)解：∵，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转90°至，
∴．
(2)∵将绕点顺时针旋转90°至，
∴，，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，根据旋转得出，，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知在中，，，于点D．在边BC上取一点E，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，交线段CD于点G．

(1) 如图，若点E与点C重合，求证：；
(2) 探究线段AG与GF之间满足的数量关系，并说明理由；
(3) 若，请直接写出点C与点F之间的最小距离，不必写解答过程．
【答案】(1)见分析(2)AG=GF，理由见分析(3)5
【分析】
（1）根据题意，△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，所以CD=AD，根据旋转的性质，CD=CF，所以CF=AD，又因为∠GCF=∠GDA=90°，∠CGF=∠DGA，所以（ASA）；
（2）作EH⊥BC，交CD于点H，连接FH，则可证明△FEH△CED(SAS)，得到FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°，从而证明∠FHG=90°，又因为对顶角相等，可证明△FGH△AGD(AAS)，所以AG=GF；
（3）根据（2）中的结论，，所以当CE取最小值0时CF有最小值5．
解：(1)根据题意，△ABC是等腰直角三角形，
∵
∴CD是斜边AB的中线
∴CD=AD
∵线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF
∴∠FCG=∠ADG=90°，CD=CF
∴AD=CF
在和中

∴（ASA）
(2)AG=GF，理由如下：
作EH⊥BC，交CD于点H，连接FH，如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB
∴∠BCD==45°，CD=AD=
∵EH⊥BC
∴∠EHC=∠BCD=45°
∴CE=HE
∵∠FED+∠DEH=∠DEH+∠HEC
∴∠FEH=∠DEC
又∵EF=ED
∴△FEH△CED(SAS)
∴FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°
∴∠CHF=∠CHE+∠EHF=45°+45°=90°
∴∠FHG=90°=∠ADG
又∵∠FGH=∠AGD
∴△FGH△AGD(AAS)
∴AG=GF
(3)连接CF，

∵FH=AD==，
∴
当CE最小时CF最小，CE最小值为0，
∴CF最小值为
点C与点F之间的最小距离为5．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到．

(1) 旋转角为_____度；
(2) 求点P与点Q之间的距离；
(3) 求的度数；
(4) 求的面积．
【答案】(1)60(2)4(3)150°(4)9．
【分析】
（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案，
（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴旋转角为60°
故答案为：60；
(2)连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；

(3)∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
(4)如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CHPC，PHHC，
∴BH＝4，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵S△ABCBC2，
∴S△ABC）9．

【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
类型三、中心对称图形与轴对称图形
3、如图，在平面直角坐标系中，为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，4）．已知与关于点成中心对称（点D，E，F分别为A，B，C的对应点，且）．连接AF，CD．

(1) 若，画出此时的位置；
(2) 线段AF与CD的位置和大小关系是______；
(3) 若四边形AFDC是一个轴对称图形，则a的值为______．
【答案】(1)见分析(2)，且(3)1
【分析】
（1）当时，点（a，0）即为原点，作出关于原点成中心对称的图形即可；
（2）设对称中心为点P（a，0），根据中心对称的性质，即可得出结论；
（3）当四边形AFDC是菱形或矩形时，可得出a的值．
(1)如图，即为所画；

(2)如图所示，，且

故答案为：，且
(3)∵是直角三角形，且B（1，0），
∴与关于点成中心对称时，四边形AFDC是菱形，如图，

∴
故答案为：1
【点拨】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
举一反三：
【变式1】已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．

(1) 如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2) 如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
【答案】(1)证明见分析(2)等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形
【分析】
（1）由角平分线可知，由平行可知，可得，，进而结论得证；
（2）由题意可得四边形是菱形，是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．
(1)证明：∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形．
(2)解：由（1）知四边形是平行四边形
∴
∵是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形
∴
∴是等边三角形的中点
∴
∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边，等边 ，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形．
【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：

（1）作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
（2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．
（3）已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式________．
【答案】（1）图见详解，C1（-1，2）；（2）图见详解，C2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y=-x
【分析】
（1）根据平移的性质即可画出向左平移4个单位后的；
（2）根据中心对称的性质即可作出关于原点对称的，再根据旋转的性质即可得出结论；
（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式．
解：（1）如图所示，点C1的坐标（-1，2）；
（2）如图所示，点C2的坐标（-3，-2），可看作以点（-2，0）为旋转中心，旋转180°得到的；
（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），所以直线的解析式为y=-x．

【点拨】本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图形是解决本题的关键．
类型四、直角坐标系中的中心对称图形
4、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．

(1) 画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′；
(2) 将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′′B′′C′′；
(3) 若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为　 　．
【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
(1)如图所示，△A′B′C′就是求作的图形；

(2)如图所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；

(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；

【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

(1) 若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，画出；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2．
【答案】(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）根据C点的平移方式依次得到A点和B点的对应点的位置，顺次相连即可；
（2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可．
(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

【点拨】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平移作图与中心对称图形的作图方法．
【变式2】 已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
(1) 二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
(2) 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
【答案】(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣7(2)a＝2，b＝8，c＝7
【分析】
（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变进行求解即可；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数进行求解即可；
(1)解：抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，
∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
(2)抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，
∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，
即y＝2x2+8x+7
∴二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
类型五、旋转几何综合拓展
5、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．

(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
【答案】(1) ，(2)成立，理由见分析(3)
【分析】
（1）通过证明，即可求证；
（2）通过证明，即可求证；
（3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
解：(1) ，，证明如下：
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)成立，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)

如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，
由旋转性质可得：，，
∵，
∴，
∵，且，
∴，       
∴，
∴，
在中：，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，   
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解答；（2）①；②见解答；（3）是，∠MPN=30°．
【分析】
（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；
②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；
（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=，
故答案为：；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，

∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=AD=FE=PN，
∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
【点拨】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．
【变式2】 如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．
（1）求证：
①的面积；
②；
（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．

【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】
（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明，结合，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．
解：（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，

∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴（AAS），
∴FG=PD，
∴的面积；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，

∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴（AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得：，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴，
∴；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，

由（1）得：，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN=EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，

此时EF最大值=，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，

此时EF最小值= HG=8，
∴的取值范围是：4≤MN＜．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．