专题24.1 圆及有关概念（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.1 圆及有关概念（知识讲解）

【学习目标】

1．理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；

2．了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

【要点梳理】

要点一、圆的定义

第一定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

特别说明：

　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

  　②圆是一条封闭曲线.

第二定义：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

特别说明：

　  ①定点为圆心，定长为半径；

　　②圆指的是圆周，而不是圆面；

　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

1．点和圆的三种位置关系：

由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有

要点二、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

特别说明：

　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

   2. 弧

  弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

特别说明：

　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

特别说明：

　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】

类型一、圆的定义

1．如图，已知的圆心原点，半径长为是上的在第一象限的点，求的值．

【答案】6

【分析】根据圆的基本性质，可得OA=10，再由 ，可得AB=8，然后由勾股定理，求出OB=6，即可求解．

解：如图，过点B作AB⊥x轴于点B，连接OA，

∵的半径长为10，

∴OA=10，

∵ ，

∴AB=8，

在 中，由勾股定理得：

，

∵在第一象限内，

∴ ，

∴．

【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 中，．求证：三点在同一个圆上．

【分析】取AB的中点O，根据直角三角形的性质得到CO＝AO＝BO，故可求解．

解：如图所示，取AB的中点O，连接CO

在Rt△ABC中，

∵AO= BO，∠ACB= 90°，

∴CO＝AB，即CO＝AO＝BO．

∴A，B，C三点在同一个圆上，圆心为点O．

【点拨】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点．

【变式2】如图，已知为的直径，四边形，都是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．

【答案】

【分析】连接，，设的半径为r，，则，在Rt△COD和Rt△FOG中，分别根据勾股定理可得，解方程即可求解．

解：如图，连接，，

设的半径为，，则，

∵，

∴，

∵正方形的面积为16，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

解得，（不合题意，舍去），

∴，．

【点拨】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．

类型二、与圆有关的概念

3．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．

【答案】     ，，，          ，     ，，，，     ，，，，

【分析】根据圆的基本概念，即可求解．

解：在中，半径有，，，；直径有；弦有，；劣弧有，，，，；优弧有，，，，；

故答案为：，，，；；，；，，，，；，，，，．

【点拨】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；

大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ．

【注意】

1）弧分为是优弧、劣弧、半圆．

2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论．

【答案】          劣弧          优弧

【变式2】如图，以点为端点的优弧是____________，以点为端点的劣弧是_____________．

【答案】     ，     ，

【分析】根据劣弧和优弧的定义求解．

解：在⊙O中，

以A为端点的优弧有，；

以A为端点的劣弧有，；

故答案为：，；，．

【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，注意：大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧．

类型三、点和圆的位置关系

3．已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?

【答案】PD＝4cm，点P在⊙O上．QD＞4cm，点Q在⊙O外．RD＜4cm，点R在⊙O内．

【分析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．

解：连接PO，QO，RO．

∵   PD＝4cm，OD＝3cm，

∴   PO＝．

∴   点P在⊙O上．

，

∴   点Q在⊙O外．

，

∴   点R在⊙O内．

【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

举一反三：

【变式1】已知：如图，△ABC中，，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？

【答案】点A在⊙O内；点B在⊙C外；M点在⊙C上

【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

解：根据勾股定理，有AB=（cm）；

∵CA=2cm＜cm，

∴点A在⊙O内，

∵BC=4cm＞cm，

∴点B在⊙C外；

由直角三角形的性质得：CM=cm

∴M点在⊙C上．

【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

【变式2】 画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形.

【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.

【分析】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形.

解：如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.

【点拨】此题主要考查点与圆的关系，解题的关键是正确理解题意，再画出图形.

类型四、圆中弦的问题

4、已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.

【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.

【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.

解：如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.

【点拨】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.

举一反三：

【变式1】如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.

【答案】的最大值为.

【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.

解：连结，，

∵       ∴

∴为等边三角形，

∵点，分别是，的中点

∴，∵ 为的一条弦

∴最大值为直径14       ∴的最大值为.

【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.

【变式2】如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值．

【答案】

【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题．

解：如图，过点P作PH⊥AC，

由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动，

当的延长线交圆于点时面积最大，

在中，，，

，

是等边三角形，

，

，，

，

的最大值为．

【点拨】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键．

类型五、与圆周长和面积有关的问题

5、如图所示，求如图正方形中阴影部分的周长．（结果可保留）

【答案】正方形中阴影部分的周长为

【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+圆弧长+正方形边长的3倍，依此计算即可求解．

解：根据题意得：，

，

．

故正方形中阴影部分的周长为．

【点拨】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握圆的周长公式．

举一反三：

【变式1】如图，长方形的长为a，宽为b，在它的内部分别挖去以b为半径的四分之一圆和以b为直径的半圆．

（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积；

（2）当a＝8，b＝4时，求阴影部分的面积（π取3）．

【答案】（1）阴影部分的面积＝ab﹣πb2；（2）14．

【分析】

（1）根据阴影部分面积=矩形面积-圆的面积-半圆的面积，结合图形圆的半径、半圆的半径和矩形的宽的关系，并利用它们的面积公式即可求解．（2）将a，b的值代入（1）中所求的代数式进行计算．

解：（1）圆的半径即为矩形的宽=b，半圆的半径为矩形宽的=b，

阴影部分面积=矩形面积-圆的面积-半圆的面积

即：阴影部分面积=

（2）因为π取3，将代入（1）所得的代数式得：

原式=．

【点拨】本题考查求圆的面积的公式及根据题意列代数式，明确阴影部分面积=矩形面积-圆的面积-半圆的面积是解题的关键．

【变式2】如图，长方形的长为a，宽为，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当时阴影部分的面积（取3.14）．

【答案】，1.14

【分析】根据对称性用a表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．

解：由题意可知：

S阴=

当时，S阴=．

【点拨】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．

类型六、坐标系中圆的问题

6、如图，点P是反比例函数图象上一点，轴于点A，点M在y轴上，过点A，与y轴交于B、D，已知A、B两点的坐标分别为，PB的延长线交于另一点C．

(1)求的半径的长；

(2)当时，试求出k的值；

(3)在（2）的条件下，请求出线段PC的长．

【答案】(1)  10  (2)   (3)

【分析】

（1）设，由题意知，，即，求出满足要求的，求出的长，进而可得半径；

（2）由题意，设，设过的直线的解析式为，交轴于，将代入得，可得过的直线的解析式为，将代入，求得，由 ，，可知，则，求出满足要求的值，得到点坐标，然后代入反比例函数解析式求即可；

（3）由（2）可知，过的直线的解析式为，设，由题意知，，则，求出符合要求的值，进而可得的坐标，然后利用勾股定理求的值即可．

(1)解：设，

由题意知，，即，

解得：，

∴，

∵，

∴的半径的长为10．

(2)解：由题意，设，

设过的直线的解析式为，交轴于，如图，

将代入得，

解得，

∴过的直线的解析式为，

将代入得，

∴，

∵ ，，

∴，

∴，

∴，

整理得，

解得，（不合题意，舍去），

∴，

将代入得，，

解得，

∴的值为．

(3)解：由（2）可知，过的直线的解析式为，

设，

由题意知，，

∴，

解得， （不合题意，舍去），

∴，

∴，

∴的长为．

【点拨】本题考查了圆的概念，反比例函数与一次函数的综合，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

举一反三：

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，．

(1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标；

(2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系．

【答案】(1)半径为5，圆心  (2)在圆上

【分析】

（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆”即可直接得出答案；

（2）将原点的坐标代入，即可判断出点与圆的位置关系．

(1)解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，

将化成，

表示的圆的半径为5，圆心的坐标为；

(2)解：将原点代入，

左边右边，

原点在表示的圆上．

【点拨】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键．

【变式2】阅读下列材料：

平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．

（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　；

（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．

【答案】（1）；（2）点A在⊙C的内部．

【分析】

（1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可；

（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．

解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），

∴，

故答案为；

（2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，

∴圆心坐标为C（2，0），

∵点A（3，﹣1），AC=

∴点A在⊙C的内部．

【点拨】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．