专题24.5+垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题24.5+垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题24.5 垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
2．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（       ）
A． B． C．或 D．或
3．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（       ）

A．1 B． C．2 D．4
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.

A．6 B． C． D．
6．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（       ）

A．120° B．125° C．130° D．145°
7．在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（          ）

A． B． C． D．
8．如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（   ）

A． B． C． D．
9．如图所示，如果AB为⊙O的直径，弦，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（       ）

A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（       ）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
11．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若AE＝6，AB＝5，则BF的长为（       ）

A．5 B．6 C．8 D．12
12．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（       ）
A． B．4 C． D．5
二、填空题
13．如图，CD是⊙的直径，AB是弦，，若，，则AC的长为______．

14．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标是__．

15．如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为______．

16．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．

17．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．

18．如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．

19．如图，⊙O的半径为6，的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有_____个．

20．如图，圆心B在y轴的负半轴上，半径为5的与y轴的正半轴交于点，过点的直线l与OB相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值是___________．

21．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF=__________________________．

22．如图，已知的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，，CD是的一条弦，，以PC，PD为相邻两边作▱PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于______．

23．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_______m．

三、解答题
24．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．




25．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
(1) 求证：；
(2) 求证：AM＝DM．




26．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．






27．如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．









28．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____．
【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：
【分析问题】先看两种特殊情况：
（2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值）
（3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值）
【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值．


































参考答案
1．B
【分析】
由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，

∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
2．C
【分析】
先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
解：连接AC，AO，

∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
3．C
【分析】
根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
解：设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
4．C
【分析】
由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．
解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝AC＝2．
故选C．
【点拨】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5．C
【分析】
作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，

∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
6．A
【分析】
连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．
解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，

∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴OD=OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=BC，
∴BC=OE=OB=OC，
是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
7．A
【分析】
由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，

∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AC•BC＝AB•CF，
∴CF＝，
∴OG＝CF−OC＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点拨】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
8．B
【分析】
根据垂径定理得出，由此可判断A，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明，进而可判断C、D，而AE与OE不一定相等，由此可判断B．
解：∵的直径于点，
∴，故A选项结论成立；
在和中，
，
∴，故D选项结论正确；
∴，故C选项结论正确；
而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立；
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
9．D
【分析】
根据垂径定理逐个判断即可．
解：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，
则AB是垂直于弦CD的直径，就满足垂径定理．
因而CE＝DE，，∠BAC＝∠BAD都是正确的．
根据条件可以得到AB是CD的垂直平分线，因而AC＝AD．所以D是错误的．
故选：D．
【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．
10．B
【分析】
由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD= A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= A′B，进而可求解CE的长．
解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，
∵，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD= A′D=AB，
∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，
∴AE= A′E，又AD=BD，
∴DE是△AB A′的中位线，
∴DE= A′B，
∵，，
∴CD=7cm，DE=2cm，
∴CE=CD-DE=7-2=5cm，
故选B．

【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
11．C
【分析】
设交于点，根据题意可得四边形为菱形，勾股定理求得的长度，即可求解．
解：设交于点，如下图：

由题意可得：，平分，，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故选：C．
【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
12．D
【分析】
连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
解：连接，过点作于点，如图所示，

则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
13．
【分析】
根据垂径定理求出AE=BE=6，根据勾股定理求出OE，求出CE，再根据勾股定理求出AC即可．
解：设AB和CD交于E，

∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=12，
∴AE=BE=6，∠OEB=∠CEA=90°，
由勾股定理得：，
∴CE=OC+OE=10+8=18，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
14．
【分析】
首先过点P作PA⊥MN于点A，由垂径定理即可求得AM＝MN，易证得四边形ABOP是矩形，即可得AB＝OP，PA＝OB＝2，设OP＝a，在Rt△PAM中，由PM2＝AM2+PA2，可得方程a2＝（a﹣1）2+4，继而可求得答案．
解：如图，过点作于点，

∴，
在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点，设MN交x轴于点B，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，
则，
∵点的坐标是，
∴＝1，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为：．
故答案为：．
【点拨】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
15．4
【分析】
过点作 连接根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径.
解：设的半径为R
过点作 连接









∴
解得：
故答案为：4
【点拨】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键.
16．
【分析】
由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．
故答案为：．

【点拨】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
17．     3     12
【分析】
过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
解：过C作直径UL∥x轴，

连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
18．=
【分析】
过点作于点，交于点，根据
解：如图，过点作于点，交于点，

，


AD⊥OC，

即
故答案为：
【点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．
19．4
【分析】
过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC=3，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP=6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．
解：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，

设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴，
则y＝，
∴，
解得x＝3或﹣3（舍），
∴OC＝3＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，
则P点有4个．
故答案为：4
【点拨】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP的最小值和最大值．
20．8，9，10．
【分析】
当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），BA＝5，得到B点坐标为（0，−4），再由P点坐标为（0，−7），得到BP＝3，由BP⊥CD，根据垂径定理得PC＝PD，然后在Rt△PBC中，根据勾股定理得到PC＝4，所以CD＝8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，故可求解．
解：当CD过圆心B时，此时CD为直径，CD＝10；
当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，如图，
∵点A（0，1），BA＝5，
∴B点坐标为（0，−4），
∵P点坐标为（0，−7），
∴BP＝−4−（−7）＝3，
∵BP⊥CD，
∴PC＝PD，
在Rt△PBC中，BC＝5，BP＝3，
∴PC＝＝4，
∴CD＝2PC＝8，
∵过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，
∴过P点的弦长为整数还有9，
∴弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10．
故答案为：8，9，10．

【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和勾股定理；同时掌握图形与坐标的关系．
21．
【分析】
利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．
解：∵直径AB⊥弦CD，
∴，
∴BD=BC=5，
∵OF⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，
∴OF是三角形ABC的中位线 ,
∴2OF=，
故答案为：．
【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
22．80.
【分析】
连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．
解：连接设CD交PE于点K，连接OK．

四边形PCED是平行四边形，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
的最小值为2，最大值为10，
，
的最小值为4，最大值为20，
线段PE长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．12.5
【分析】
根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为，连接．根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可．
解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，
设圆心是，半径是，连接．

根据垂径定理，得：，
在中，根据勾股定理，得，
解得：，
即该拱桥的半径为，
故答案为：12.5．
【点拨】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程进行求解．
24．
【分析】
过点分别作、的垂线、，则四边形是正方形，利用垂径定理即可求得，的长度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长度．
解：过点分别作、的垂线、，则四边形是矩形，连接．

，，
，
矩形是正方形．
，，
，

，
，
同理：．
在直角中，．
的半径长为．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
25．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得；
（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．
解：(1)∵在⊙O中，AB＝CD，
∴，
∴，
∴；
(2)连接AC，BD，

∵，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
【点拨】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
26．(1)cm(2)cm
【分析】
（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；
（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可．
(1)解：如图1，作交于，交于，连接

由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
(2)解：如图2，延长交于，连接，设半径为

由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
27．(1)证明见分析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE
【分析】
（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；
（2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；
②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论；
(1)解：∵DEOC，
∴∠COD=∠ODE，
∵OC=OD，OF=DE，
∴△OCF≌△DOE(SAS)；
(2)解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF=∠DOE=30°，
∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，
∴∠OGC=90°．
②∵，
∴，
又∵∠DOE=30°，
∴OF=2，
∵∠OCF=∠COF=30°，
∴CF=OF，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE=CF=OF=2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．
28．（1）；；（2）；（3）；；（4）
【分析】
（1）直接用中位线性质定理得出结论；
（2）由等边三角形判定得出△为等边三角形，得到，即可得到答案；
（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到，即，计算即可得知答案；
（4）过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PM与CD交于点F，由中位线定理得出OF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到，，即，计算即可得出答案．
解：（1）∵点、分别是的边、边的中点，
∴是的一条中位线，
∴，，
故答案为：，．
（2）∵MN为直径，O为圆心，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，
∴∠MAB＝90°，O为MN的中点，
∴在Rt△MAB中，，，
∴，
∴，
∴△为等边三角形，
∵
∴，，
∴，
故答案为：
（3）当时，、重合，
∵，
∴在Rt△AOP中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
（4）∵于，于，
∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图：

∴点O为MN的中点，，
∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点，
∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线，
∴，
在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线，
∴，
∴，
∵在Rt△AOE中，，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．