专题24.7 弧、弦、圆心角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.7 弧、弦、圆心角（知识讲解）

【学习目标】

1.       了解圆心角的概念；
2.       掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

【要点梳理】

圆心角定义

　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；

1.     　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等；

在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数。

特别说明：

　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

4.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

【典型例题】

类型一、圆心角概念

1．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．

【答案】①②③⑤

【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可

解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，

在圆上，则线段是弦；故③正确；

都在圆上，

是圆周角

而点不在圆上，则不是圆周角

故④不正确；

是圆心，在圆上

是圆心角

故⑤正确

故正确的有：①②③⑤

故答案为：①②③⑤

【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．

举一反三：

【变式1】 如图，是的弦，，则________．

【答案】

【分析】根据同圆中半径相等，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果．

解：∵，

∴，又，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出是解题的关键．

【变式2】在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．

【答案】1﹣≤CM＜

【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME；

解：如图，连接OD、OC，

∵AB为直径，

∴∠AOC+∠BOC＝180°，

∵D、E分别是、的中点，

∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，

∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，

∴△ODE为等腰直角三角形，

∴DE＝OD＝，

∵M是弦DE的中点，

∴OM＝DE＝，

∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，

△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，

∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；

∴CM≥1﹣，

当C点在A点或B点时，CM＝，

∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．

【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．

类型二、圆心角与它所对弧的度数

2．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________．

【答案】##50度

【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得．

解：如图，连接，则，

由折叠的性质得：，

，

是等边三角形，

，

，

，

则弧的度数为，

故答案为：．

【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．

举一反三：

【变式1】 如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为______度．

【答案】60

【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可．

解：∵PQ=PO，PO=OQ，

∴PQ=PO=OQ，

∴△POQ是等边三角形，

∴∠POQ=60°，

∴的度数为60度

故答案为：60．

【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键．

【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝，则∠CAD＝_______．

【答案】

【分析】根据垂径定理由得 ，根据圆周角定理得，而由得，所以 ， ，再根据圆内接四边形的性质得到，于是，从而得到∠CAD的度数．

解：∵，

∴，

∴，

∵D为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：36°．

【点拨】本题主要考察了圆周角定理、圆心角和弧的关系、圆内接四边形的性质及垂径定理，能够找到与之间的关系是解题的关键．

类型三、用弧、弦、圆心角关系求解

3．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，且的度数为40°，，求的度数．

【答案】

【分析】分别求出∠ACD，∠ACB即可解决问题．

解：∵AB是半圆的直径，

∴，

∵的度数为40°，

∴，

∴，

∵四边形ABCD是的内接四边形，

∴．

∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．

举一反三：

【变式1】已知⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．

【答案】弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．

试题分析：画出图形，连接OA、OB，因为AB=OA=OB，所以∠AOB=60°．分两种情况，①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，则∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，由圆的内接四边形性质可得∠C+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°－∠C=150°．

解：画出图形：

连接OA、OB，

∵AB=OA=OB，

∴∠AOB=60°．

分两种情况：

①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，

则∠C=∠AOB=30°；

②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，

∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠ADB=180°，

∴∠ADB=180°－∠C=150°．

综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．

【点拨】本题关键在于需考虑到两种情况，然后结合圆的性质求解.

【变式2】如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．

（1）求证：GP＝GD；

（2）求证：P是线段AQ的中点；

（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．

【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）半径为；CE=．

【分析】

（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；

（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；

（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．

解：（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵CE⊥AB于E，

∴∠CEB=90°，

∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，

∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，

∴PC=PA，

∵∠ACB=90°，

∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，

∴∠PCQ=∠CQA，

∴PC=PQ，

∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；

（3）连接CD，

∵弧AC=弧CD，

∴CD=AC，

∵CD=2，

∴AC=2，

∵∠ACB=90°，

∴AB==，

故⊙O的半径为，

∵CE×AB=AC×BC，

∴CE=2×4，

∴CE=．

【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．

类型四、用弧、弦、圆心角关系证明

4．如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M．

(1)求证：．

(2)连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：．

【答案】(1)证明见分析(2)证明见分析

【分析】

（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可；

（2）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质可得，根据直径所对的圆周角为90°可得，进而根据三角形内角和定理和等量代换可证结论．

(1)证明：∵，

∴，

∴，

∴．

(2)证明：∵，

∴，

∴，

∵AD是⊙O的直径，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系、三角形内角和定理、三角形外角性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90°，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学相关知识．

举一反三：

【变式1】如图，在中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．

(1)  求证：；

(2)  连接CD，若，求的度数．

【答案】(1)见分析(2)130°

【分析】

（1）根据B，C是的三等分点，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；

（2）根据圆周角定理得出∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，根据三角形内角和定理求出∠AED，再求出答案即可．

解：(1)证明：B，C是的三等分点，

∴AC=BD；

(2)连接AD，

∵∠BDC=25°，

∴∠CAD=∠BDA=∠BDC=25°，

∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°，

∴∠AED=180°-∠CAD-∠BDA=180°-25°-25°=130°，

∴∠BEC=∠AED=130°，

故答案为：130°．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．

【变式2】如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

(1)求证：CD＝CE；

(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．

【答案】(1)见分析(2)

【分析】

（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；

（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

(1)解：连接OC，

∵＝，

∴∠AOC＝∠BOC，

又CD⊥OA，CE⊥OB，

∴CD＝CE；

(2)解：∵∠AOB＝120°，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，

∵∠CDO＝90°，

∴∠OCD＝30°，

∴OD＝OC＝1，

∴CD＝＝＝，

∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，

同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，

∴四边形DOEC的面积＝．

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．