专题1.3 正方形的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）

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专题1.3 正方形的性质与判定（专项训练）

1．（2021秋•海州区期末）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
2．（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
3．（2022春•如皋市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为（　　）

A．﹣1 B． C．2﹣2 D．1
4．（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
5．（2021秋•巴中期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2021秋•渝北区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021秋•湖里区期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（　　）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
8．（2021秋•新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对边相等 D．邻边相等
9．如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG＝3，CF＝4，则AE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7




10.（2021秋•二道区校级期末）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
11．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
12．（2022春•高安市期中）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①PB＝AB；②AP＝EF且AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④EF的最小值为；⑤PB2+PD2＝2PA2，其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤



13．（2022春•新会区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14（2021秋•梅里斯区期末）如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．



15．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．


16．（2021秋•普宁市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．矩形的对角线平分每组对角
B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
17．（2020•眉山）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
18．（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
19．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

20.（兰州期中）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．















专题1.3 正方形的性质与判定（专项训练）

1．（2021秋•海州区期末）正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（　　）
A．9 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S＝×6×6＝18，
故选：B．
2．（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线平分内角
【答案】C
【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选：C．
3．（2022春•如皋市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为（　　）

A．﹣1 B． C．2﹣2 D．1
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝2，
∵正方形的边长为2，
∴BD＝，
∴BE＝BD﹣DE＝2﹣2，
故选C．
4．（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE＝∠BCE＝20°，
∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，
＝180°﹣90°﹣20°
＝70°，
∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，
∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，
故选：D．
5．（2021秋•巴中期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

则点C到y轴的距离为OE．
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝2，OB＝3．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ECB+∠EBC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°．
∴∠EBC+∠ABO＝90°．
∴∠ECB＝∠ABO．
在△CBE和△BAO中，
，
∴△CBE≌△BAO（AAS）．
∴EB＝OA＝2．
∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．
∴点C到y轴的距离是5．
故选：B．
6．（2021秋•渝北区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∵MN∥AD，
∴MN⊥AB，MN⊥CD，
∵S△ABE＝AB•EM＝×4×EM＝2EM＝5，
∴EM＝，
∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，
∴S△CDE＝CD•EN＝×4×＝3，
故选：A．
7．（2021秋•湖里区期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（　　）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】D
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAM＝∠EAO＝45°，
∴△AFM与△AEO是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC＝a，
∵点M，N分别为对角线AC的三等分点，
∴AM＝MN＝CN＝×a＝a，
∴AM＝FM＝a，AE＝EO＝AD＝a，
∴图中的两个小正方形面积之和＝FM2+OE2＝（a）2+（a）2＝a2，
故选：D．

8．（2021秋•新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对边相等 D．邻边相等
【答案】B
【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
9．如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG＝3，CF＝4，则AE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：如图，连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴GC＝EF＝3，∠EFC＝90°，
∴CE＝＝＝5，
∴AE＝5，
故选：C．
10.（2021秋•二道区校级期末）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD边长为4，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：连接ED，
∵AE＝EC，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DEC＝90°，DE＝EC，∠EDN＝∠ECM＝45°，
∴∠DEN+∠NEC＝90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MEC+∠NEC＝90°，
∴∠DEN＝∠CEM，
∴△MEC≌△NED（ASA），
∴S△MEC＝S△NED，
∴S四边形EMCN＝S△MEC+S△NEC＝S△NED+S△NEC＝S△DEC，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝4，
∴ED＝EC＝2，
∴S△DEC＝＝×2×2＝4，
∴重叠部分四边形EMCN的面积为4．
故选：B．

11．（2022•凯里市校级一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：

∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
12．（2022春•高安市期中）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①PB＝AB；②AP＝EF且AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④EF的最小值为；⑤PB2+PD2＝2PA2，其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【解答】解：连接PC，延长AP交EF于点H，如图所示：

∵点P是对角线BD上一点，
∴PB和AB的大小不能确定，
故①选项不符合题意；
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，PD＝PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP，∠PAD＝∠PCD，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PFC＝∠PEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴AP＝EF，
∵∠ADC＝∠PFC＝90°，
∴AD∥PF，
∴∠DAP＝∠FPH，
在矩形PECF中，∠PCD＝∠EFC，
∴∠FPH＝∠EFC，
∵∠EFC+∠EFP＝90°，
∴∠FPH+∠EFP＝90°，
∴AP⊥EF，
故②选项符合题意；
在矩形PECF中，∠PFE＝∠PCE，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠BAP＝∠PCB，
∴∠BAP＝∠PFE，
故③选项符合题意；
∵AB＝AD＝2，
根据勾股定理得BD＝2，
当AP⊥BD时，AP最小，
此时AP最小值为BD＝，
∵AP＝EF，
∴EF的最小值为，
故④选项符合题意；
根据勾股定理，得PB2＝2PE2，PD2＝2PF2，
∴PB2+PD2＝2（PE2+PF2）＝2EF2＝2PA2，
故⑤选项符合题意；
综上，正确的选项有②③④⑤，
故选：D．
13．（2022春•新会区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BM＝CN＝5，CM、DN交于点O．则下列结论：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四边形BMON；④OC＝中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△BMC和△CND中，
，
∴△BMC≌△CND（SAS），
∴∠MCB＝∠NDC．
又∠MCN+∠MCD＝90°，
∴∠MCD+∠NDC＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴DN⊥MC，故①正确；
在Rt△CDN中，∵CD＝12，CN＝5，
∴DN＝＝13．
又∵∠BCD＝90°，∠COD＝90°，
∴NC•CD＝ND•OC，
∴OC＝，OM＝13﹣＝，
∴OC≠OM，故②错误④正确；
∵△BMC≌△CND，
∴S△BMC＝S△CND，
S△BMC﹣S△CNO＝S△CND﹣S△CNC，即S四边形BMON＝S△ODC，故③正确．
综上，正确的结论是①③④．
故选：C．
14（2021秋•梅里斯区期末）如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．

【答案】（1）略 （2）2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE．
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴CG＝CE；
（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，
又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，
∴BC＝3CG＝，
在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．
15．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．

【答案】（1）略 （2）FC＝3
【解答】解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF．
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得：x＝5，即FM＝5．
∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．

16．（2021秋•普宁市期末）下列说法中正确的是（　　）
A．矩形的对角线平分每组对角
B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【解答】解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．
故选：C．
17．（2020•眉山）下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，可以是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．
18．（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】B
【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；
B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；
故选：B
19．（2021春•海淀区校级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

【答案】（1）略（2）20cm （3）AF＝5cm
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．
又∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．

20.（兰州期中）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．

【答案】（1） 略（2） 略（3）△ABC为等腰三角形时，即AB＝AC时，四边形ABFC为正方形
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠EFC，
∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵BE＝CE，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∵AE＝EF＝AF，AE＝BC，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形；
（3）解：当△ABC为等腰三角形时，即AB＝AC时，四边形ABFC为正方形；理由如下：
∵AB＝AC，四边形ABFC是矩形，
∴四边形ABFC为正方形．