2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    计算的结果是(    )

A.  B.  C. 或 D.

2.    中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    下列各式中计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    方程的解是(    )

A.  B. ，
C.  D. ，

5.    有甲、乙两组数据，如表所示：

甲、乙两组数据的方差分别为，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.   如图，以正方形的一边为边向外作等边三角形，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.   对于反比例函数，当时，的取值范围是(    )

A.  B. 或 C.  D.

8.   如图，在▱中，作的平分线．以下是甲，乙两种作法：甲以点为圆心，任意长为半径作圆弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点，作射线乙以点为圆心，长为半径画弧，交于点，作射线上述作法中，射线为的平分线的是(    )

A. 甲是，乙不是 B. 甲不是，乙是 C. 甲，乙都是 D. 甲，乙都不是

9.   已知个正数，，，，的平均数是，且，则数据，，，，，的平均数和中位数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10. 空地上有一段长为米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园如图或图，已知木栏总长为米，所围成的菜园面积为下列说法错误的是(    )

A. 若，，则有一种围法 B. 若，，则有一种围法
C. 若，，则有两种围法 D. 若，，则有一种围法

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 二次根式中字母的取值范围是______．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______．
13. 已知点在反比例函数图象上，则的值是______ ．
14. 一元二次方程的一个根为，则的值为______．
15. 用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都______填“”、“”或“”．
16. 某超市销售同种品牌三种不同规格的盒装牛奶，它们的单价分别为元，元，元，当天销售情况如图所示，则当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为______元．

17. 某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为，第三周为，设每周剩余量的平均减少率为，则由题意可列方程______．
18. 中国古代数学家刘徽在九章算术注中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形若，，则的面积是______ ．

19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______．

20. 已知，菱形的对角线长分别为和，点在边上，，若点在直线上，且，则的长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
22. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
23. 本小题分
    年月日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识，并于年月日返回地球成功着陆．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了名学生进行科普知识竞赛百分制，测试成绩整理、描述和分析如下成绩得分用表示，共分成四组：；；；，其中，七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
    七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述、、的值：______，______，______．
该校八年级共人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少．

24. 本小题分
    如图，在▱中，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，．
    求的度数．
    若，，求▱的周长．

25. 本小题分
    定义：在平面直角坐标系中，，，，，且点，在同一象限，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，，若，则过点作轴的垂线，交直线于点，如图我们称矩形为过点，的伴随矩形．
    已知：如图，点，点是反比例函数图象上的两点．
    求的值．
    若过点，的伴随矩形是正方形，求点的坐标．
    若过点，的伴随矩形的面积是，求点的坐标．
     

26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点．
    求点的坐标．
    点是直线上的一动点，以为边向右作正方形．
    若点是线段中点，求点坐标．
    连结若，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据二次根式的性质进行化简，即可求得．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的性质是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的性质对、进行判断；利用完全平方公式对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
所以，
所以，．
故选：．
先移项得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故选：．
由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可求，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数，，
双曲线在第一，三象限，
时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
故选：．
由函数的解析式得到函数的增减性，然后求得的取值范围．
本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会通过函数解析式得到函数的增减性．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据角平分线的作法，可判定甲作的射线为的平分线；
乙所作的图如下：

可知，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
乙作的射线为的平分线，
故甲、乙两人的作法都正确．
故选：．
根据角平分线的作法及平行四边形的性质，即可判定．
本题考查尺规作图、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的作法是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：个正数，，，， 的平均数是，
个数的和为，
，，，，，的平均数为：；
，，，，为正数，
，
，，，，，的中位数是，故D正确．
故选：．
根据个正数，，，，的平均数是，可以得出个数的和，然后再求，，，，，的平均数，先将，，，，，进行排序，然后求出中位数即可．
本题主要考查了平均数，中位数的定义，解题的关键是熟练掌握算术平均数的公式，一组数如果是偶数个数，则中位数是中间两个数的平均数．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设矩形的边为米，则宽为米，
根据题意得：，
A、当，时，，即．
解得，，均符合题意，
所以图有两种围法，故本选项说法错误，符合题意；
B、当，时，，即．
解得不符合题意舍去，，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当，时，，即．
解得，，均符合题意，
所以有两种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当，时，，即．
解得，符合题意，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：．
设矩形的边为米，则宽为米，根据矩形面积公式列方程，再一一判断即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，二次根式有意义，
则；
故答案为：．
由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于原点中心对称的点的坐标是
故答案为：
根据关于原点对称的点的坐标特点，即可求得．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将点代入反比例函数得，
．
故答案为．
将点代入反比例函数，即可求出的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的符合函数的解析式．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入中，得
，
解得，
故答案是：．
一元二次方程的一个根为，那么就可以把代入方程，从而可直接求的值．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都小于，
故答案为：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

16.【答案】 

【解析】解：

元，
即当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为元；
故答案为：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，即可得到当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格．
本题考查了加权平均数，解答本题的关键是掌握加权平均数的计算方法．
 

17.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
利用第三周的剩余量第一周的剩余量每周剩余量的平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题出抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意，，，，
，
，
的边上的高为，
，
故答案为：．
根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图：与交于点，

设，
，
在矩形和矩形中
，，
，
≌，




，
，
；
故答案为：．
设，证明≌，根据，等量代换后得出，从而求出．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数的几何意义列出算式是解题的关键．
 

20.【答案】或 

【解析】解：设菱形的对角线相交于点，
对角线长分别为和，
，，
，
当点在线段的延长线上时，
过点作交的延长线于点，
四边形为菱形，且，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
延长至，使，连接，
四边形为菱形，
，，
，
≌，
，，
，
此时；
当点在线段上时，
过点作于点，
由面积法得，
，
由勾股定理得，
，
，
设，
，
，
，

综上，的长为或．
故答案为：或．
当点在线段的延长线上，点在线段上两种情况讨论，利用菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先化简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

22.【答案】解：，
，
或；
，
，
，
或，
或． 

【解析】用因式分解法解一元二次方程即可；
用配方法解一元二次方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：八年级学生成绩落在组人数所占百分比为：，
，即，
七年级成绩出现最多的是，
所以其众数：，
八年级、组人数共有：人，
八年级成绩的第、个数据分别为、，
八年级成绩的中位数：．
故答案为：；；；
根据题意得：人．
答：估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是人．
用乘以所占的百分比，求出，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；
用该校八年级的人数乘以成绩优秀的八年级学生人数所占的百分比即可．
本题考查了众数，中位数的意义，用样本估计总体．众数是指一组数据组出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数理解和掌握众数和中位数的意义是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
将沿对角线翻折，点落在点处，
，
又，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，
将沿对角线翻折，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
又，，
，
，
，
▱的周长． 

【解析】首先根据平行四边形的性质，可求得，根据翻折的性质可得，再由已知条件可得，，即可求得，据此即可求得；
首先根据平行四边形的性质和翻折的性质，可得，，即可证得≌，可得，，再根据三角形的内角和定理，可得，可得，据此即可求得．
本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
；

由知，，
反比例函数的解析式为，
设点，
当，即时，
过点，的伴随矩形是正方形，
，
舍去或
；
当，即时，
过点，的伴随矩形是正方形，
，
，不符合题意，
即点；

由知，，
反比例函数的解析式为，
设点，
当，即时，
过点，的伴随矩形的面积是，
，
舍去或，
；
当，即时，
过点，的伴随矩形的面积是，
，
，
；
即点的坐标为或． 

【解析】将点的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；
分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出或，解方程即可求出答案；
分两种情况：过点，的伴随矩形的面积是，得出或，解方程即可求出答案．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，正方形的性质，矩形的面积公式，新定义，由新定义得出过点，的伴随矩形一边必是点，横坐标差的绝对值是解本题的关键．
 

26.【答案】解：与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为，
是等腰直角三角形，
点是点关于直线的对称点，
四边形是正方形，
点；
由得，，，
是的中点，
，
过点作轴交轴于点，过点作的延长线于点，
，
，
又，，
≌，
，，
过点作轴，

同上可证≌，
，，
；
连结，，
，
，即
又，，
≌，

，
，
当点在第一象限时，
，
，
由得，，
；
当点在第四象限时，
≌，，
；
，
，，
．
 

【解析】先得出是等腰直角三角形，再证明四边形是正方形，即可解答；
因为是的中点，所以，过点作轴交轴于点，过点作的延长线于点，易证≌，再过点作轴，证明≌，即可解答；
需分当点在第一象限时，当点在第四象限时，两种情况进行解答，方法同即可解答．
本题考查了求一次函数关系式，正方形性质、全等三角形的判定和性质、三角形等知识，解决问题的关键是准确作出辅助线和较强的计算能力．