2021-2022学年广东省云浮市罗定市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2021-2022学年广东省云浮市罗定市八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 斜边长是的直角三角形，它的两条直角边可能是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 如图，▱中，点是对角线的中点，点是的中点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某班共有位同学参加了学校组织的数学解题大赛，如表为该班参赛成绩的频数分布表，该班数学成绩的众数为(    )

A. 分 B. 分 C. 人 D. 人

5. 汽车由地驶往相距的地，它的平均速度是，则汽车距地路程与行驶时间的关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点．下列三种说法：
   四边形一定是平行四边形；
   若，则四边形是菱形；
   若，则四边形是矩形．
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，交于点若，的周长为，则平行四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 甲乙两车均从地开往相距的地，如图，反映了甲乙两车的路程单位：之间的关系，下列结论正确的是(    )

A. 甲车的速度为 B. 甲乙两车同时从地出发
C. 乙车比甲车提前小时到地 D. 甲车行驶小时追上乙车

10. 对于实数、，定义符号义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 正比例函数是常数，的图象是一条经过______的直线，我们称它为直线．
12. 甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是分，如果甲比赛成绩的方差为，乙比赛成绩的方差为，那么成绩比较稳定的是______．填“甲”或“乙”
13. 已知平行四边形的周长是，相邻两条边的长度相差，那么较短边长为______．
14. 直线经过、两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______．
15. 春耕期间，市农资公司连续天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量单位：吨与时间单位：天之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动从开始进货到销售完毕所用的时间是______ 天

16. 如图，直线与轴交于点，与轴交点，点是直线上一点，过点的直线交边点，若直线将分成面积相等的两部分，则点的坐标是______．

17. 如图，在菱形中，，是边的中点，是菱形内一动点，若的面积是，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．

请根据上述信息解答下列问题：
本次调查属于______调查，样本容量是______；
表中的______，样本数据的中位数位于______组；
补全条形统计图；
该校九年级学生有人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在组的有多少人？

20. 本小题分
    如图，在▱中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
    求证：；
    若，求▱的周长．

21. 本小题分
    在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
    小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为，小明操控无人飞机的时间为，结合图象反映了这个过程中与之间的对应关系．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    填表：

填空：
无人机上升的速度为______；
无人机在第______分钟开始下降的；
当时，请直接写出关于的函数解析式；
当无人机距地面的高度为时，直接写出的值．

22. 本小题分
    如图，、是四边形的对角线，点、、、分别是线段、、、上的中点．
    求证：线段、互相平分；
    四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．

23. 本小题分
    如图，是的角平分线，，，垂足分别是、，连接，与相交于点．
    求证：；
    满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．

24. 本小题分
    如图，直线与直线 相交于点，并且直线经过轴上点
    求直线的解析式．
    求两条直线与轴围成的三角形面积．
    直接写出不等式的解集．

25. 本小题分
    问题情境：如图，在正方形中，易证：不需要写出证明过程
    问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
    如图，在正方形中，为边上一点不与点、重合，垂直于的一条直线分别交、、于点、、判断线段与之间的数量关系，并说明理由．
    如图，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，图中未连，判断线段与之间的数量关系，并说明理由．
    在的条件下延长交边于点则______；
    拓展提高：如图，若该正方形边长为，将正方形沿着直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作，垂足分别为，若，请直接写出的长______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
解得：，
，
故．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，进而得出的值，求出答案即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理，计算与两条直角边的平方和是否相等，可作判断．
本题考查了勾股定理的运用．本题比较简单，解题的关键是熟记勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
是的中位线，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据可得，
该班数学成绩的众数为分，
故选：．
根据众数的定义和频数分布表中的数据，可以写出这组数据的众数．
本题考查众数、频数分布表，解答本题的关键是明确众数的定义，会找一组数据的众数．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：，
，
，
，
故选：．
根据“到地的距离全程行驶小时所走路程”可得解析式，由“到地的距离”得出的取值范围即可得出答案．
本题主要考查函数关系式，根据题意得出相等关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
，，，，，
四边形是平行四边形，故符合题意；
若，则，
平行四边形是菱形，故符合题意；
若，则，
平行四边形是矩形，故符合题意；
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故选：．
化简原式等于，因为，所以，即可求解；
本题考查估算无理数的大小和二次根式的运算，能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的中位线，
，，
的周长等于，
，
，
，
▱的周长；
故选：．
由平行四边形的性质得，，，证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，甲车的速度为：，故选项A不合题意；
乙车比甲车提前小时出发，晚小时到达，故选项B、不合题意；
乙车的速度为：，
设甲车出发小时后两车相遇，根据题意，得：
，
解得，
所以甲车行驶小时追上乙车，故选项D符合题意．
故选：．
根据题意结合图象即可求出甲乙两辆车的速度，再对各个选项判断即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得，
当时，，
当时，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故选：．
根据定义先列不等式：和，确定其对应的函数，画图象可知其最大值．
本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
 

11.【答案】原点 

【解析】解：由正比例函数图象的特点可得：正比例函数的图象是一条过原点的直线．
故答案为：原点．
正比例函数的图象是一条过原点的直线，由此可得出答案．
本题考查正比例函数的图象的特点，属于基础题，注意掌握正比例函数的图象是一条过原点的直线．
 

12.【答案】甲 

【解析】

【分析】
本题主要考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定．
根据方差的意义即可求得答案．
【解答】
解：甲乙比赛成绩的平均分都是分，
，，
，
甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．  

13.【答案】 

【解析】解：设较短边长为，则较长边的长为，依题意得
，
解得，
较短边长为，
故答案为：．
设较短边长为，则较长边的长为，依据周长为列方程求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的一组邻边之和等于周长的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：设一次函数解析式为，
将、代入得：
，
解得：，，
则一次函数解析式为．
当时，，
当时，，
解得，
与坐标轴的交点坐标为，
此函数与坐标轴围成的三角形面积：．
故答案为：．
设一次函数解析式为，将与坐标代入求出与的值，求出一次函数解析式；根据函数解析式计算出当时的值，当时，的值，进而得到与两坐标轴的交点坐标，然后求三角形的面积即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与两坐标轴的交点坐标，关键是正确求出解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：调入化肥的速度是吨天，
当在第天时，库存物资应该有吨，在第天时库存吨，
所以销售化肥的速度是吨天，
所以剩余的吨完全调出需要天，
故该门市部这次化肥销售活动从开始进货到销售完毕所用时间是天．
故答案为：．
通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥吨所花的时间．
此题主要考查了一次函数的应用，难度适中．解题的关键是注意调入化肥需天，但天后调入化肥和销售化肥同时进行．
 

16.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，则，
依题意得：，
即，
解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
设点的坐标为，则，利用三角形的面积计算公式，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，进而可得出点的坐标．
本题考查了三角形的面积以及解一元一次方程，利用三角形的面积公式，找出关于点横坐标的一元一次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】
解；，是边的中点，
；
的面积是，
与的距离为，
作且两直线的距离为，则就在上，
作关于的对称点，连接交于点，连接，此时最小，
．
故答案为：．
根据，是边的中点，可知；由的面积是，得与的距离为，作且两直线的距离为，作关于的对称点，连接交于点，此时最小．
考查最短路线问题；两点在某一直线同侧的最短路线问题，通常要做其中一点关于这条直线的对称点最好是特殊点．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】抽样，；
，；
由得，组的人数为，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在组的有人． 

【解析】解：本次调查属于抽样调查，样本容量是，
故答案为：抽样，；
，
根据中位数的定义得，样本数据的中位数位于组，
故答案为：，；

根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；
样本容量减去、、组人数即可得出，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于组；
根据的结果补全条形统计图即可；
用总人数乘以样本中成绩在组的百分比即可．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

20.【答案】证明：、 分别平分 和
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
 ，
四边形是平行四边形，
，，
，
 平分，
，
，
，
同理可证 ，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答即可；
根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答．
 

21.【答案】           

【解析】解：由图象可得：分钟无人机飞行的高度为，
分钟无人机飞行的高度为，
分钟无人机飞行的高度为，
分钟无人机飞行的高度为，
故答案为：，，，；
无人机上升的速度为，
故答案为：；
该型号无人机在上升和下落时的速度相同，
无人机在开始下降的时间是，
故答案为：；
当时，设，
图象过，，
，
解得，
；
当时，；
当时，设，
图象过，，
，
解得，
，
；
无人机从米高度到米高度的函数关系式为，由，解得，
当无人机下降时，由，解得，
综上所述，无人机距地面的高度为米时的值为和．
由图象直接可得答案；
用上升高度除以所用时间即得上升的速度；
用减去下降所用时间即得答案；
用待定系数法可得函数关系式；
分两种情况，分别求出无人机距地面的高度为时的值．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：连接、、、，
点、分别是线段、的中点，
，，
点、分别是线段、的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，
线段、互相平分；
解：当时，，
理由如下：点、分别是线段、的中点，
，
，
，
平行四边形是菱形，
． 

【解析】连接、、、，根据三角形中位线定理得到，，，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形，根据菱形的性质定理证明即可．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
 

23.【答案】证明：是的角平分线，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
；
满足时，四边形是正方形，
理由：，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形． 

【解析】根据证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；
根据正方形的判定解答即可．
本题主要考查了正方形的判定，关键是根据证明≌解答．
 

24.【答案】解：把代入中，得，
，

把，代入，
得，
，，
一次函数的解析式是；
设直线与轴交于点，则

；
不等式可以变形为，
结合图象得到解集为：． 

【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，难度一般．
首先确定点的坐标，然后由、点的坐标利用待定系数法确定直线的解析式即可；
首先根据直线的解析式确定直线与轴的交点坐标，从而利用三角形的面积公式求得三角形的面积；
将不等式变形后结合函数的图象确定不等式的解集即可．
 

25.【答案】   

【解析】解：问题探究：，
理由：四边形是正方形，
，，，
过点作交于点，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
，
理由：连接，，过点作，分别交、于点、，如图所示：
四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，
，，
是的垂直平分线，
，
在与中，
，
，
；
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即，
故答案为：；
拓展提高：延长交于，如图所示：
则，
，
在中，，
，
由折叠的性质得：，
故答案为：．
问题探究：过点作交于点，则四边形为平行四边形，得出，，由证得≌，得出，即可得出结论；
连接，过点作，分别交、于点、，则四边形为矩形，得出，，，证是等腰直角三角形，得，，根据全等三角形的性质即可得到结论；
由证得≌，得，证，得是等腰直角三角形，即可得出结果；
拓展提高：延长交于，则，得，由勾股定理得和折叠的性质即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．