华师大版八年级上册第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理3 角平分线复习练习题

这是一份华师大版八年级上册第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理3 角平分线复习练习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

13.5.3 角平分线（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（     ）

A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（        ）      

A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　 ）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ）

A．40 B．42 C．46 D．48
5．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（        ）

A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
6．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（     ）

A．40° B．35° C．30° D．20°
7．如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　 　）

A．三边的垂直平分线的交点上 B．三条角平分线的交点上
C．三条高线的交点上 D．三边中线的交点上
8．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（     ）

A．180° B．200° C．210° D．240°
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①当AB=BC时，AF=CF；②∠AOB＝90°+∠C；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（     ）

A．①②③ B．①④ C．③④ D．①②③④
二、填空题(共10个小题)
11．如图，在△ABC中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，则线段的长为______．

12．如图，在Rt△ABC中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为________．

13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 _____．

14．如图，，，垂足分别为、，、相交于点，且平分，，则______．

15．如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则____________．

16．如图，已知，，，是的中点，只需添加_______，就可使，分别为和的平分线．

17．如图，在Rt△ABC中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为_______．

18．如图，已知ABCD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ______．

19．如图，在△ABC中，，点P在的平分线上，将沿对折，使点B恰好落在边上的点D处，连接，若，则______．

20．如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是______________．

三、解答题(共3个小题)
21．如图，已知AC平分于E，于F，且，

(1)求证：；
(2)若，求DF的长．




22．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．

(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．





23．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；并证明．
（3）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．







13.5.3 角平分线解析
1．
【答案】D
【详解】解：连接PQ，

当PQ⊥OM时，
∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，
∴PQ=PA，
此时点P到OM的距离PQ最小，
∴PA≤PQ，
故选：D．
2．
【答案】C
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．
综上，正确的个数的3个，
故选：C．
3．
【答案】B
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3.
故选：B.

4．
【答案】A
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=5，
∴四边形ABCD的面积．
故选：A．
5．
【答案】C
【详解】解：如图：连接AP，

∵PR=PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
在Rt△APR与Rt△APS中，

∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，
∴AS=AR，故①正确；
∵AQ=PQ，
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，
∴，②正确；
BC只是过点P，并没有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
6．
【答案】B
【详解】解：设△BCD中BC边上的高为：h1，△ABD中AB边上的高为：h2，
∵BC=1，AB=3，S△BCD：S△ABD=1：3，

∴h1=h2，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD==35°．
故选：B．
7．
【答案】B
【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：B．
8．
【答案】B
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选：B．
9．
【答案】A
【详解】解：过点作于，如图，

是△ABC的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
10．
【答案】D
【详解】解：当时，△ABC为等腰三角形
∵BF平分
∴ ，
∴
在△BFA和中，
∴
∴
∴①正确．
和的平分线相交于点，
，，

∴②正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，，
∴
，
，

，
在和中，，
∴
，
，故③正确；
如图，作于点，于点

和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
∴

∴



∴④正确．
故选：D．
11．
【答案】3
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，
∴BD=DF=2，FE=CE，
∴CE=DE﹣DF=5﹣2=3．
故答案为3．
12．
【答案】12
【详解】解：∵，，
∴∠BED=∠BCD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在Rt△EBD和Rt△CBD中，
，
Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），
∴BE=BC，ED=CD，
∵的周长为，
∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，
∵的周长为，
∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，
∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，
∴BC=12．
故答案为12．
13．
【答案】9
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，

∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，
∴AD=DE，
又∵BC=6，AD=3，
∴AD=DE=3，
∴．
故答案为：9．
14．
【答案】2
【详解】解：∵，，
∴，．
∵平分，
∴．
故答案为：2．
15．
【答案】45°
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CB，交CB延长线于H，作EF⊥AC，交CA延长线于F，作EG⊥AB于G．

∵CE平分∠ACB，
∴EH=EF，
∴BE平分∠ABD，
∴EH=EG，
∴EF=EG，
∴AE平分∠FAB．
∵∠FAB=180°-∠BAC=160°，
∴∠EAB=80°，
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC=110°，
∴∠ABE=55°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠ABE=45°．
故答案为：45°
16．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：只需添加，就可使，分别为和的平分线．
理由：，，，且点在的内部，
点在的角平分线上，即为的平分线，
点是的中点，
，
，
又，点在的内部，
点在的角平分线上，即为的平分线，
故答案为：（答案不唯一）．
17．
【答案】9
【详解】解：过作于，

，
，
∵BD平分，，
，
点为的中点，，
，
的面积，
故答案为：．
18．
【答案】3
【详解】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，
∵ABCD，

∴ON⊥CD，OM⊥AB，
∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，
∴OM＝OE，
∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，
∴OE＝ON，
∴OM＝ON，
∵OE＝1.5，
∴MN＝OM+ON＝3，
故答案为：3．
19．
【答案】
【详解】解：如下图所所示，连接，

∵点P在的平分线上，
∴，
∵，
∴,
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵ ,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵
∴,
∴．
20．
【答案】①②③④
【详解】解∵点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
DE＝DF，故①正确，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
Rt△ADERt△ADF（HL），
AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，故②正确，
BC⊥AD，
∠ADB＝∠ADC＝90 ，
ADB－∠ADE＝∠ADC－∠ADF，
∠EDB＝∠FDC，故④正确；
∠ABD＋∠EDB＝90°，∠ACD＋∠FDC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD，故③正确，
故答案为：①②③④
21．
【答案】(1)见解析;(2)DF=6
【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，
∵在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF （HL），
即．
（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=EB，设DF=EB=x，
∵在Rt△CAF和Rt△CAE中，
∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），
∴AF=AE，即：AD+DF=AB-BE，
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x，
∴9+x=21-x，解得：x=6，
∴DF=6．
22．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
23．
【答案】（1）图见解析；（2）FE＝FD，证明见解析；（3）成立，证明见解析
【详解】解：图①如图所示：作PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，则有△AOP≌△BOP．

证明：∵OP是∠MON的平分线
∴∠AOP=∠BOP．
∵∠OAP=∠OBP，∠AOP=∠BOP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP（AAS）．
（2）FE＝FD，证明过程如下：
证明：如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FK，
∵∠ACB是直角，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°．
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵∠ACB是直角，FH⊥BC于H，
∴，
∴．
又∵，，，
∴，
∴，
∴∠EFG＝∠DFH=15°．
又∵∠EFG＝∠DFH，FG＝FH，∠EGF＝∠DHF，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE＝FD．

（3）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FK，
在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，
∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，
在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，
∴∠EFG＝∠DFH，
∵∠EFG＝∠DFH，FG＝FH，∠EGF＝∠DHF，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE＝FD．