专题06 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
精讲温故知新
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）



得出的结论



大致图象（）



得出的结论



综合结论（不讨论）



例1：1．（多选）若关于x的方程的两根为正数包含等根，则m的取值可以是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由一元二次函数零点的分布可得答案.
【详解】
由题意，构建函数，
因为关于x的方程的两根为正数包含等根， 所以，
解得， 
故选：BCD.
2.已知函数．
（1）若时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若的一个零点小于，另一个零点大于，求的范围.
【答案】（1） ； ；（2）
【分析】
（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值；
（2）由题意得，即可得到答案；
【详解】
（1）当时，函数的对称轴为，
，，
。
（2）由题意得，，解得：。
【点睛】
本题考查二次函数在闭区间上的最值、零点分布，考查数形结合思想，考查运算求解能力.

举一反三
1．已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）最大值0，最小值；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据，得到，由二次函数性质，即可得出结果；
（Ⅱ）由题意得到方程有两个不相等正根，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）若，则，
因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此；又，，
所以；
（Ⅱ）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，
则，解得．
【点睛】
本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.表二：（两根与的大小比较）

分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）



得出的结论



大致图象（）



得出的结论



综合结论（不讨论）



例2：1．函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列出函数的两个不同的零点均大于时的不等式组，求得，进而结合选项判断即可.
【详解】
解：因为函数的两个不同的零点均大于，
所以，解得.
所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；
选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.故选：B.
举一反三
1．（多选）已知方程的两个根一个大于2，一个小于2，则下列选项中满足要求的实数m的值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的分布，列出满足的不等关系，求得其范围，再结合选项进行选择即可.
【详解】
根据题意方程的两个根一个大于2，一个小于2，
则对，满足即可，即，解得.
选项中满足的有或.故选：.
2．若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据题意，由求解.
【详解】令，因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，
所以，解得，所以实数的取值范围为，
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在内，另一根在内，
大致图象（）



得出的结论


或
大致图象（）



得出的结论


或
综合结论（不讨论）
——————


根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是


（1）时，； （2）时，
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；
（2） 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

例3：1．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
2．若函数的两个零点分别为，且有，试求出的取值范围．
【答案】.
【分析】
根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数的取值范围．
【详解】
令，
则得的取值范围是．
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．

举一反三
1．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022 （m A．α C．m<α<β 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质判断．
【详解】
记，由题意，，的图象是开口向上的抛物线，
所以上递减，在上递增，
又，，所以，，即．
（也可由的图象向下平移2022个单位得的图象得出判断）
故选：C．
2．若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（       ）
A．（2，5） B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，由二次函数图象性质可知满足且计算即可得出结果.
【详解】
令，且，
所以只需满足且即可，
即且，解得，
故选:B.
2．已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）最大值0，最小值；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据，得到，由二次函数性质，即可得出结果；
（Ⅱ）由题意得到方程有两个不相等正根，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）若，则，
因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此；又，，
所以；
（Ⅱ）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，
则，解得．
【点睛】
本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：


即

图象



最大、最小值



对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，则，；
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例4：1.函数在上有最大值5和最小值2，求的值。
解：对称轴，故函数在区间上单调。
（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；
（2）当时，函数在区间上是减函数，故
2、求函数的最小值。
解：对称轴
（1）当时，（2）当时，；（3）当时，
变式：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当时，；
（2）当时，。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当时，，；
（2）当时， ，；
（3）当时，，；
（4）当时， ，。
3、求函数在区间上的最小值。
解：对称轴
（1）当即时，；（2）当即时，；
（3）当即时，
例5、讨论函数的最小值。
解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当时，； （2）当时，；
（3）当时，
举一反三
1．已知函数f (x)，，则函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.
【详解】
,对称轴,当,又因为,
所以函数的值域为.
故选:D
2．（多选））若函数的定义域为，则（       ）
A．， B．当时，取得最小值
C．的最大值为2 D．的图象与直线有2个交点
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，将函数转化为，逐项判断.
【详解】
令，则，，
所以．
当，即时，，A错误，B正确；
当，即时，，C正确；
因为．所以的图象与直线只有1个交点，
即的图象与直线只有1个交点，D错误．
故选：BC
3．函数的单调递减区间是______，最大值为______．
【答案】     （也可写为）     4
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出减区间与最大值．
【详解】
由题意，，解得，
故函数的定义域为.
函数是定义域上的增函数，
二次函数的对称轴为，在上的增区间为，减区间为，
故函数的单调递减区间为，
当时，有最大值．
故答案为：（也可写为），4
4．已知函数．
(1)已知m=-3，求函数在区间上的最大值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)8
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析对称轴与区间的位置关系，讨论函数的最大值即可；
（2）时，恒成立的等价条件为，求出不等式组的解可确定的取值范围．
(1)
当时，函数的图象开口向上，对称轴为，区间的中心为，故当时取得
(2)
恒成立，只需在区间上的最大值即可，所以，得，所以实数的取值范围是，即
精练巩固提升
一、单选题
1．已知，则的最大值是（       ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，即可求解的最大值．
【详解】
因为，则
所以，故的最大值是
故选：B
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（       ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
故选：B.
3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（       ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数性质求得最小值，由最小值得值，从而再求得最大值．
【详解】
∵在上单调递增，∴其最小值为，
∴其最大值为.
故选：A．
4．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】
二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
3．设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得，由可得，进而判断两集合关系，即可得到答案.
【详解】
由，则，解得；
由，方程的两根为，，
则，解得，
因为Ü ，所以是的充分不必要条件，
故选：A
6．若函数在上的最小值为-1，则（       ）
A．2或 B．1或 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间的关系，求出其最小值，列方程可求出的值
【详解】
函数图象的对称轴为，图象开口向上，
（1）当时，函数在上单调递增．则，由，得，不符合；
（2）当时．则，由，得或，又，符合；
（3）当时，函数在上单调递减，
，由，得，
又，不符合，
综上可得．
故选：D
7．已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将不等式变形为，然后分a＝4，a＝0，0＜a＜4，a＞4四种情况，分别求出不等式的解集，分析求解即可．
【详解】
由题意可知，a≥0，则不等式（4x﹣3）2≤4ax2可变形为（4x﹣3）2﹣4ax2≤0，
即，
①当a＝4时，不等式为﹣24x+9≤0，解得x≥，不符合题意；
②当a≠4时，不等式为关于x的一元二次不等式，
若，即a＝0时，不等式的解集为{}，不符合题意；
若，即0＜a＜4时，不等式的解集为，又，
所以如果恰有三个整数，只能是1，2，3，
故，解得；
若，即a＞4时，不等式的解集为或，
不会恰好有三个整数解，不符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D．
8．若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（       ）
A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关
C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关
【答案】A
【解析】
【分析】
讨论、、，利用二次函数的性质求的最值，结合已知求，即可判断与参数a、b是否有关.
【详解】
函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，
①当时，在上单调递减，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
②当时，在上单调递增，则，，
此时，故的值与a无关，与b有关，
③当时，，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
若时，，有，
，故的值与a无关，与b有关，
综上：的值与a无关，与b有关.
故选：A.
二、多选题
9．函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.
【详解】
因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
10．已知函数的定义域为，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为，则实数可取（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用二次函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】
函数是开口向上，对称轴为的抛物线，
∵函数的定义域为，
∴当时，，当时，，
∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为，
∴当时，或，∴，

故选：BC．
三、填空题
11．已知f(x＋1)＝x2＋2x＋4，则f(x)的最小值为____________.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：令，则，
故，
所以，
所以.
故答案为：3.
12．函数在[1，m]内的值域为[4，0]，则实数m需满足___________.
【答案】[1，3]
【解析】
【分析】
由可得，或，当时，，再结二次函数的性质可求得实数m的范围
【详解】
由可得，或，
因为，
所以，
因为函数在[1，m]内的值域为[4，0]，
所以，即实数m的范围为[1，3]，
故答案为：[1，3]
13．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据实数a的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】
当时，，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为：，
因为函数在内恰有一个零点，所以有：
，或，即或，
解得：，或，
综上所述：实数a的取值范围为，
故答案为：
14．已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，可转化为有两个正解，进而可得参数范围.
【详解】
设，
由有两个零点，
即方程有两个正解，
所以，解得，
即，
故答案为：.
15．方程有不同的四个解，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得函数与有四个交点，利用数形结合即得.
【详解】
∵方程有不同的四个解，
∴函数与有四个交点，
作出函数与的图象，

由图可得，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
16．知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m的范围.
【详解】
由解析式知：在上为增函数且，
在上，时为单调函数，时无零点，
故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，
所以在上必递减且，则，可得.
故答案为：