湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试卷（A卷）含答案

株洲市二中2022年高一入学考试数学试题（A卷）

一、单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，共8题40分）

1．已知x，y为非零实数，则集合为（    ）

A．     B．     C．     D．

2．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ）

A．3     B．4     C．7     D．8

3．已知正实数a、b满足，则的最小值为（    ）

A．4     B．6     C．9     D．10

4．已知集合，则（    ）．

A．     B．     C．     D．A与B关系不确定

5．集合，若，则实数a的取值范围是（    ）．

A．     B．     C．     D．

6．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（

A．大于     B．小于     C．等于     D．以上都有可能

7．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ）．

A．     B．     C．     D．

8．已知集合，若且集合B中恰有2个元素，则满足条件的集合B的个数为（    ）

A．1     B．3     C．6     D．10

二、多选题（每题5分，共20分，每题至少有2个选项为正确答案，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列命题中，真命题是（    ）．

A．若，则“”是“x，y至少有一个大于1”的充分不必要条件

B．

C．的充要条件是

D．命题“”的否定形式是“”

10．下列不等式一定成立的是（    ）．

A．          B．

C．     D．若，则

11．己知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（    ）．

A．     B．     C．     D．5

12．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）．

A．有最小值                B．有最大值

C．有最小值     D．有最小值

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．设集合，且，则_____________．

14．已知，且，则的最小值为_____________．

15．已知，则的取值范围是_____________．

16．正数a，b满足，若存在a，b满足不等式有解，则实数x的取值范围为_____________．

四、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）

17．已知集合．

（1）求；

（2）若，求a的取值范围．

18．已知不等式的解集为，求不等式的解集．

19．设函数．

（1）解关于x的不等式；

（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

20．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题．

（1）求实数m的取值集合B；

（2）设不等式的解集为A，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

21．己知命题p：关于x的方程的两根均在区在内．

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）命题，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

22．设二次函数．

（Ⅰ）若对任意实数恒成立，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数m的取值范围．

株洲市二中2022年高一入学考试数学试题（A卷）

答案

一、单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，共8题40分）

1．【答案】B

【解析】当时，，当时，．

若x，y异号，不妨设，则．

因此或，则．

2．【答案】D【详解】，则

图中阴影部分表示的集合为

集合的子集有（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8．

3．【答案】C

【解析】

当且仅当，即时，取等号，故则的最小值为9．

4．【答案】A

【解析】，故按子集的定义，必有．

5．【答案】A

【解析】解：，

①当时，即无解，此时，满足题意．

②当时，即有解，当时，可得。要使，则需要，解得．

当时，可得，要使，则需要，解得．

综上，实数a的取值范围是．

6．【答案】A

【解析】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂上为a，右臂长为b（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为

由杠杠平衡原理可得，，所以，这样可知称出的黄金大于．

7．【答案】C 【解析】命题为假命题，即命题为真命题，

首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，

综上可知，．

，即：是的一个充分不必要条件．

8．【答案】B

【解析】解：根据题意将两边平方得，

继续平方整理得：，故该方程有解．

所以，即，解得．

因为，故，

当时，，方程无非负根，不满足条件舍去；

当时，，方程有解，满足条件；

当时，，方程有解，满足条件；

当时，，方程有解，满足条件；

故，因为且集合B中恰有2个元素，所以B集合可以是．

三、多选题（每题5分，共20分，每题至少有2个选项为正确答案，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．【答案】AD

【解析】“”可以推出“x，y至少有一个大于1”，但“x，y至少有一个大于1”不能推出“”故A正确；当时，，故B错误；当时，满足，但不成立，故C错误；由含有一个量词的否定可得D是正确的．

10．【答案】BC

【解析】对于A中，当时，，所以A不正确；

对打B中，由，

当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；

对于C中，由，

可得，所以C正确；

对于D中，，可得，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确．

11．【答案】ABD

【解析】解不等式，得或

解方程，得

（1）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，依题意，则，即；

（2）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，依题意，则，即；

所以k的取值范围为．

12．【答案】BCD

【解析】设正实数a、b满足．

，当且仅当时，等号成立，的最大值为，A选项错误；

∵，则，

当且仅当时，等号成立，B选项正确；

，当且仅当时，等号成立，C选项正确；

，

当且仅当时，等号成立，D选项正确．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．【答案】

【解析】由题意，集合，且，

可得是方程的根，即，解得，

所以，则．

14．【答案】

【解析】依题意，所以

当且仅当时等号成立．

15．【答案】

【解析】设，因此得：，

，

因为，所以，因此，

所以．

16．【答案】

【详解】由题意，正实数a，b满足，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为4，

又由不等式有解，可得，即，

解得或，即实数x的取值范围为．

四、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）

17．【解析】（1）因为，所以．

因为，所以，所以．

（2）因为，且，所以，所以a的取值范围是．

18．【解析】∵的解集为{，

∴且和4是方程的根．

，解得．

∴可化为，

即即，解得且．

∴不等式的解集为．

19．【解析】

（1）当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

（2）因为，所以由可得，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以．所以a的取值范围为．

或利用含参函数分类讨论

函数的对称轴为．

（1）当，即；解得，所以

（2）当，即；解得

所以

综上所述：a的取值范围为．

20．【解析】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，

得在时恒成立，∴，得，即．

（2）不等式可化为，

①当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则A是B的真子集，∴，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件；

③当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则A是B的真子集，∴，此时．

综上①②③可得．

21．【解析】（1）由得，

所以或，

因为命题p为真命题，所以，得．

所以实数m的取值范围为

（2）设集合，集合，

因为p是q的必要不充分条件，所以，

当时，，解得；满足题意

当时，解得．当时，两集合相等，不合题意舍去∴

综上所述：，所以存在实数，满足条件．

22．【解析】（1）对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，是关于m的一次函数，

所以，即解得或

所以实数x的取值范围

（2）存在，使得成立，即在的最小值

函数的对称轴为．

（1）当，即；解得，所以

（2）当，即；解得或

所以或

（3）当，即；解得，所以

综上所述：实数m的取值范围