湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试卷word版含解析

湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一第一学期入学考试

数学

一､选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知且，则的最小值为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 13

【答案】B

【解析】

【分析】利用已知求出，将转化为关于x的二次函数，即可求得答案.

【详解】因为且，故，

所以，则 ，

则令，

当时，函数递增，

故当时，取到最小值，

即的最小值为3，

故选：B

2. 是锐角三角形的两条高，如果，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求解．

【详解】解：如图．

，，

则，

又，

．

故选：B．

3. 关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】讨论a，确定，则可将化为，

令，结合二次函数知识可得，即可求得答案.

【详解】当时，即为，不符合题意；

故，即为，

令，

由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，

则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故时，，即，解得，故，

故选：D

4. 在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据溶液浓度溶质，可得到两个方程，解方程组即可．

【详解】解：设原盐水溶液为克，其中含纯盐克，后加入“一杯水”为克，

依题意得：，

解得，

故原盐水的浓度为，

故选：B．

5. 已知是两个连续自然数，且，设，则（    ）

A. 总是奇数 B. 总是偶数

C. 有时是奇数，有时是偶数 D. 有时是有理数，有时是无理数

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，则可用m表示出，继而表示出，即可判断出答案.

【详解】因为是两个连续自然数，故 ，

所以由得：，

所以，，

所以，

故p总是奇数，

故选：A

6. 为正三角形内部一点，于于于，则（    ）

A. 的值不变

B. 的值不变

C. 的值不变

D. 的值不变

【答案】C

【解析】

【分析】根据，得到，即可求得为定值，得到答案.

【详解】设正的边长为，则的周长为，面积为，

因为，可得，

即，

所以（定值）.

故选：C.

二､填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

7. 若，则___________.

【答案】3

【解析】

【分析】观察两式相加可得答案.

【详解】因为，

所以

则.

故答案为：3.

8. 关于的二次式可以分解为两个一次因式的乘积,则的值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用待定系数法，设原式分解为，展开对比系数，解方程组求得.

【详解】设，

∵，

∴，

解得，

又∵，∴，

∵，∴，

∴

故答案为：

9. 如图，在中，平分于，点是的中点，，则关于的函数关系式为___________.

【答案】

【解析】

【分析】延长BD，交AC于F，结合中垂线和中位线的性质，可得，即可求关系式

【详解】延长BD，交AC于F，

∵AD平分，∴，

又∵是的中点，所以，即，

故答案为：

10. 袋中装有3个红球，1个白球，它们除了颜色以外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为___________.

【答案】##0.5625

【解析】

【分析】画出树状图，然后按照古典概型求解即可

【详解】解：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种，故两次都摸到红球的概率为，

故答案为：

11. 光线从如图所示的角度照射到平面镜上，然后在两平面镜之间来回反射，已知，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角和角之间的相互转换来求解 ．

【详解】解：如图所示， 过作，垂足，

则，，

，

过作，垂足为，

，

，

过作，垂足为，

则，，

，

，

．

故答案为：．

12. 在平面直角坐标系中，已知的坐标为，将其绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到使，再将绕原点按逆时针方向旋转得到，延长到使，如此继续下去，则点的坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，，由条件求出数列，的通项公式，由此确定点的坐标.

【详解】设，当，时，，，

则由已知可得，，，，

，，，，

由规律可得当时，点，将绕原点按逆时针方向旋转得到，

所以，，，，

所以，，

故数列为首项为，公差为的等差数列，为首项为1，公比为2的等比数列，所以，，

所以，，

所以，，

故点的横坐标为，

点的横坐标为，

故点的坐标为，

故答案为：.

13. 一圆周上有三点，，，的平分线交边于，交圆于，已知，，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据角平分线的性质得出，求出与的长，再利用相交弦定理求出即可．

【详解】解：的平分线交边于，交圆于，

，

，，，

，

解得，，

．

故答案为：．

14. 在锐角中，高，交于点，，的面积为，则的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】本题需先根据高与相交，，得出，再设出，证出与相似，从而得出的面积的值．

【详解】解：，，

，

，，

设，则，，

，同理，

，

，

，

．

故答案为：．

15. 方程的解为___________.

【答案】

【解析】

【分析】把无理方程左右两边平方后，左边利用完全平方公式及平方差公式化简，右边利用完全平方公式展开，然后分大于等于和小于两种情况，把绝对值方程化简，即可求出方程的解得到的值，经检验，得到符合题意的方程的解．

【详解】解：因为，

两边平方得：，

化简得：，

当即时，得到即，

解得（舍去）或；

当即，得到，即，

解得（舍去）或，又即，所以也舍去，

综上，经检验，是原无理方程的解．

故答案为：

16. 下列命题：

①若，则；

②若，且，则；

③若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上､下两底长都是整数，则该梯形的高为；

④已知方程的一个根为1，另一个根的取值范围是.

其中正确的命题的序号为___________.

【答案】②③④

【解析】

【分析】对①，由可方便求得x，即可判断；

对②，由题得且，即可进一步求解判断；

对③，设上､下两底长为，则高，结合的范围，即可求得确定解；

对④，方程一根为1，则，可得，设另一个根为k，方程可化为，可得，即，解不等式即可

【详解】对①，，则，①错；

对②，，则且，即，又，∴，∴，②对；

对③，设上､下两底长为，则高，即，

即，∵，故可得或，

可解得（舍），，故，该梯形的高为，③对；

对④，设另一个根为k，一个根为1，则，∴，

则方程可化为，即，∴，∴，结合，可解得，故④对.

故答案：②③④

三､解答题（本大题共6小题，共50分）

17. 设，求的值.

【答案】

【解析】

【分析】由得，将代入第一个分式、将代入第三个分式，再将第一个分式分子、分母都除以，第三个分式化简，最后根据分式的加法即可得答案．

【详解】解：，

，

，

．

18. 已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC长为5．

（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形．

（2）为何值时，是等腰三角形，并求此时三角形的周长．

【答案】（1）（2）14或16

【解析】

【详解】试题分析：（1）由根与系数的关系得到的关系式，由于三角形是直角三角形，因此满足，代入后得到关于的方程，解得值；（2）是等腰三角形有①

②③三种情况，分别讨论得到值

试题解析：（1）因为是方程的两个实数根，

所以

又因为是以为斜边的直角三角形，且

所以,所以,

即，所以所以

当时，方程为，解得

当时，方程为，解得（不合题意，舍去）

所以当时，是以为斜边的直角三角形．

（2）若是等腰三角形，则有①②③

三种情况．

因为，所以，故第①种情况不成立．

所以当或时,5是的根

所以，解得

当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、4，周长是14

当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、6，周长是16

考点：1．二次方程根与系数的关系；2．分情况讨论

19. 如图，在中，为边上一点，与分别为和的平分线.

（1）判断是什么三角形，并证明你的结论；

（2）比较与的大小；

（3）以为直径的交于点，连接与交于，若，，求证：，并求的值.

【答案】（1）为直角三角形，证明见解析   

（2）   

（3）证明见解析，

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形及角平分线得到，即可得证；

（2）可通过平行和角平分线，通过等角对等边得出，同理可证出，即可得证．

（3）通过证明，，即可得到两三角形相似，过点作，交于点，利用勾股定理求出，再由锐角三角函数求出，即可得解.

【小问1详解】

解： 是直角三角形，理由如下：

，

；

又与分别平分和

，，

，

是直角三角形；

【小问2详解】

解：，，

，，

，同理可证，

．

【小问3详解】

证明：是直径，

．

为角平分线，即，

，

过点作，交于点，

因为为等腰三角形，所以为的中点，

因为，，所以，

所以，

所以，又，，

所以，

．

20. 已知是的内接三角形，为的切线，为切点，为直线上一点，过点作的平行线交直线于点，交直线于点.

（1）当点在线段上时，求证：；

（2）当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；

（3）若，求的半径.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析    （3）3

【解析】

【分析】（1）利用平行和圆的切线性质证明可得答案；

（2）利用平行和圆的切线性质证明可得答案；

（3）利用，可得，中，由 可得答案.

【小问1详解】

点在线段上时，因为为的切线，为切点，

所以，因为，所以，

所以，因为，所以，

所以，所以；

【小问2详解】

当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论仍然成立，理由如下，

因为为的切线，为切点，

所以，因为，所以，

所以，因为，所以，

所以，所以；

【小问3详解】

做直径，连接，所以，

因为为的切线，为切点，

所以，因为，所以，

因为，为锐角，所以，

在中，因为， ，

所以，所以半径为3.

21. 如图所示，已知两点的坐标分别为和，动点从点开始，在线段上以每秒3个长度单位的速度向原点运动，动直线从轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即轴），且分别与轴､线段交于点，连接，设动点与动直线同时出发，运动时间为.

（1）当时，求梯形的面积.为何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？

（2）当梯形的面积等于三角形的面积时，求线段的长.

（3）设的值分别取时，所对应的三角形分别为和，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论.

【答案】（1）当秒时，梯形的面积最大，最大值为28   

（2）   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求出梯形的上下底和高，利用梯形的面积公式可得答案；

（2利用梯形的面积等于三角形的面积可得线段的长；

（3）利用对应边成比例、夹角相等可得答案.

【小问1详解】

，

设运动时间为秒，梯形的面积为，则，

所以当秒时，梯形的面积最大，最大值为28；

【小问2详解】

当时，，解得，（舍去），

当秒时，做轴于点，此时为等腰直角三角形，，

，所以，所以；

【小问3详解】

是相似，理由如下：

由且，可得.

22. 如图，已知点，过点的与直线相切于点（在第二象限），点关于轴的对称点是，直线与轴相交点.

（1）求证：点在直线上；

（2）求以为顶点且过的拋物线的解析式；

（3）设过点且平行于轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为，当与相切时，求的半径和切点坐标.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由切割线定理求出的长，顶点和的坐标，进一步求出的坐标，设直线的解析式是，代入可得解析式，再代入坐标判断即可；

（2）设抛物线的解析式可设为，将坐标代入，可得答案；

（3）过点且平行于轴的直线为，和抛物线方程联立解得，坐标，可得以点为圆心且与相切的圆有两种情况外切和内切，分情况求半径和切点坐标即可.

【小问1详解】

由题意，因为与相切与，是圆的割线，

所以即，，

因为在第二象限，关于轴的对称点是，所以，

可得，设直线的解析式是，

代入得，解得，

直线的解析式是，

当时，，即点直线上；

【小问2详解】

因为所求抛物线以为顶点，所以抛物线的解析式可设为，将坐标代入，可得，所以抛物线解析式为，

以为顶点且过的拋物线的解析式为；

【小问3详解】

过点且平行于轴的直线为，由和联立解得

，，所以，，

以点为圆心且与相切的圆有两种情况：外切和内切，

当圆与外切时，，所以圆半径为2 ，点就是切点，