3.3.1导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第三章 导数
3.3.1导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（题型战法）
题型战法
一 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4、问题：对任意，均存在，使得成立，可转化为求参数的取值范围。

二 对于利用导数研究零点问题的求解策略：
1、研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况；
2、函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．

三 对于利用导数证明不等式的求解策略：
1、 不含参的不等式证明过程：移项，构造新函数，求函数的最值。
2、含n的不等式证明：观察问题形式（或由前面的问题），得出所需构造的不等式，构造新函数，利用函数的最值证明所构造的不等式成立，从而证明原不等式成立。


题型战法
题型战法一 利用导数处理恒成立问题
典例1．设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数与0的关系即可得单调区间；
（2）利用分离参数思想，求出的最小值即可得结果；
(1)
函数的定义域为

由，得；由，得．
∴的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
由（1）可知在上单调递减，在上单调递增．
所以
∵对任意的，都有成立
即对任意的，都有成立
∴
∴实数a的取值范围为
变式1-1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.
【详解】
解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
变式1-2．已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值.
（2）因为，，即恒成立，即.
设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.
变式1-3．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究的单调性即可.
（2）由分析法：只需证即可，构造，利用导数证明结论得证.
【详解】
（1）函数的定义域为，当时，，
∴，，
∴当或时，，在，单调递减，
当时，， 在单调递增.
故的单调递增区间为，单调递减区间为，.
（2）要证，只需证，
∵，，
∴，
设，则，
∴在单调递增，，
∴，得证.
变式1-4．已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）是的极小值点，无极大值点；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究函数的极值点.
（2）由题设知：在上恒成立，构造并应用导数研究单调性求最小值，即可求的范围．
【详解】
（1）由题设，，
∴时，，单调递减；时，，单调递增减；
∴是的极小值点，无极大值点.
（2）由题设，对恒成立，即在上恒成立，
令，则，
∴时，，递减；时，，递增；
∴，故.

题型战法二 利用导数处理能成立问题
典例2．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据和，解得即可得解；
（2）转化为，再利用导数求出函数在上的最小值，然后解不等式可得结果.
(1)
∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
经检验，时，满足题意,
∴；
(2)
存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最小值为，
∴，解得或，
所以的取值范围是．
变式2-1．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：当时，，可知的定义域为，
则，
可知当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数，
，
令，即，解得：或（舍去），
当，即时，，在上单调递减，
，得，
又，所以；
当时，即时，，在上单调递增，
，得，不合题意；
当，即时，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，
即，不符合题意；
综上得，实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：
（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.
变式2-2．已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【解析】
【分析】
（1）求导得，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．
【详解】
（1），
由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
，
函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
则若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，
即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，
令g（x）＝，x＞1，
g′（x）＝
＝ ，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）•，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，
又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
又，
所以a＜1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
变式2-3．已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）①；②减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，①根据题意得到，即可求得的值；
②由①知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；
（2）设，根据存在，使得成立，得到成立，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，且，
①因为在点处的切线斜率为，可得，解得.
②由①得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，
综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）因为，由，即，
即，设
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以，即实数的取值范围是.
变式2-4．已知函数.
（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）时，在单增；，在单增，在单减；（3）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，将切线横坐标代入得到斜率，再求出切点纵坐标，最后写出切线方程；
（2）求导后，通分，分两种情况讨论得到单调区间；
（3）当时，代特值验证即可，当时，函数最大值大于0，解出即可.
【详解】
由题意，
所以所以切线方程为：.
（2），若，则，在单增；
若，则时，，单增；时，，单减.
（3）由（2），若，则，满足题意；
若，，则，
综上：.

题型战法三 利用导数处理恒、能成立结合问题
典例3．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为、上，利用二次函数性质及导数求函数最值，即可得结果.
(1)
由题设，则，
所以在上，递增，在上，递减，
则，极大值，
综上，最大值为，最小值为.
(2)
由在上，
根据题意，只需即可，
由且，
当时，，此时递增且值域为R，所以满足题设；
当时，上，递增；上，递减；
所以，此时，可得，
综上，a的取值范围.
【点睛】
关键点点睛：第二问，将问题转化为、上求参数范围.
变式3-1．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）首先对函数求导，根据的取值情况判断的正负情况，进而得到的增减情况；
（2）对任意，存在，使得成立，等价于，然后对进行讨论，分别求函数的最值，进而得到结论.
(1)
因为，
所以．
当时，与的变化情况如表所示：






0


单调递增

单调递减

所以当时，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为．
(2)
当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,
所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，
等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或，
所以．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得，
所以.
综上所述，的取值范围是．
变式3-2．已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，由得，再利用由、可得答案；
（2）转化为时，，容易求出，
所以只须 ，，讨论、可得答案.
(1)
，由得，
，
由得，由得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
若要命题成立，只须当时，，
由可知 当时，
所以只须
对来说，，
（1）当时，在上有，∴
这时，由得；
（2）当时，，
设，则，
∴在递减，，
∴当时，，
综上所述，满足题意的.
【点睛】
本题考查了对任意，均存在，使得，转化为求参数的取值范围的问题，考查了学生的思维能力、运算能力.
变式3-3．已知函数，f'x为的导函数．
(1)求的定义域和导函数；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在单减，也单减，无增区间
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；
（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；
（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.
(1)
解：的定义域为，；
(2)
解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
(3)
解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，．
【点睛】
本题考查了函数的定义域及导数的四则运算，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了计算能力及数据分析能力，对不等式恒成立合理变形转化为求最值是解题关键.
变式3-4．已知函数，其中.
(1)求的单调区间；
(2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，，分，，由，求解；
（2）将，对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令（），用导数法求其最小值即可.
(1)
解：因为，，
所以当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)
由已知得，对任意恒成立，
即为对任意恒成立，即对任意恒成立，
令（），则，
当时，，
所以在上单调递增，，即，矛盾，故舍去；
当，由，得，由，得，
所以在上单调递减，单调递增，
所以（），
所以（）恒成立，
令，则，
当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，
所以，
因为，所以，又，，
所以不存在整数使得成立，
综上所述，不存在满足条件的整数

题型战法四 利用导数讨论零点的个数
典例4．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，讨论的零点个数.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求得导数，结合上，导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）求得，分、，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合零点的存在定理，得到结论.
(1)
解：当时，函数，
可得.
当在区间上变化时，，f（x）的变化如下表：
x
0





0
+
0
-

f（x）
极小值1

极大值

-1
所以的单调增区间为；的单调减区间为.
(2)
解：由题意，函数，
可得
当时，在上恒成立，
所以时，，所以在上单调递增.
又因为，所以f（x）在上有0个零点.
当时，令，可得.
由可知存在唯一的使得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
①当，即时，在上有0个零点.
②当，即时，在上有1个零点.
综上可得，当时，有2个零点；当时，有0个零点.
变式4-1．已知
(1)当时，求的单调性；
(2)讨论的零点个数．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2)当，0个零点；当或，1个零点；，2个零点
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，可得，令，利用导数说明的单调性，即可求出的单调区间；
（2）依题意可得，令，则问题转化为，，当时显然不成立，当时，参变分离可得，令，，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象，数形结合即可得解；
(1)
解：因为，，
所以，
令，，所以在单增，且，
当时，当时，
所以当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增
(2)
解：因为
令，易知在上单调递增，且，
故的零点转化为即，
当时无解，
当时，令，，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，
所以的大致图象如下：

①当即时，与没有交点，故函数有0个零点；
②当或即或时，与有个交点，故函数有1个零点；
③当即时，与有个交点，故函数有2个零点；
综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；
变式4-2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，试讨论的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）对求导得，分、讨论得的单调性；
（2）由题意得的解析式，求导，分当、、、讨论，结合零点存在定理可得答案.
(1)
由题意得的定义域为.
，由，得，
①若，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
②若，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
，定义域为，
，
①当时，，在上单调递增，易知，
取，
则
，
又，所以根据零点存在定理知，在上有唯一零点.
②当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，
且，
令，解得.
则当时，在上有唯一零点；
当时，，在上没有零点；
当时，，且，
因为，，
所以由零点存在定理知，在上有唯一零点，在上有唯一零点.
综上，当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0；
当时，的零点个数为2.
【点睛】
本题求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，利用函数零点存在性定理说明存在零点个数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
变式4-3．已知函数
(1)求函数的单调区间.
(2)若，求函数在区间上的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
(1)根据求导公式和运算法则求出，利用导数分别研究当、时函数的单调性，即可得出函数的单调区间；
(2)由(1)，利用分类讨论的思想方法和导数研究函数当、时的单调性，根据零点的存在性定理即可得出结果.
(1)
由题意，得
当时，恒成立，所以在R上单调递增.
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)
由（1）可知当时，在上恒成立，
所以在上单调递增.
因为，
所以由零点存在性定理知，函数在上有1个零点，
当时，若，则，
若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可得，
①当时，，此时在上有1个零点
②当时，
因为当时，
所以此时在上有2个零点
③当时，，此时在上无零点.
综上，当或时，在上有1个零点，
当时在上有2个零点，
当时在上无零点.
变式4-4．设函数.
(1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围；
(2)当时，讨论函数零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数的取值范围；
（2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数.
(1)
由题意，函数g（x）的定义域为（0，+∞）.
∵g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴在（0，+∞）上恒成立，.
即当，恒成立，
∴，
∵当，，当且仅当x=1时取等号.
∴当时，
∴.
∴a的取值范围为（-∞，2]
(2)
显然不是f（x）的零点，∴f（x）=，
令，且则（x）=，..，，
∴h（x）在（0，）单调递减，在（，1），（1，+∞）单调递增，
∴在（0，1）时，h（x）有极小值；在（1，+∞）时，..
∴h（x）的图象如图：

∴时，f（x）零点个数为0；，f（x）零点个数为1；时，f（x）零点个数为2，..

题型战法五 根据零点个数求参数
典例5．已知，函数．
(1)求函数的极值：
(2)若函数无零点，求的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据的正负可得的单调性，由极值定义可求得结果；
（2）根据单调性可知，则只需，解不等式即可.
(1)
由题意得：定义域为，；
令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
(2)
由（1）知：的极小值即为的最小值，即；
若无零点，则，即，，解得：，
则的取值范围为.
变式5-1．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数至多有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)增区间为，，减区间为；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)求f(x)的导数，根据导数的正负判断f(x)单调性即可；
(2)，根据(1)问f(x)单调性作出f(x)近似图像，问题转为为函数y＝－a与函数y＝f(x)图像至多有两个交点.
(1)
依题意：，
故当时，，当时，，当时，，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
(2)
令，得.
∵，，结合f(x)单调性，作出f(x)图像：

∴至多有两个零点可转化为与至多有两个交点.
结合图像可知，或，
即实数a的取值范围为.
变式5-2．设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线三个交点时的的范围．
(1)
由已知可得：，令，即，
解得，，
所以当或时，，当时，.
所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为.
(2)
由（1）可知的图象的大致走势及走向，如图所示，

又，，
所以当时，直线与函数的图象有三个不同的交点，方程有三个不等实根.
变式5-3．已知函数（）
(1)求在处的切线方程；
(2)当有3个零点时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先利用导数求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可.
(1)
，切点为.
，，
所以切线方程为：.
(2)
，
令，解得，.
，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以的极大值为，极小值为.
因为有个零点时，所以，解得.
变式5-4．已知函数在处取得极值.
(1)求在上的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；
（2）依题意有唯一解，即函数与只有1个交点，由（1）可得函数的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
(1)
解：因为，所以，
在处取得极值，，即解得，
，所以，所以当或时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在上的最小值为.
(2)
解：由（1）知，，
若函数有且只有一个零点，
则方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，函数图象如下所示：

或，得或，
即b的取值范围为.

题型战法六 利用导数证明一般不等式
典例6．已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线.
（1）求、的值；
（2）证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由为函数与函数图象的交点，所以有，又在交点处有公共切线，根据导数的几何意义有，联立即可求解.
（2）构造函数，利用导数判断单调性并根据单调性求出最大值，求得即可证明.
【详解】
解：（1），，
由题意得解得，；
（2）证明：令，
则，
令，得，令，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
所以，即.
变式6-1．已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）构造函数，利用导数判断的单调性，从而证得不等式成立.
(1)
，，，
故曲线在点处的切线方程为.
即．
(2)
设，
则
．
由（1）知，又，
所以，所以在上单调递增，故，
所以，，．
变式6-2．已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论求解函数的极值即可.
（2）首先将题意转化为．令，即证：，再构造函数，求其最小值即可证明.
(1)
，当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
x




+
0
-

增函数
极大值
减函数

故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
(2)
显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
变式6-3．已知函数在处的极值为2，其中．
（1）求，的值；
（2）对任意的，证明恒有．
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.
（2）由于，要证不等式成立，转化为求解在时的最值，结合导数分析函数性质即可求解.
【详解】
（1），
由题意可得，
解得.
（2），
令，，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减且，
所以时，，
所以，即证.
变式6-4．已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
【答案】（1）极大值为 ，没有极小值；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）构造函数，证明函数在时恒成立.
【详解】
（1）
,
当时,；
当时,
当变化时,的变化情况如下表：









单调递增

单调递减

因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.
（2）令函数,
由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.
又
故在存在唯一零点.设为,则
当时,；当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减
又，
所以，当时,.
故.

题型战法七 利用导数证明含n的不等式
典例7．已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；
(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；
②证明：当时，．
【答案】(1)；极大值为，极小值为
(2)①；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导后，利用可求得的值，进而得到，由导函数正负可确定单调性，由极值定义可求得结果；
（2）①当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围；
②由①可得，令，可得，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前项和，由此可得结论.
(1)
，又在处取得极值，
，解得：，，
则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减，
的极大值为；极小值为；
综上所述：；极大值为，极小值为.
(2)
①，
令，则；
（i）.当，即时，恒成立，，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
（ii）.当，即或时，
令，解得：，；
当时，，在上恒成立，
则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；
当时，，又，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
②由①知：当时，在上恒成立，即；
令，则，；
，
，
即当时，.
变式7-1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的最大值为，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导之后，按和分类讨论即可（2）利用（1）的结论，先求得，从而得到不等式，再赋值累加，求和之后放缩即可证明
(1)
的定义域为

当时，在上恒成立，故在上单调递减
当时，，且时，，时，
即在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减
(2)
由（1）知，当时，在上单调递减，无最值
当时，在上单调递增，在上单调递减
则依题意，
设，
则，则且当时，；时，
所以当时，单调递减；当时，单调递增
所以
所以，当且仅当时取等号
所以
所以

令 ，则



不等式得证
变式7-2．已知函数.
(1)若在处的切线与直线平行，求的极值；
(2)若函数的图象恒在直线的下方.
①求实数的取值范围；
②求证：对任意正整数，都有.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)①；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，求出，求解单调性，再求极值即可；（2）①根据题意得，转化为，设，求的最值即可；②根据题意得，即，再分析求解即可.
(1)
由可得，
所以，即.
则，，
令可得，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，无极小值.
(2)
①由条件可知：只需，即在上恒成立，
即，而，所以，所以恒成立.
令，则，令可得，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，所以，即实数的取值范围是.
②因为，所以当时，，
即对任意的恒成立.令，则，
所以，
即，
所以，
因为，
所以，又，即
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
变式7-3．已知函数， .
(1)试讨论f（x）的单调性；
(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；
(3)求证: .
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，根据导数正负，判断函数的单调性；
（2）分类讨论，说明当时,符合题意；当时,不合题意，当时令函数的最大值小于等于0，求得答案;
（3）利用当 时，即，从而，进而，再采用累加，然后结合裂项求和的方法证明结论.
(1)
,             
若 则， 在 上单调递减；                  
若，则由,得,
当时,在上单调递增,            
当时,,在 上单调递减.
(2)
当时,符合题意；                              
当时,由（1）知在 上单调递减，
而 ，不合题意；                  
当时,结合（1）得，，
即，得，
综上，的取值范围是；
(3)
证明：由（2）知，当 时，即                       
所以，
所以，                  
所以 ，
即得证.
变式7-4．已知函数.
(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；
(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；
(3)求证：．
【答案】(1)函数在上为减函数，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数与函数单调性的关系可得出结论；
（2）由恒成立，即恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最大值；
（3）由（2）可得出，令，可得出，利用裂项法结合指数与对数互化可证得结论成立.
(1)
解：函数在上为减函数，证明如下：
因为，所以，
又因为，所以，，所以，
即函数在上为减函数.
(2)
解：由恒成立，即恒成立，
即，
设，其中，所以，
令，则，即在为增函数，
又 ，，
即存在唯一的实数，满足，
当时，，，当时，，，
即函数在为减函数，在为增函数，
则，
故整数的最大值为.
(3)
证明：由（2）知，，则，其中，
令，则，
则

，
故.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.