3.4.2导数的构造法、双变量问题（含极值点偏移）（针对练习）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第三章 导数
3.4.2导数的构造法、双变量问题（含极值点偏移）（针对练习）
针对练习
针对练习一 导数的构造法-简单不等号型
1．函数的定义域为，，对任意，，则
的解集为
A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：设F（x）=f（x）-（2x+4），
则F（-1）=f（-1）-（-2+4）=2-2=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）-2＞0，
即F（x）在R上单调递增，
则F（x）＞0的解集为（-1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集为（-1，+∞）．故选B
考点：用函数思想求不等式的解集
2．函数的定义域为，对任意则的解集为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
先构造，对求导，根据题中条件，判断单调性，再由求出进而可结合函数单调性解不等式.
【详解】
令，则，
因为对任意
所以对任意恒成立；
因此，函数在上单调递增；
又所以，
因此不等式可化为，
所以.
故选B
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，熟记函数单调性即可，属于常考题型.
3．定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，求导由题设得到单调性，将转化为，结合单调性即可求解.
【详解】
令，则，则在R上单减，又等价于，
即，由单调性得，解得.
故选：B.
4．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案.
【详解】
解：令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
5．已知定义在R上的函数为其导函数，满足①，②当时，，若不等式有实数解，则其解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，由得到其单调性，再由，得到其奇偶性求解.
【详解】
解：令，
则，
所以在上递增，
因为，
所以，即，
所以是偶函数，
不等式等价于：
，
即，即，
所以，
解得或，
故选：D

针对练习二 导数的构造法-加乘不等号型
6．已知定义在R上的函数的导函数为，若，则（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意构造函数，求导，可得在R上单调递增，，，，则可判断A、B、C；当时，，则可判断D.
【详解】
令函数，则，
所以在R上单调递增．
又，所以当时，，，
则，故，A不正确．
的符号不确定，B，C不正确．
当时，，则，故，D正确．
故选：D.
7．已知函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使成立的x的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由导数结合条件得出单调性，再得出偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案.
【详解】
设，则
当时，，即在上单调递增.
由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递减.
所以，所以当或时，；
当或时，.
所以当或时，.
故选：B.
8．若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先构造函数，由确定单调递减，
从而得到的解集，即为的解集.
【详解】
设，则，
因为，所以在上恒成立，所以单调递减，
又得，由等价于，
所以，即的解集是.
故选：C.
9．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，根据题意可得函数在上递增，从而可得出函数在上的符号分布，从而可得函数在上的符号分布，再结合是定义在上的奇函数，即可得出函数在上的符号分布，从而可得出答案.
【详解】
令，
则，
所以函数在上递增，
又因，
所以当时，，
当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
10．已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数，结合已知条件判断的单调性，由此化简不等式并求得其解集.
【详解】
设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故选：B

针对练习三 导数的构造法-减除不等号型
11．是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式构造函数，然后利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
由，得
构造函数，，
所以函数在上单调递增，
因为，所以
不等式等价于
即，所以
故选：C.
12．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；又，从而有，利用的单调性即可求解．
【详解】
令，
，
，
在定义上单调递减；①
又为偶函数，
，，
，
则不等式，即，
由①得，
故选：C．
13．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案．
【详解】
解：令，则，
又不等式恒成立，
所以，即，所以在单调递增，
故，即，所以，
故选：B．
14．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化即可．
【详解】
成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选：．
15．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可构造函数，由已知可证在单增，再分别代值检验选项合理性即可
【详解】
设，则，则在单增，
对A，，化简得，故A错；
对B，，化简得，故B错；
对C，，化简得，故C正确；
对D，，化简得，故D错，
故选：C

针对练习四 导数的构造法-带常数不等号型
16．定义在R上的函数满足：，，则关于不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数,由得的单调性,再将不等式转化为,由构造函数的单调性与即可求解．
【详解】
设，则,
, , 又，
所以, 在定义域上单调递增,
对于不等式转化为，
又，,
, 而在定义域上单调递增,
故选：D
17．已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，,已领已知条件判断其导数的正负，进而判断函数的单调性，将不等式变形为，即，即可得出答案．
【详解】
构造函数，,
则，故为R上的单调减函数，
不等式，即，即，
，
故选：
18．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，结合题设条件，利用导数求得在定义域上单调递增，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】
设，
可得．
因为，所以，所以，
所以在定义域上单调递增，
又因为，即，
又由，
所以，所以，所以不等式的解集为.
故选：C．
19．若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，求导结合题干条件可证明在R上单调递增，又，故，即得解
【详解】
令，
则
所以在R上单调递增，
又因为，
所以，
即不等式的解集是
故选：C
20．设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，根据因为，得到，得出函数为上的单调递增函数，由题设条件，令，求得，把不等式转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】
令，可得，
因为，可得，
所以，所以函数为上的单调递增函数，
由不等式，可得，
所以，即
因为，令，可得，
又因为，可得，所以
所以不等式等价于，
由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.
故选：A.

针对练习五 导数的双变量问题
21．已知函数（为常数）
(1)讨论的单调性
(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，再根据判别式来分类讨论求解；
（2）求导得到韦达定理，再化简，设，求出的最值即得解.
(1)
∵，
，当时，，，在定义域上单调递增；
当时，在定义域上，
时，在定义域上单调递增；
当时，令得，，
，时，；时，
则在，上单调递增，在上单调递减.
综上可知：当时，在定义域上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）
(2)
由（1）知有两个极值点，则，
的二根为，
则，，

，
设，又，∴.
则，，
∴在递增，.
即的范围是
【方法点睛】
关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的化成关于的函数再来解答.
22．已知函数，，是的两个极值点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)的最小值为.
【解析】
【分析】
(1)根据极值点的定义可得有两个正根，由此列不等式求的范围；(2)设，结合条件求出的范围，用表示并求其最小值即可.
(1)
因为函数的定义域为，
由已知函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
所以有两个不同的正根，故，，
所以，
故的取值范围为；
(2)
因为，是的两个极值点，由(1)可得，是方程的两个解，所以，，
所以，
化简可得
设，则，所以，即，，
所以，，
所以，所以，
，则，
所以函数为减函数，
所以，
所以函数的最小值为，
故的最小值为.
【点睛】
解决多变元的问题的关键在于通过消元或换元将问题转化为单变元问题，同时问题的解决过程中需要注意变量的范围.
23．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且（e为自然对数底数，且），求的取值范围.
【答案】(1)当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调区间；
（2）由已知可得，求导，分析单调性，得当时，有两个极值点，且，，可得出，设，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的值域，即可得解.
(1)
解：由题知，函数的定义域为，，
当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递减；
当时，令，解得，
所以当时，；当时，；
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题知，，函数的定义域为，，
当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；
当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；
当时，令，解得，，则，
当时，；当时，；当时，，
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上，当时，有两极值点，且，，
所以
，
设，，其中，
所以，，
又因为，可知，所以在上单调递减．
∴，即，所以的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题（2）考查的取值范围，要注意所满足的关系式（即韦达定理），在化简时，要注意将两个变量统一为同一变量，通过构造函数，利用求解函数值域的方法来求解.
24．已知函数,．
(1)若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值；
(2)证明：对于任意两个正数、，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出曲线在处的切线方程，由已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）利用分析法可知所证不等式等价于，利用作差法可证得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可证得，再利用不等式的基本性质可证得结论成立.
(1)
解：由，得，则，
又，曲线在处的切线的方程为，
即，由题意得，解得.
(2)
证明：要证明成立，
即证明，
一方面，，
，则，即，①
另一方面，不妨设，再设，
则，可得，
当时，，此时单调递减，
，即，②
综合①②可得，．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
25．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）函数求导后，分子为含参的二次三项式，结合，我们可以从和结合开口方向和两根的大小来讨论；
（2），为函数的两个极值点，我们可以通过结合韦达定理，找到，的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明.
(1)
，
设．，，
①当时，，，则，在上单调递增，
②当时，，的零点为，，且，
令，得，或，令，得，
在，上单调递减，在，，单调递增，
③当时，，的零点为，
在上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在，，单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减．
(2)
证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，
不妨设，则，
要证：，只要证，
只需要证，
即证，
设，，
设函数，
，
，
，
，
在上单调递减，则，
又，
则，
则，
从而．
【点睛】
(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；
(2)如果函数在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数的极值点关系，可以使用韦达定理来表示.

针对练习六 导数的极值点偏移问题
26．设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；
（3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证；
(1)
解：因为，
所以．        
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
(2)
解：由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
(3)
证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，       
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
27．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，且，证明：.
【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；
（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
当时，，在上是减函数，所以在上无极值；
当时，若，，在上是减函数.
当，，在上是增函数，
故当时，在上的极小值为，
无极大值.
（2）当时，，
由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，
又，为函数零点，所以，要证，只需证.
∵ ，又
∵，∴，
令，则，
∴在上是增函数，∴，∴，
∴，即得证.
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，
28．已知函数．
(1)求的极值．
(2)设，证明：．
【答案】(1)极小值为，无极大值；
(2)证明见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)根据f(x)的导数判断f(x)的单调性，根据单调性即可求其极值；
(2)由函数单调性指数函数性质可得x＜时，f(x)＜1，设m＜n，则若，则m＜，n＞，由可求﹒当m≤3时，易证；当时，构造函数，根据p(m)单调性即可证明﹒
(1)
，
由，得．
当时，；当时，．
∴的单调递减区间为，单调递增区间为．
故的极小值为，无极大值．
(2)
由(1)可知，的极值点为，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∵当x→－¥时，，∴f(x)→1，
故当x＜时，f(x)＜1.
设，则若，则m＜，n＞，
则，则．
①当时，，显然成立．
②当时，，
．
设，则．
设，，则为增函数，
则．
∵，∴，，则在上为增函数，
∴，
∴．
又∵，，且在上单调递增，
∴，即．
综上，．
29．已知函数，．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有2个不等的实根，，证明：．
【答案】(1)极小值为，没有极大值；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，从而即可求解；
（2）由（1）知在上单减，在上单增，不妨设，构造函数，，从而即可证明.
(1)
解：的定义域是，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有极小值，极小值为，没有极大值；
(2)
证明：由（1）知在上单减，在上单增，不妨设，
令，，
因为，
所以，
当时，，单调递减；
所以在上单调递减，所以，即当时，，
由题意，，，且在上单调递增，
所以，即．
【点睛】
关键点点睛：本题（2）问证明的关键是：构造函数，，从而利用导数可得在上单调递减，则.
30．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.
【答案】(1)当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，再求导，对进行分类讨论，利用导函数的正负，求出函数的单调性；（2）对要证明的不等式进行变形，然后构造函数进行证明.
(1)
，.
①当时，恒成立，单调递增；
②当时，由得，，单调递增，
由得，，单调递减.
综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，
∴在上有两个不相等的实根，
令，，∴，
由得，，单调递减，由得，，单调递增，
，，，，
∴
要证，即证，又∵，
只要证，即证，
∵，即证
即证，即证，即证
令，，∴，
令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴
∴在上递增，∴，∴
∴.
【点睛】
极值点偏移问题，需要构造函数，利用函数单调性及极值，最值等进行求解.