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3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）
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第三章 导数
3.2.1导数的应用-单调性、极值、最值（题型战法）
知识梳理
一 求函数的单调性
一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；
函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)正负
f (x)单调性
f ′(x)＞0
单调递增
f ′(x)＜0
单调递减
二 求函数的极值
1.极值点与极值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
（1）f(x)
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.
2．函数的导数与极值
（1）极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0 ，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b) 叫做函数y＝f (x)的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
三 求函数的最值
1.函数的最值
(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；
(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是极值点，要么是区间端点a或b.
2.求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值 ；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
题型战法
题型战法一 利用导数求函数的单调区间
典例1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导后，根据导函数的正负即可得到结果.
【详解】
由题意得：函数的定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为.
故选：D.
变式1-1．已知函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．，
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
判断定义域，求导函数，分析的解，从而得单调递增区间.
【详解】
定义域为，，
解得，当时，，
所以的单调递增区间为.
故选：C
变式1-2．函数的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，0） B．（0，2） C．（2，＋∞） D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出，由解出不等式可得答案.
【详解】
，由，解得
所以函数的单调递减区间为
故选：B
变式1-3．函数的递增区间是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得函数的导数，令，即可求解函数的递增区间.
【详解】
由题意，函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的递增区间是.
故选：A.
变式1-4．函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．和
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出导函数，进而令导函数小于0，最后求得答案.
【详解】
由题意，，，令，解得：且，即该函数的减区间为，也可为.
故选：D.
题型战法二 由函数的单调性求参数
典例2．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围.
【详解】
，由题意得：，
即在上恒成立，
因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.
故选：B
变式2-1．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数在区间上单调递减，则导函数在区间上恒成立,分离参数，即可求解.
【详解】
解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故，
所以，当时，导数不恒为0，
故选：D.
变式2-2．若函数的单调递增区间为，求的取值范围（ ）
A．－6 B．6 C．6或－6 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知，解得，再检验单调递增区间为即可
【详解】
由题意知：，又单调递增区间为，，解得.
此时，令，解得，即单调递增区间为.
故选：A.
变式2-3．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求f(x)的导数，原问题等价于在上恒成立，据此即可求出a的范围.
【详解】
∵，∴，
∵x∈时，，
∴若在内单调递减，则在上恒成立，
即得在恒成立，∴.
故选：B.
变式2-4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解.
【详解】
由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
题型战法三 含参的单调性讨论（一根型）
典例3．设函数，求的单调区间．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论.
【详解】
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
变式3-1．已知函数.讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
对求导，结合函数定义域，讨论、时的符号，确定的单调区间.
【详解】
函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
变式3-2．已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析﹒
【解析】
【分析】
求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性．
，
当，即时，，在R上单调递增；
当，即时，
由，得，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
变式3-3．已知函数，讨论函数在区间内的单调性；
【答案】见解析
【解析】
【分析】
对进行求导，然后根据的取值范围分类讨论的单调性
，
（Ⅰ）当，即时，
，在单调递减
（Ⅱ）当，即时，
，在单调递增
（Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增；
当时，，单调递减
综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减
（Ⅱ）当时，在单调递增
（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减
变式3-4．已知函数，其中，讨论的单调性；
【答案】当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【解析】
【分析】
，讨论或判断的单调性；
，
当时，当恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
题型战法四 含参的单调性讨论（二根型）
典例4．设函数，其中．讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，分，两种情况讨论，根据导函数的符号，即可得出函数的单调区间.
【详解】
解：
当时，，在内单调递减.
当时，由，有.此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上：当时，在内单调递减，
当时，在内单调递减，在单调递增.
变式4-1．已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；
，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
变式4-2．已知函数，求函数f(x)的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
解：求导可得
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
②时，令可得；令，得或，由于知或；
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
③时，，函数在上单调递增；
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
变式4-3．设函数，讨论函数的单调性.
【答案】讨论过程见解析.
【解析】
【分析】根据导数的性质，结合的不同取值分类讨论进行求解即可.
由，
，
当时，当时，单调递增，当时，单调递减；
当时，，或，
当时，，函数在时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述：当时， 在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增
【点睛】
关键点睛：根据一元二次方程两根之间的大小关系分类讨论是解题的关键.
变式4-4．已知函数，．若，求函数的单调区间.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求出函数f(x)定义域并求出其导数，分，两类确定不等式、的解集即可.
【详解】
解：，
，
当时，令，得：；令，得；
当时，令，得：或，
令，得；
因此，当时，在递增，在递减；
当时，在，递减；在递增．
题型战法五 求函数的极值点、极值
典例5．函数的极小值点是（ ）
A．2 B．（2， ） C．-2 D．（-2，）
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求导求函数的极小值.
【详解】
解：由题意得：
令，则
当时，函数单调递增
当时，函数单调递减
当时，函数单调递增
故时，取得极小值
故选：A
变式5-1．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xex，则
A．1是f（x）的极小值点 B．﹣1是f（x）的极小值点
C．1是f（x）的极大值点 D．﹣1是f（x）的极大值点
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.
考点：导数与极值
变式5-2．函数的极大值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.
【详解】
＝1－＝．令得或（舍）．
由于，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数在处取得极大值．
故选：A
变式5-3．函数有（ ）
A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数可求出结果.
【详解】
,
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取得极大值，无极小值.
故选：A
变式5-4．已知函数，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.
【详解】
函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的极大值为，
故选：B.
题型战法六 由函数的极值点、极值求参数
典例6．若函数在处有极值，则（ ）
A． B．
C． D．a不存在
【答案】B
【解析】
【分析】
函数在处有极值，即，求解导数，代入即可求解.
【详解】
解：因为函数，故
又函数在处有极值，故，
解得.经检验满足题意
故选：B.
变式6-1．若是函数的极值点，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据即可得解.
【详解】
的定义域为，
，
因为是函数的极值点，
所以，即，所以，
当时，，
令，得，令，得，
所以在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
故选：A
变式6-2．已知函数，在处取得极大值，则实数的值是
A． B．2 C．2或6 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.
【详解】
函数的导数为，
由在处有极大值，即有，即，
解得或6，
若时，，可得或，
由在处导数左负右正，取得极小值，
若，，可得或2 ，
由在处导数左正右负，取得极大值.
综上可得.
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.
变式6-3．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】
【分析】
求导得，再解不等式即得解.
【详解】
由得，
根据题意得，解得．
故选：C
变式6-4．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围.
【详解】
∵有两个不同的极值点，
∴在有2个不同的零点，
∴在有2个不同的零点，
∴，解得．
故选：D.
题型战法七 求函数的最值
典例7．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导，利用导函数得到极值，再求出端点值，比较得到最值.
【详解】
，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.
故选：C
变式7-1．函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．e
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】
由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
变式7-2．函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ）
A．2和 B．2和0 C．0和 D．1和0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求得最大值和最小值.
【详解】
，
所以在区间上递减，在上递增.
所以的最小值为，
，
所以的最大值为.
故选：A
变式7-3．已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，
∴.
故选：C.
变式7-4．函数在上的最大值为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其最大值.
【详解】
由题意，在上，即单调递增，
∴.
故选：B
题型战法八 由函数的最值求参数
典例8．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.
【详解】
由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，
结合函数的图象可得：，解得，
故的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题.
变式8-1．函数在区间上的最大值是，则的值为( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导得，令，解得.结合给定区间得出函数
的单调性，再比较的大小，进而求出的最大值即可求解的值.
【详解】
由题意可知，，
令，解得或（舍）.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以,,，则最大，
所以当时，函数取得最大值为.
由题意可知，，解得,
所以的值为.
故选：B.
变式8-2．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
变式8-3．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.
变式8-4．函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意因为所给区间为开区间，所以最值只能在极大值点处取得，再求出极大值，求出临界点，即可求出参数的取值范围．
【详解】
解：因为，所以，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，因为在上有最大值，
所以极大值点，
又，当时，即，解得或，
所以，
故选：D．
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