4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第四章 三角函数与解三角形

4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）

知识梳理

一 解三角形的最值问题

1.三角函数法：

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。

2.基本不等式法：

利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。

二 组合图形问题

1. 双-余弦定理

在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。

2. 双-正弦定理

在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。

三 中线、角平分线、垂线

1.中线：向量恒等式结论

2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理

3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）

四 解三角形的实际应用

1. 高度测量问题：仰角、俯角
2. 距离测量问题：方位角、方向角

题型战法

题型战法一 角、边的最值

典例1．在中，内角对应的边分别为，若且为钝角.

（1）求角与角的关系；

（2）求的取值范围.

变式1-1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)若，且，求△ABC的面积；

(2)求的最大值．

变式1-2．在中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若，求的取值范围.

变式1-3．已知分别为三个内角的对边，.

(1)求；

(2)若 ，求的最大值.

变式1-4．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，

(1)求角A；

(2)若，求a的最小值.

题型战法二 周长的最值

典例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，求△ABC周长的取值范围．

变式2-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）

(1)求角C；

(2)若时，求周长的最大值．

变式2-2．在中，角的对边分别为，其中，且.

(1)求角的大小；

(2)求周长的取值范围.

变式2-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的最大值.

变式2-4．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求；

（2）若的面积为，求周长的最小值．

题型战法三 面积的最值

典例3．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且.

(1)求b的值；

(2)若，求面积的取值范围.

变式3-1．在中，已知向量，，且．

(1)求A；

(2)若，求面积的最大值．

变式3-2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)求A；

(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.

变式3-3．的内角，，的对边分别是，，，设．

(1)若，求；

(2)若，求的面积的最大值．

变式3-4．在① ；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.

(1)求角B的大小；

(2)点D在BA的延长线上，且A为BD的中点，线段CD的长度为2，求△ABC的面积的最大值.

题型战法四 组合图形问题

典例4．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．

(1)求的值；

(2)求的值．

变式4-1．如图，在中，的垂直平分线交边于点．

（1）求的长；

（2）若，求的值．

变式4-2．如图，在四边形中，，，.

（1）求的长；

（2）若的面积为6，求的值.

变式4-3．如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求的值；

(2)在的延长线上有一点D，使得，求．

变式4-4．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间），，，，设.

(1)若，求MN的长；

(2)求面积的最小值.

题型战法五 中线、角分线、垂线

典例5．已知在中，.

(1)求边的长；

(2)求边上的中线的长.

变式5-1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．

(1)求角的大小；

(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．

变式5-2．在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且   .

(1)求角C的大小；

(2)若，求的中线长度的最小值.

变式5-3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．

变式5-4．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.

（1）若，，成等比数列，求证：；

（2）若（为锐角），.求中边上的高.

题型战法六 解三角形的实际应用问题

典例6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（即图中线段），旗杆底部与第一排在同一水平面上．

(1)求旗杆长度；

(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？

变式6-1．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为m，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.

(1)求两点间的距离；

(2)求大楼的高度.（第（2）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到m.参考数据：，，）

变式6-2．已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.

(1)求村庄之间的距离；

(2)求农贸市场到村庄的距离之和.

变式6-3．如图，某轮船从海岛A出发沿正北方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．

(1)求D与海岛A的距离；

(2)求D与灯塔C的距离．

变式6-4．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.

(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？

(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？